数学卷·2018届新疆石河子二中高二下学期第一次月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届新疆石河子二中高二下学期第一次月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年新疆石河子二中高二（下）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择：（12*5=60）‎ ‎1．已知抛物线的标准方程是y2=6x，则它的焦点坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．以下判断正确的是（　　）‎ A．命题p是真命题时，命题“p∧q”一定是真命题 B．命题“p∧q”是真命题时，命题p一定是真命题 C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题 D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题 ‎3．已知椭圆的两个焦点为F1，F2，弦 AB过点F2，则△ABF1的周长为（　　）‎ A．10 B．12 C．16 D．20‎ ‎4．命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（　　）‎ A．∃x∈R，x2+2x+2＞0 B．∃x∈R，x2+2x+2≥0‎ C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≤0‎ ‎5．在椭圆的标准方程中，a=6，b=，则椭圆的标准方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．以上都不对 ‎6．已知函数y=f（x）的图象如图，则的关系是：（　　）‎ A． B．‎ C． D．不能确定 ‎7．设集合A={x|＜0}，B={x||x﹣1|＜a}，若“a=1”是“A∩B≠∅”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎8．如果双曲线经过点，渐近线方程为，则此双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如果双曲线的方程是：，则直线与此双曲线的交点个数为（　　）‎ A．1个 B．0个 C．2个 D．无数个 ‎10．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．椭圆上的点到直线的最大距离是（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎12．若双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线的方程是（　　）‎ A．3y2﹣x2=36 B．x2﹣3y2=36 C．3x2﹣y2=36 D．y2﹣3x2=36‎ ‎　‎ 二、填空：（4*5=20）‎ ‎13．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程是　　．‎ ‎14．双曲线﹣=1的离心率等于　　．‎ ‎15．△ABC的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），求顶点B的轨迹方程　　．‎ ‎16．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=　　．‎ ‎　‎ 三、解答：（共70分）‎ ‎17．已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）；若￢p是￢q的充分而不必要条件，求m的取值范围．‎ ‎18．过点（1，1）且与f（x）=x2相切的直线方程为　　．‎ ‎19．在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，）、（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．‎ ‎（1）求C的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线与C交于A、B两点，求弦AB的长度．‎ ‎20．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．‎ ‎21．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．‎ ‎22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年新疆石河子二中高二（下）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择：（12*5=60）‎ ‎1．已知抛物线的标准方程是y2=6x，则它的焦点坐标是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由抛物线的标准方程分析可得其焦点在x轴正半轴上，且p=3，进而由焦点坐标公式计算可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，抛物线的标准方程是y2=6x，‎ 其焦点在x轴正半轴上，且p=3，‎ 则其焦点坐标为（，0）；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．以下判断正确的是（　　）‎ A．命题p是真命题时，命题“p∧q”一定是真命题 B．命题“p∧q”是真命题时，命题p一定是真命题 C．命题“p∧q”是假命题时，命题p一定是假命题 D．命题p是假命题时，命题“p∧q”不一定是假命题 ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据复合命题真假的判断表选择．‎ ‎【解答】解：对于A，命题p是真命题时，命题“p∧q”不一定是真命题；故A错误；‎ 对于B命题“p∧q”是真命题时，两个命题都是真命题；所以命题p一定是真命题；故B正确；‎ 对于C，命题“p∧q”是假命题时，p，q至少一个是假命题，故命题p一定是假命题错误；‎ 对于D，命题p是假命题时，命题“p∧q”一定是假命题；故D错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知椭圆的两个焦点为F1，F2，弦 AB过点F2，则△ABF1的周长为（　　）‎ A．10 B．12 C．16 D．20‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a的值，再作出椭圆的图形，分析可得△ABF1的周长L=|AF1|+|AF2|+|AB|═|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a，即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，椭圆的方程为，其焦点在y轴上，且a=5，‎ 如图：△ABF1的周长L=|AF1|+|AF2|+|AB|‎ ‎═|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a，‎ 又由a=5，‎ 则则△ABF1的周长为20；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是（　　）‎ A．∃x∈R，x2+2x+2＞0 B．∃x∈R，x2+2x+2≥0‎ C．∀x∈R，x2+2x+2＞0 D．∀x∈R，x2+2x+2≤0‎ ‎【考点】命题的否定；特称命题．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定的全称命题进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵“∃x∈R，x2+2x+2≤0”是特称命题，‎ ‎∴根据特称命题的否定的全称命题，得到命题的否定是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．在椭圆的标准方程中，a=6，b=，则椭圆的标准方程是（　　）‎ A． B．