2019高三数学(人教A版理)一轮课时分层训练72 参数方程

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2019高三数学(人教A版理)一轮课时分层训练72 参数方程

课时分层训练(七十二) 参数方程 (对应学生用书第 344 页) 1.(2018·南京、盐城、连云港二模)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l: x=1+3 5t, y=4 5t (t 为参数),与曲线 C: x=4k2, y=4k (k 为参数)交于 A,B 两点, 求线段 AB 的长. 【导学号:97190396】 [解] 法一:直线 l 的参数方程化为普通方程,得 4x-3y=4,曲线 C 的参 数方程化为普通方程,得 y2=4x, 联立方程 4x-3y=4, y2=4x, 解得 x=4, y=4 或 x=1 4 , y=-1. 所以 A(4,4),B 1 4 ,-1 或 A 1 4 ,-1 ,B(4,4). 所以 AB= 4-1 4 2 +4+12=25 4 . 法二:曲线 C 的参数方程化为普通方程,得 y2=4x. 把直线 l 的参数方程代入抛物线 C 的普通方程, 得 4 5t 2 =4 1+3 5t , 即 4t2-15t-25=0, 所以 t1+t2=15 4 ,t1t2=-25 4 . 所以 AB=|t1-t2|= t1+t22-4t1t2 = 15 4 2 +25=25 4 . 2.已知直线 l 的参数方程为 x=a-2t, y=-4t (t 为参数),圆 C 的参数方程为 x=4cos θ, y=4sin θ (θ为参数). (1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. [解] (1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0, 圆 C 的普通方程为 x2+y2=16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d=|-2a| 5 ≤4, 解得-2 5≤a≤2 5. 3.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 x=3- 2 2 t, y= 5+ 2 2 t (t 为 参数).在以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为ρ =2 5sin θ. (1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 坐标为(3, 5),圆 C 与直线 l 交于 A,B 两点,求|PA|+|PB|的值. [解] (1)由 x=3- 2 2 t, y= 5+ 2 2 t 得直线 l 的普通方程为 x+y-3- 5=0. 又由ρ=2 5sin θ得圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2 5y=0,即 x2+(y- 5)2 =5. (2)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 3- 2 2 t 2 + 2 2 t 2 =5, 即 t2-3 2t+4=0. 由于Δ=(3 2)2-4×4=2>0, 故可设 t1,t2 是上述方程的两实数根, 所以 t1+t2=3 2. 又直线 l 过点 P(3, 5),A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2,所以|PA|+|PB| =|t1|+|t2|=t1+t2=3 2. 4.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中,直线l1的参数方程为 x=2+t, y=kt (t 为参数),直线 l2 的参数方程为 x=-2+m, y=m k (m 为参数).设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C. (1)写出 C 的普通方程; (2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:ρ(cos θ+sin θ)- 2=0,M 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径. [解] (1)消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1:y=k(x-2), 消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2:y=1 k(x+2). 设 P(x,y), 由题设得 y=kx-2, y=1 k x+2, 消去 k 得 x2-y2=4(y≠0), 所以 C 的普通方程为 x2-y2=4(y≠0). (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π), 联立 ρ2cos2θ-sin2θ=4, ρcos θ+sin θ- 2=0 得 cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ). 故 tan θ=-1 3 ,从而 cos2θ= 9 10 ,sin2θ= 1 10. 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4 得ρ2=5, 所以交点 M 的极径为 5. 5.(2018·重庆调研(二))在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 x= 2tsin π 6 , y=tcos7π 4 -6 2 (t 是参数),以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立 极坐标系,圆 C 的极坐标方程为ρ=4cos θ+π 4 . 【导学号:97190397】 (1)求直线 l 的普通方程和圆心 C 的直角坐标; (2)求圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值. [解] (1)由题意得直线 l 的普通方程为 y=x-6 2. 因为ρ=4cos θ+π 4 , 所以ρ2=2 2ρcos θ-2 2ρsin θ, 所以圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2 2x+2 2y=0, 即(x- 2)2+(y+ 2)2=4, 所以圆心 C 的直角坐标为( 2,- 2). (2)由(1)知,圆 C 的半径为 r=2,且圆心到直线 l 的距离 d=| 2+ 2-6 2| 2 = 4>2, 所以直线 l 与圆 C 相离, 所以圆 C 上的点到直线 l 的距离的最小值为 d-r=4-2=2. 6.(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中,将曲线 C1 上的每一个点的横坐 标保持不变,纵坐标缩短为原来的1 2 ,得到曲线 C2.以坐标原点 O 为极点,x 轴的 正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为ρ=2. (1)求曲线 C2 的参数方程; (2)过原点 O 且关于 y 轴对称的两条直线 l1 与 l2 分别交曲线 C2 于 A,C 和 B, D,且点 A 在第一象限,当四边形 ABCD 的周长最大时,求直线 l1 的普通方程. 【导学号:97190398】 [解] (1)依题意,可得 C1 的普通方程为 x2+y2=4, 由题意可得 C2 的普通方程为x2 4 +y2=1, 所以 C2 的参数方程为 x=2cos θ, y=sin θ (θ为参数). (2)设四边形 ABCD 的周长为 l,设点 A(2cos θ,sin θ), l=8cos θ+4sin θ =4 5 2 5cos θ+ 1 5sin θ =4 5sin(θ+φ), 且 cos φ= 1 5 ,sin φ= 2 5 , 所以当θ+φ=2kπ+π 2(k∈Z)时,l 取最大值. 此时,θ=2kπ+π 2 -φ. 所以 2cos θ=2sin φ= 4 5 ,sin θ=cos φ= 1 5 , 此时,A 4 5 , 1 5 , l1 的普通方程为 y=1 4x.
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