数学理卷·2017届北京市海淀区高三下学期期中考试（2017

数学理卷·2017届北京市海淀区高三下学期期中考试（2017

海淀区高三年级第二学期期中练习 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知复数（，），则“为纯虚数”的充分必要条件为（ ）‎ A． B． C．， D．， ‎ ‎3.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A．0 B．3 C．6 D．8 ‎ ‎4.设，，若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5.已知，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.已知曲线：（为参数），，，若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ）‎ A．12 B．40 C．60 D．80 ‎ ‎8.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：‎ 项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；‎ 项目②：打开过程中（如图2），检查；‎ 项目③：打开过程中（如图2），检查；‎ 项目④：打开后（如图3），检查；‎ 项目⑤：打开后（如图3），检查．‎ 在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ）‎ A．①②③ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ ‎ 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9.若等比数列满足，，则公比 ，前项和 ．‎ ‎10.已知，，满足的动点 的轨迹方程为 ．‎ ‎11.在中，．① ；②若，则 ．‎ ‎12.若非零向量，满足，，则向量，夹角的大小为 ．‎ ‎13.已知函数若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值是 ．‎ ‎14.已知实数，，，满足，则的最大值是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎15.已知是函数的一个零点．　‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）求的单调递增区间.‎ ‎16.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．‎ ‎ 有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：‎ ‎1月 ‎2月 ‎3月 ‎4月 ‎5月 ‎6月 ‎7月 ‎8月 ‎9月 ‎10月 ‎11月 ‎12月 天津 ‎24‎ ‎22‎ ‎26‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎25‎ ‎28‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ 上海 ‎32‎ ‎27‎ ‎33‎ ‎31‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；‎ ‎（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；‎ ‎（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出的数学期望（不需要计算过程）．‎ ‎17.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．‎ ‎18.已知函数，其中实数．‎ ‎（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围．‎ ‎19.已知椭圆：，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点．‎ ‎（Ⅰ）若直线的斜率为1，求直线的斜率；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎20.已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．‎ ‎（Ⅰ）写出，的值；‎ ‎（Ⅱ）证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”；‎ ‎（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．‎ 海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案 一、选择题 ‎1-5: 6-8: ‎ 二、填空题 ‎9.2， 10. 11.90， 12.120 13. 14.‎ 三、解答题 ‎15.解：（Ⅰ）由题意可知，即，‎ 即，解得．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，‎ 函数的递增区间为，．‎ 由，，‎ 得，，‎ 所以，的单调递增区间为，．‎ ‎16.解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，‎ 因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大．‎ ‎（Ⅱ）设事件：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨．‎ 根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56，‎ 其中超过55百万吨的月份有8个，‎ 所以，．‎ ‎（Ⅲ）的数学期望．‎ ‎17.（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，平面，‎ 故，‎ 由平面平面，且平面平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）证明：在直三棱柱中，平面，‎ 所以，，‎ 又，‎ 所以，如图建立空间直角坐标系，‎ 依据已知条件可得，，，，，，‎ 所以，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由即 令，则，，于是，‎ 因为为中点，所以，所以，‎ 由，可得，‎ 所以与平面所成角为0，‎ 即平面．‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面的法向量为．‎ 设，，‎ 则，．‎ 若直线与平面成角为，则 ‎，‎ 解得，‎ 故不存在这样的点．‎ ‎18.解：（Ⅰ）由可得函数定义域为．‎ ‎，‎ 令，经验证，‎ 因为，所以的判别式，‎ 由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，‎ 所以是的异号零点，‎ 所以是函数的极值点．‎ ‎（Ⅱ）已知，‎ 因为，‎ 又因为，所以，‎ 所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；‎ 当时，在区间上，所以函数单调递增，‎ 所以，所以不等式不能恒成立；‎ 所以时，有在区间恒成立．‎ ‎19.解：（Ⅰ）由已知可知，又直线的斜率为1，所以直线的方程为，‎ 设，，‎ 由解得 所以中点，‎ 于是直线的斜率为．‎ ‎（Ⅱ）假设存在直线，使得成立．　‎ 当直线的斜率不存在时，的中点，‎ 所以，，矛盾；‎ 故可设直线的方程为，联立椭圆的方程，‎ 得，‎ 设，，则，，‎ 于是，‎ 点的坐标为，‎ ‎.‎ 直线的方程为，联立椭圆的方程，得，‎ 设，则，‎ 由题知，，‎ 即，‎ 化简，得，故，‎ 所以直线的方程为，.‎ ‎20.解：（Ⅰ），.‎ ‎（Ⅱ）先证必要性：‎ 因为，，又，，…，成等差数列，故，所以；‎ 再证充分性：‎ 因为，，，…，为正整数数列，故有 ‎，， ，，…，，‎ 所以，‎ 又，故（，，…，），故，，…，为等差数列．‎ ‎（Ⅲ）先证明（，，…，）．‎ 假设存在，且为最小的正整数．‎ 依题意，则，，又因为，‎ 故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和．‎ 故假设不成立，即（，，…，）成立．‎ 因此，‎ 即，所以．　‎ 因为，则，‎ 若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，‎ 故，即.‎ 此时可构造集合.‎ 因为当时，可以等于集合中若干个元素的和；‎ 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；‎ ‎……‎ 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；‎ 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；‎ 故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，‎ 所以集合满足题设，‎ 所以当取最小值11时，的最大值为．‎