2018-2019学年云南省昆明市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年云南省昆明市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年云南省昆明市高一下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则中元素的个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】求出A∩B即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得A∩B={2,3,4},所以A∩B中元素的个数是3.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的交集的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2．已知向量，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用数乘向量和向量的减法法则计算得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查数乘向量和向量的减法的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用奇函数偶函数的判定方法逐一判断得解.‎ ‎【详解】‎ A.函数的定义域为R,关于原点对称，,所以函数是偶函数；‎ B.函数的定义域为，关于原点对称. ‎ ‎,所以函数是奇函数；‎ C.函数的定义域为R,关于原点对称，,所以函数是偶函数；‎ D. 函数的定义域为R,关于原点对称，，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4．在等差数列中，，，则数列的前5项和为（ ）‎ A．13 B．16 C．32 D．35‎ ‎【答案】D ‎【解析】直接利用等差数列的前n项和公式求解.‎ ‎【详解】‎ 数列的前5项和为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的前n项和的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎5．已知直线经过点，且与直线垂直，则的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设直线的方程为，代入点（1,0）的坐标即得解.‎ ‎【详解】‎ 设直线的方程为，‎ 由题得.‎ 所以直线的方程为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6．若直线与圆相切，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用圆心到直线的距离等于圆的半径即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题得圆的圆心坐标为（0,0），‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎7．己知某三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先找到三视图对应的几何体原图，再求几何体的体积.‎ ‎【详解】‎ 由题得三视图对应的几何体原图是如图所示的三棱锥A-BCD，‎ 所以几何体的体积为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查三视图找到几何体原图，考查三棱锥体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎8．已知函数，则下列结论不正确的是（ ）‎ A．是的一个周期 B．‎ C．的值域为R D．的图象关于点对称 ‎【答案】B ‎【解析】利用正切函数的图像和性质对每一个选项逐一分析得解.‎ ‎【详解】‎ A．的最小正周期为，所以是的一个周期，所以该选项正确；‎ B. 所以该选项是错误的；‎ C. 的值域为R，所以该选项是正确的；‎ D. 的图象关于点对称,所以该选项是正确的.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查正切函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎9．已知，且，把底数相同的指数函数与对数函数图象的公共点称为（或）的“亮点”．当时，在下列四点，，，中，能成为的“亮点”有（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎【答案】C ‎【解析】利用“亮点”的定义对每一个点逐一分析得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得，，‎ 由于，所以点不在函数f(x)的图像上，所以点不是“亮点”；‎ 由于，所以点不在函数f(x)的图像上，所以点不是“亮点”；‎ 由于，所以点在函数f(x)和g(x)的图像上，所以点是“亮点”；‎ 由于，所以点在函数f(x)和g(x)的图像上，所以点是“亮点”.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数和对数的运算，考查指数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎10．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出图像变换最后得到的解析式，再求函数图像的对称轴方程.‎ ‎【详解】‎ 由题得图像变换最后得到的解析式为，‎ 令，‎ 令k=-1,所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数图像变换和三角函数图像对称轴的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎11．已知函数若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】令g(x)=0得f(x)=a,再利用函数的图像分析解答得到a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 令g(x)=0得f(x)=a,‎ 函数f(x)的图像如图所示，‎ 当直线y=a在x轴和直线x=1之间时，函数y=f(x)的图像与直线y=a有四个零点，‎ 所以0＜a＜1.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ ‎12．在中，，，，是外接圆上一动点，若，则的最大值是（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】以的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M的坐标为，，‎ 求出点的坐标，得到，根据正弦函数的图象和性质即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 以的中点O为原点，以为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则外接圆的方程为，‎ 设M的坐标为，，‎ 过点作垂直轴，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，其中，，‎ 当时，有最大值，最大值为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图象和性质，以及直角三角形的 问题，考查了学生的分析解决问题的能力，属于难题．‎ 二、填空题 ‎13．在长方体中，，，，如图，建立空间直角坐标系，则该长方体的中心的坐标为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出点B的坐标，再求出M的坐标.