福建省福州市2020届高三5月调研卷文科数学试题

福建省福州市2020届高三5月调研卷文科数学试题

福州市2020届高三文科数学5月调研卷 ‎（满分：150分　　考试时间：120分钟）‎ 第 Ⅰ 卷（选择题,共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1． 复数，则复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知全集为，集合，，则的元素个数为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ 第5题 ‎3．已知,则 A． B． C． D．‎ ‎4．某学生5次考试的成绩(单位:分)分别为85，67，，80，93，其中 ‎,若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数 不可能为 A． B． C． D．‎ ‎5．如图给出的是计算的值的一个程序框图，‎ 则图中空白框中应填入 A． B． ‎ 正视图 侧视图 第6题 C． D．‎ ‎6．用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示，‎ 则该几何体体积的最大值为 A．28 B．21 C．20 D．19‎ ‎7．函数的图像大致为 ‎8．已知抛物线的焦点为，点在上，，若直线与交于另一点，则的值是 A．12 B．10 C．9 D．45‎ ‎9．设双曲线的左焦点为，直线过点且与双曲线在第二象限的交点为为原点，，则双曲线的离心率为 A．5 B． C． D．‎ ‎10．已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，则不等式的解集为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为 A． B． C． D．‎ 第12题 ‎12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线就是其中之一(如图)，给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;‎ ‎③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；‎ 其中，所有正确结论的序号是 A．① B．② C．①② D．①②③‎ ‎ 第 II 卷（非选择题,共90分）‎ 第14题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，那么电话在响前4声内被接的概率是 ．‎ ‎14．如图，圆（圆心为）的一条弦的长为2，则=_____________．‎ ‎15．我们听到的美妙弦乐，不是一个音在响，而是许多个纯音的合成，称为复合音．复合音的响度是各个纯音响度之和．琴弦在全段振动，产生频率为 的纯音的同时，其二分之一部分也在振动，振幅为全段的，频率为全段的2倍；其三分之一部分也在振动，振幅为全段的，频率为全段的3倍；其四分之一部分也在振动，振幅为全段的，频率为全段的4倍；之后部分均忽略不计．已知全段纯音响度的数学模型是函数（为时间，为响度），则复合音响度数学模型的最小正周期是 ．‎ ‎16．已知三棱锥的棱长均为6，其内有个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切（，且），则球的体积等于__________，球的表面积等于__________．（本题第一空2分，第二空3分）‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 为数列的前项和，已知，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面ABC，，四边形ABCD为平行四边形，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求四棱锥的体积．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎112‎ ‎61‎ ‎44.5‎ ‎35‎ ‎30.5‎ ‎28‎ ‎25‎ ‎24‎ 根据以上数据，绘制了散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合，‎ 已求得：用指数函数模型拟合的回归方程为，与的相关系数；, , , , , , （其中）；‎ ‎（1）用反比例函数模型求关于的回归方程；‎ ‎（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0．01），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本．‎ 参考数据：, ‎ 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 椭圆的离心率是，过点做斜率为的直线，椭圆与直线交于两点，当直线垂直于轴时，‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以 为底的等腰三角形，若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）已知点的极坐标为，与曲线交于两点，求．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）‎ 已知为正数，且满足，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ 福州市2020届高三文科数学5月调研卷参考答案 ‎（满分：150分　　考试时间：120分钟）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．‎ ‎1．A 2．C 3．B 4．D 5．D 6．D 7．A 8．C 9．A ‎ ‎10．B 11．A 12．C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． 14．2 15． 16．，‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）由，可知，可得，即 ‎， 3分 由于，可得． 4分 又，解得（舍去），或， 5分 所以数列是首项为，公差为的等差数列，可得． 6分 ‎（2）由可知， 8分 数列的前项和为，则 ‎ 10分 ‎ 11分 ‎． 12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）证明:四边形ABCD为平行四边形，，，由余弦定理可得：， 2分 ‎，， 3分 为三棱柱，且平面ABC， 4分 平面ABC 5分 ‎，平面． 6分 ‎（2）连结， 7分 平面，，平面， 9分 ‎ 10分 ‎． ‎ 所以四棱锥的体积为8 12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）令，则可转化为， 1分 因为，所以， 4分 则，所以， 5分 所以关于的回归方程为； 6分 ‎（2）与的相关系数为：‎ ‎， 9分 因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好， 10分 把代入回归方程：，（元）， 11分 所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本估计为21元． 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1）由已知椭圆过点，可得， 3分 解得所以椭圆的方程为． 5分 ‎（2）设，的中点由消去得 ‎，所以． 7分 当时，设过点且与垂直的直线方程 8分 将代入得： 9分 若，则，‎ 若，则 所以或 11分 当时，‎ 综上所述，存在点满足条件,m取值范围是 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ ‎【解析】（1），令得 1分 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增， 3分 故在上，的极小值为 4分 当时，‎ 故的最小值为 5分 ‎（2）要证当时，，即证当时， 6分 ‎ 7分 令，则，在上单调递增， 8分 故，即 9分 所以 ‎ 10分 所以，在上单调递增，‎ 故， 11分 故当时，． 12分 ‎（二）选考题：共10分．考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．【解析】（1）曲线的普通方程为，即， 3分 所以，即，所以曲线的极坐标方程为． 5分 ‎（2）将直线的参数方程代入到中，得． 6分 设两点对应的参数分别为，则，， 7分 因为点的极坐标为，所以点的直角坐标为， 8分 所以 ‎． 10分 ‎23．【解析】证明：（1）由条件得 ‎，当且仅当时等号成立 ‎，当且仅当时等号成立 ‎，当且仅当时等号成立 3分 以上三个不等式相加可得：，当且仅当时等号成立 4分 得证． 5分 ‎（2）由条件得 ‎， 8分 由三元基本不等式得（等号成立当且仅当），‎ 从而得证． 10分