‎ C． D．以上都不对 ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意，依据焦点位置分2种情况讨论：分别求出椭圆的标准方程，综合可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：‎ 焦点在x轴上，椭圆的标准方程为： +=1；‎ 焦点在y轴上，椭圆的标准方程为： +=1；‎ 则椭圆的标准方程是+=1或+=1；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数y=f（x）的图象如图，则的关系是：（　　）‎ A． B．‎ C． D．不能确定 ‎【考点】变化的快慢与变化率．‎ ‎【分析】根据导数的几何意义，判断在A，B两处的切线斜率即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由图象可知函数在A处的切线斜率小于B处的切线斜率，‎ ‎∴根据导数的几何意义可知f′（xA）＜f′（xB），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．设集合A={x|＜0}，B={x||x﹣1|＜a}，若“a=1”是“A∩B≠∅”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】先化简集合A和B，再根据“a=1”和“A∩B≠∅”中是谁推出谁来进行判断．‎ ‎【解答】解：设集合A={x|＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x||x﹣1|＜a}={x|﹣a+1＜x＜a+1}，‎ 当a=1时，B={x|0＜x＜2}，‎ 若“a=1”则“A∩B≠∅”；‎ 若“A∩B≠∅”则不一定有“a=1”，比如a=．∴若“a=1”则有“A∩B≠∅”反之不成立．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．如果双曲线经过点，渐近线方程为，则此双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据题意中所给的双曲线的渐近线方，则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；再将将点 （6，），代入方程，可得λ；即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，‎ 则可设双曲线的标准方程为，（λ≠0）；‎ 又因为双曲线经过点 （6，），‎ 代入方程可得，λ=1；‎ 故这条双曲线的方程是；‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎9．如果双曲线的方程是：，则直线与此双曲线的交点个数为（　　）‎ A．1个 B．0个 C．2个 D．无数个 ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得双曲线的渐近线方程，由直线与渐近线y=x平行，且过点（﹣1，0），则直线与此双曲线仅有一个交点．‎ ‎【解答】解：双曲线的渐近线方程：y=±x，焦点坐标为（±，0），‎ 由直线与渐近线y=x平行，且过点（﹣1，0），‎ 点（﹣1，0）在双曲线内部，则直线与此双曲线仅有一个交点，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．‎ ‎【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），‎ ‎∵∠F1PF2=60°，‎ ‎∴=，‎ 即2ac=b2=（a2﹣c2）．‎ ‎∴e2+2e﹣=0，‎ ‎∴e=或e=﹣（舍去）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．椭圆上的点到直线的最大距离是（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．‎ ‎【解答】解：设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）‎ 则点P到直线的距离 d=；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎12．若双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线的方程是（　　）‎ A．3y2﹣x2=36 B．x2﹣3y2=36 C．3x2﹣y2=36 D．y2﹣3x2=36‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出椭圆焦点为（0，±4），离心率为，利用双曲线与椭圆4x2+y2=64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，即可求双曲线方程．‎ ‎【解答】解：椭圆4x2+y2=64，即=1，‎ 焦点为（0，±4），离心率为，‎ 所以双曲线的焦点在y轴上，c=4，e=，‎ 所以a=6，b=2，‎ 所以双曲线方程为=1，即y2﹣3x2=36，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空：（4*5=20）‎ ‎13．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程是　y2=±x　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】题干错误：边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴？，不可能啊 ‎【解答】解：由题意可得该等边三角形的高为．因而A点坐标（1，2）或（1，﹣2）．可设抛物线方 程为y2=2px（p≠0）．A在抛物线上，因而p=±．因而所求抛物线方程为y2=±x．‎ 故答案　y2=±x．‎ ‎　‎ ‎14．双曲线﹣=1的离心率等于　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的标准方程，可知求出a和b，然后求出c，由此能够求出它的离心率．‎ ‎【解答】解：由双曲线 可知a=3，b=4‎ 所以c==5‎ ‎∴离心率e==‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．△ABC的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别是（﹣1，0），（1，0），求顶点B的轨迹方程　+=1（x≠±2）　．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】利用a，b，c成等差数列，结合椭圆的定义，可得轨迹，从而可求顶点B的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：∵a，b，c成等差数列，‎ ‎∴2|AC|=|BC|+|AB|‎ ‎∵A（﹣1，0），C（1，0），‎ ‎∴|BC|+|AB|=4＞|AC|‎ ‎∴顶点B的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且A，B，C三点不共线 ‎∴顶点B的轨迹方程为+=1（x≠±2），‎ 故答案为+=1（x≠±2）．‎ ‎　‎ ‎16．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p=　2　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p．‎ ‎【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为，‎ 联立有，‎ ‎∴x1+x2=3p，x1x2=‎ ‎∴|x1﹣x2|==‎ 又求得p=2‎ 故答案为2‎ ‎　‎ 三、解答：（共70分）‎ ‎17．