2018届二轮复习推理证明、复数、算法学案（全国通用）

2018届二轮复习推理证明、复数、算法学案（全国通用）

‎8.推理证明、复数、算法 ‎■要点重温…………………………………………………………………………·‎ ‎1．归纳推理和类比推理 共同点：两种推理的结论都有待于证明．‎ 不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．‎ ‎[应用1]　(1)某校举行了以“重温时代经典，唱响回声嘹亮”为主题的“红歌”歌咏比赛．该校高一年级有1,2,3,4四个班参加了比赛，其中有两个班获奖．比赛结果揭晓之前，甲同 说：“两个获奖班级在2班、3班、4班中”，乙同 说：“2班没有获奖，3班获奖了”，丙同 说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”，丁同 说：“乙说得对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则这两人是(　　)‎ A．乙，丁　 B．甲，丙 C．甲，丁 D．乙，丙 ‎(2)图32(1)有面积关系：＝，则图32(2)有体积关系：________. ‎ ‎【导 号：07804197】‎ 图32(1)　　　　　　　　图32(2)‎ ‎[解析]　(1)根据题意，由于甲乙丙丁四人中有且只有两人的说法是正确的，假设乙的说法是正确的，则丁也是正确的，那么甲丙的说法都是错误的，如果丙同 说：“1班、4班中有且只有一个班获奖”是错误的，那么1班、4班都获奖或1班、4班都没有获奖，与乙的说法矛盾，故乙的说法是错误，则丁同 说：“乙说得对”也是错误的；故说法正确的是甲、丙，故选B.‎ ‎(2)∵‎ 在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由面积的性质类比推理到体积性质．故由＝(面积的性质)‎ 结合图(2)可类比推理出：‎ 体积关系：＝.‎ ‎[答案]　(1)B ‎(2)＝ ‎2．证明方法：综合法由因导果，分析法执果索因．反证法是常用的间接证明方法，利用反证法证明问题时一定要理解结论的含义，正确进行反设．‎ ‎[应用2]　用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设________．‎ ‎[答案]　三角形三个内角都大于60°‎ ‎3．数 归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0 (n0∈N*)时命题成立；‎ ‎(2)(归纳递推)假设n＝k (k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数 归纳法．‎ ‎[应用3]　用数 归纳法证明1＋＋＋…＋1)第一步要证的不等式是________．‎ ‎[解析]　当n＝2时，左边＝1＋＋＝1＋＋，右边＝2，故填1＋＋<2.‎ ‎[答案]　1＋＋<2‎ ‎4．复数的概念 对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b ‎＝0时，复数a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，复数a＋bi叫做纯虚数．‎ ‎[应用4]　当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i.‎ ‎(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限？‎ ‎[答案]　(1) m＝－2；(2)m≠－2且m≠－3；(3)m＝3；(4)m＜－3或－2＜m＜3‎ ‎5．复数的运算 复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用，另外复数中的几个常用结论应记熟：‎ ‎(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；＝－i；(3)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.‎ ‎[应用5]　已知复数z＝，是z的共轭复数，则||＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎6．(1)循环结构中几个常用变量：‎ ‎①计数变量：用 记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.‎ ‎②累加变量：用 计算数据之和，如s＝s＋i.‎ ‎③累乘变量：用 计算数据之积，如p＝p×i.‎ ‎(2)处理循环结构的框图问题，关键是理解认清终止循环结构的条件及循环次数．‎ ‎[应用6]　执行如图33的程序框图，输出S的值为________. ‎ ‎【导 号：07804198】‎ 图33‎ ‎[解析]　由算法知，记第k次计算结果为Sk，则有S1＝＝－1，S2＝＝，S3＝＝2，S4＝＝－1＝S1，‎ 因此{Sk}是周期数列，周期为3，输出结果为S2 017＝S1＝－1.‎ ‎[答案]　－1‎ ‎■查缺补漏…………………………………………………………………………·‎ ‎1．如果复数z＝，则(　　)‎ A．z的共轭复数为1＋i B．z的实部为1‎ C．|z|＝2 D．z的虚部为－1‎ D　[z＝＝－1－i，因此z的共轭复数为－1＋i，实部为－1，虚部为－1，模为，选D.]‎ ‎2．若复数z满足(1＋i)z＝2＋i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 A　[z＝＝＝＝－i，＝＋i，共轭复数所对应的点为，为第一象限点，故选A.]‎ ‎3．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是(　　)‎ A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2‎ B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2‎ C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2‎ D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2‎ B　[1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，由上述式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n ‎－1项，且第一项为n，则最后一项为3n－2，等式右边均为2n－1的平方．]