‎ ‎【详解】‎ 由题得B(4,6,0),,‎ 因为M点是中点，‎ 所以点M坐标为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎14．设为第二象限角，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求出，再利用二倍角公式求的值.‎ ‎【详解】‎ 因为为第二象限角，若，‎ 所以.‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎15．数列满足，，则___________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】利用递推公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用递推公式求数列中的项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎16．一条河的两岸平行，河的宽度为560m，一艘船从一岸出发到河对岸，已知船的静水速度，水流速度，则行驶航程最短时，所用时间是__________（精确到）．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】先确定船的方向，再求出船的速度和时间.‎ ‎【详解】‎ 因为行程最短，所以船应该朝上游的方向行驶，‎ 所以船的速度为km/h,‎ 所以所用时间是.‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ 三、解答题 ‎17．己知函数．‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）当为何值时，取得最大值，并求出最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2），2.‎ ‎【解析】（1）由题得，再求出x的值；（2）先化简得到，再利用三角函数的性质求函数的最大值及此时x的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）令，则， ‎ 因为，所以．‎ ‎（2）， ‎ 当，即时，的最大值为2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查解简单的三角方程，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎18．在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】(1)先根据已知求出公差d,即得的通项公式；（2）先证明数列是等比数列，再利用等比数列的前n项和公式求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，由已知得，‎ 则， ‎ 将代入并化简得，解得，（舍去）．‎ 所以． ‎ ‎（2）由（1）知，所以，‎ 所以，‎ 所以数列是首项为2，公比为4的等比数列． ‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列通项的求法，考查等比数列性质的证明和前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎19．的内角所对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）5.‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理得 ‎，化简即得C的值；（2）先利用余弦定理求出a的值，再求的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，根据正弦定理得， ‎ 又，从而，‎ 由于，所以． ‎ ‎（2）根据余弦定理，而，，，‎ 代入整理得，解得或（舍去）．‎ 故的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎20．如图，在三棱柱中，为正三角形，为的中点，，，．‎ ‎（1）证明：平；‎ ‎（2）证明：平面平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）连结交于，连结，先证明，再证明平；（2）取的中点为，连结，，，先证明平面，再证明平面平面．‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）连结交于，连结，‎ 由于棱柱的侧面是平行四边形，故为的中点，‎ 又为的中点，故是的中位线，所以， ‎ 又平面，平面，所以平面． ‎ ‎（2）取的中点为，连结，，，在中，， ‎ 由，知为正三角形，故，‎ 又，，故，所以， ‎ 又，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.‎ ‎21．已知直线与圆相交于，两点．‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）在轴上是否存在点，使得当变化时，总有直线、的斜率之和为0，若存在，求出点的坐标：若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在.‎ ‎【解析】（1）由题得到的距离为，即得，解方程即得解；（2）设，，存在点满足题意，即，把韦达定理代入方程化简即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为圆，所以圆心坐标为，半径为2， ‎ 因为，所以到的距离为， ‎ 由点到直线的距离公式可得：， ‎ 解得． ‎ ‎（2）设，，‎ 则得，因为，‎ 所以，， ‎ 设存在点满足题意，即， ‎ 所以，‎ 因为，所以， ‎ 所以，解得．‎ 所以存在点符合题意．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆的探究性问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.‎ ‎22．某校为创建“绿色校园”，在校园内种植树木，有A、B、C三种树木可供选择，已知这三种树木6年内的生长规律如下：‎ A树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.1米，以后每年比上一年多长高0.2米；‎ B树木：种植前树木高0.84米，第一年能长高0.04米，以后每年生长的高度是上一年生长高度的2倍；‎ C树木：树木的高度（单位：米）与生长年限（单位：年，）满足如下函数：（表示种植前树木的高度，取）．‎ ‎（1）若要求6年内树木的高度超过5米，你会选择哪种树木？为什么？‎ ‎（2）若选C树木，从种植起的6年内，第几年内生长最快？‎ ‎【答案】（1）选择C；（2）第4或第5年.‎ ‎【解析】（1）根据已知求出三种树木六年末的高度，判断得解；（2）设为第年内树木生长的高度，先求出，设，则 ‎，．再利用分析函数的单调性，分析函数的图像得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，A、B、C三种树木随着时间的增加，高度也在增加，‎ ‎6年末：A树木的高度为（米）：‎ B树木的高度为（米）：‎ C树木的高度为（米），‎ 所以选择C树木． ‎ ‎（2）设为第年内树木生长的高度，‎ 则，‎ 所以，，． ‎ 设，则，．‎ 令，因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，‎ 所以当时，取得最小值，从而取得最大值，此时，解得，‎ 因为，，故的可能值为3或4，‎ 又，，即．‎ 因此，种植后第4或第5年内该树木生长最快．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列和等比数列求和，考查函数的图像和性质的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于难题.‎