已知p：x2﹣8x﹣20≤0；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）；若￢p是￢q的充分而不必要条件，求m的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】对于p：x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）．可得￢p：A={x|x＞10或x＜﹣2}．￢q：B={x|x＜1﹣m，或x＞1+m（m＞0）}．根据￢p是￢q的充分而不必要条件，可得A⊊B．即可得出．‎ ‎【解答】解：对于p：x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10；‎ q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），解得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）．‎ ‎￢p：A={x|x＞10或x＜﹣2}．‎ ‎￢q：B={x|x＜1﹣m，或x＞1+m（m＞0）}．‎ ‎∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴A⊊B．‎ ‎∴，解得0＜m≤3．‎ ‎∴m的取值范围是（0，3]．‎ ‎　‎ ‎18．过点（1，1）且与f（x）=x2相切的直线方程为　2x﹣y﹣1=0　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】先求导，进而求出切线的斜率，再利用点斜式即可求出切线方程．‎ ‎【解答】解：∵点（1，1）满足函数f（x）=x2，∴该点在函数的图象上．‎ ‎∵f′（x）=2x，∴f′（1）=2，即为切线的斜率．‎ ‎∴过点（1，1）且与f（x）=x2相切的直线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即为2x﹣y﹣1=0．‎ 故答案为2x﹣y﹣1=0．‎ ‎　‎ ‎19．在直角坐标系xoy中，点P到两点（0，）、（0，）的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．‎ ‎（1）求C的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线与C交于A、B两点，求弦AB的长度．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）设P（x，y），运用椭圆的定义，可得2a=4，再由椭圆的a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（1）设P（x，y），M（0，）、N（0，）‎ ‎∵|PM|+|PN|=4＞2=|MN|，‎ 由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以M、N为焦点，长半轴为2的椭圆，‎ 它的短半轴b==1，‎ 故曲线C的方程为x2+=1；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线与C，消去y并整理得x2=4，‎ 故x=±，‎ ‎∴有|AB|=•=4．‎ ‎　‎ ‎20．已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上．‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆方程可求其焦点坐标，从而可得双曲线C的焦点坐标，利用点在双曲线C上，根据双曲线定义||AF1|﹣|AF2||=2a，即可求出所求双曲线C的方程；‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入A、B在双曲线方程得，两方程相减，借助于P（1，2）为中点，可求弦AB所在直线的斜率，进而可求其方程．‎ ‎【解答】解：（1）由已知双曲线C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0）‎ 由双曲线定义||AF1|﹣|AF2||=2a，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴b2=2‎ ‎∴所求双曲线为…‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在双曲线上 ‎∴，两方程相减得：得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣（y1﹣y2）（y1+y2）=0‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴弦AB的方程为即x﹣2y+3=0‎ 经检验x﹣2y+3=0为所求直线方程．…‎ ‎　‎ ‎21．已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．‎ ‎（1）求抛物线E的方程；‎ ‎（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）将直线与抛物线联立，消去y，得到关于x的方程，得到两根之和、两根之积，设出A、B的坐标，代入到•=2中，化简表达式，再将上述两根之和两根之积代入得到p，从而求出抛物线标准方程．‎ ‎（2）先利用点A，B，C的坐标求出直线CA、CB的斜率，再根据抛物线方程轮化参数y1，y2，得到k和x的关系式，将上一问中的两根之和两根之积代入，化简表达式得到常数即可．‎ ‎【解答】（1）解：将y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0，‎ 其中△=4p2k2+16p＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，‎ ‎∴===﹣4p+4，‎ 由已知，﹣4p+4=2，解得p=，‎ ‎∴抛物线E的方程为x2=y．‎ ‎（2）证明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，‎ ‎===x1﹣x2，‎ 同理k2=x2﹣x1，‎ ‎∴=2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点，且离心率e为．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）设直线x=my﹣1（m∈R）交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出椭圆E的方程．‎ ‎（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0=．|GH|2=． =，作差|GH|2﹣即可判断出．‎ 解法二：（1）同解法一．‎ ‎（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），则=， =．直线方程与椭圆方程联立化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，计算=即可得出∠AGB，进而判断出位置关系．‎ ‎【解答】解法一：（1）由已知得，解得，‎ ‎∴椭圆E的方程为．‎ ‎（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），AB中点为H（x0，y0）．‎ 由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，‎ ‎∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．‎ G，‎ ‎∴|GH|2==+=++．‎ ‎===，‎ 故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．‎ ‎∴，故G在以AB为直径的圆外．‎ 解法二：（1）同解法一．‎ ‎（2）设点A（x1y1），B（x2，y2），则=， =．‎ 由，化为（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，‎ ‎∴y1+y2=，y1y2=，‎ 从而=‎ ‎=+y1y2‎ ‎=+‎ ‎=﹣+=＞0．‎ ‎∴＞0，又，不共线，‎ ‎∴∠AGB为锐角．‎ 故点G在以AB为直径的圆外．‎