‎ ‎4．某同 为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i>N”，设计程序框图如图34，则判断框中可填入(　　)‎ 图34‎ A．x≤N? B．xN? D．x≥N?‎ C　[因为到判断框回答否，才进入循环，所以A，B被排除，若是D.x≥N，那就是求最小的正整数i，使得7i＋1>N不符合题意，只有C.x>N，才满足条件，故选C.]‎ ‎5．考拉兹猜想又名3n＋1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2.如此循环，最终都能得到1.阅读如图35所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i＝(　　)‎ 图35‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ D　[模拟算法：开始：a＝10，i＝1，a＝1不成立；‎ a是奇数，不成立，a＝5，i＝2，a＝1不成立；‎ a是奇数，成立，a＝16，i＝3，a＝1不成立；‎ a是奇数，不成立，a＝8，i＝4，a＝1不成立；‎ a是奇数，不成立，a＝4，i＝5，a＝1不成立；‎ a是奇数，不成立，a＝2，i＝6，a＝1不成立；‎ a是奇数，不成立，a＝1，i＝7，a＝1成立；‎ 输出i＝7，结束算法．故选D.]‎ ‎6. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图36的程序框图的算法思路就是 于“欧几里得算法”，执行该程序框图(图中“aMODb”表示a除以b的余数)，若输入的a，b分别为675,125，则输出的a＝(　　)‎ ‎【导 号：07804199】‎ 图36‎ A．0 B．25‎ C．50 D．75‎ C　[输入a＝675，b＝125,675＝125×5＋50，c＝50；‎ a＝125，b＝50,125＝50×2＋25，c＝25；‎ a＝50，b＝25,50＝25×2，c＝0；‎ 输出a＝50.]‎ ‎7．远古时期，人们通过在绳子上打结 记录数量，即“结绳计数”．下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图37可知，孩子已经出生的天数是(　　)‎ 图37‎ A．336 B．510 C．1 326 D．3 603‎ B　[由题意满七进一，可得该图示为七进制数， 化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510，故选B.]‎ ‎8．在一次国际 术会议上， 自四个国家的五位代表被安排坐在一张圆桌，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：‎ 甲是中国人，还会说英语．‎ 乙是法国人，还会说日语．‎ 丙是英国人，还会说法语．‎ 丁是日本人，还会说汉语．‎ 戊是法国人，还会说德语．‎ 则这五位代表的座位顺序应为(　　)‎ A．甲丙丁戊乙 B．甲丁丙乙戊 C．甲乙丙丁戊 D．甲丙戊乙丁 D　[这道题实际上是一个逻辑游戏，首先要明确解题要点：甲乙丙丁戊5个人首尾相接，而且每一个人和相邻的两个人都能通过语言交流，而且4个备选答案都是从甲开始的，因此，我们从甲开始推理．思路一：正常的思路，根据题干 作答．甲会说中文和英语，那么甲的下一邻居一定是会说英语或者中文的，以此类推，得出答案．思路二：根据题干和答案综合考虑，运用排除法 解决，首先，观察每个答案中最后一个人和甲是否能够交流，戊不能和甲交流，因此，B，C不成立，乙不能和甲交流，A错误，因此，D正确．] ‎ ‎9．用数 归纳法证明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增添的代数式为________．‎ ‎2(2k＋1)　[假设n＝k时，(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k×1×3…×(2k－1)成立；‎ 那么n＝k＋1时左边应为[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋k－1][(k＋1)＋k][(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)，‎ 即从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应添乘的式子是＝＝2(2k＋1)．]‎ ‎10．所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数(也称为完备数、完美数)．如：6＝1＋2＋3；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它们都可以表示为2的一些连续正整数次幂之和．如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…，按此规律，8 128可表示为________．‎ ‎26＋27＋…＋212　[因为8 128＝26×127，‎ 又由＝127，‎ 解得n＝7.‎ 所以8 128＝26×(1＋2＋…＋26)＝26＋27＋…＋212.]‎ ‎11．如图38是 络工作者经常用 解释 络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2,3出现在第2行；数字6,5,4(从左至右)出现在第3行；数字7,8,9,10出现在第4行，依此类推，则第20行从左至右的第4个数字应是________. ‎ ‎【导 号：07804200】‎ 图38‎ ‎194　[由题意可知，前19行共有×19＝190，所以第20行从左到右的数字依次为191,192,193,194，…，所以第4个数为194.]‎ ‎12．在复平面上，已知直线l上的点所对应的复数z满足|z＋i|＝|z－3－i|，则直线l的斜率为________．‎ ‎－　[设z＝x＋yi(x，y∈R)，‎ ‎∵|z＋i|＝|z－3－i|，‎ ‎∴|x＋(y＋1)i|＝|(x－3)＋(y－1)i|，‎ ‎∴x2＋(y＋1)2＝(x－3)2＋(y－1)2，‎ ‎∴6x＋4y－9＝0，‎ 则直线l的斜率为－.]‎