山西省2018-2019学年高二上学期期末测评考试数学（理）试题答案(2)

山西省2018-2019学年高二上学期期末测评考试数学（理）试题答案(2)

一、选择题 1. D 【解析】 因为全称命题的否定是特称命题.第一步是将全称量词改写为存在量词，第二步是将结论加以否定. 2. B 【解析】 ∵ 直线l1：x-y+ 3姨 -1=0的倾斜角为 45°，再沿逆时针方向旋转 15°，则直线l2的倾斜角为 60°，即直线 l2的斜率为 3姨 ，根据点斜式可得直线l2的方程为 y- 3姨 = 3姨 （x-1），即 3姨 x-y=0. 3. B 【解析】 平行于同一平面的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面. 4. B 【解析】 ∵ 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC1 BB=ABBB+BBBC+DD1 BB，∴x=1，y=- 1 2 ，z= 1 3 ，即 x+y+z= 5 6 . 5. D 【解析】 由圆O：x2+y2=1可得圆心 O（0，0），半径 r=1，∵△OAB 为正三角形，∴ 圆心 O 到直线 x-y+m=0 的距离 为 3姨 2 r= 3姨 2 ，即 d= m 2姨 = 3姨 2 ，解得 m= 6姨 2 或- 6姨 2 . 6. C 【解析】曲线 x2 16 + y2 9 =1表示椭圆，焦距为 2c=2 a2-b2姨 =2 16-9姨 =2 7姨 ，当 9＜k＜16 时，曲线 x2 16-k + y2 9-k =1 表示双曲线，焦距为 2c=2 a2+b2姨 =2 16-k+k-9姨 =2 7姨 ，两条曲线的焦距相等. 7. B 【解析】∵ 抛物线 y= 1 2 x2 的准线方程为 y=- 1 2 ，∴m= 1 4 ，则离心率 e= 1+ 1 4姨 1 2 = 5姨 . 8. B 【解析】∵MBBP= 2 3 MBBN，∴OBBP -OBBM = 2 3（OBBN -OBBM）. 即OBBP = 1 3 OBBM + 2 3 OBBN = 1 3 × 1 2 a+ 2 3 × 1 2（b+c）= 1 6 a+ 1 3 b+ 1 3 c. 9． A 【解析】由 ab＞c2 可得，cosC= a2+b2-c2 2ab ≥ 2ab-c2 2ab ＞ ab 2ab = 1 2 圯C＜60°，当 C＜60°时，可得 cosC= a2+b2-c2 2ab ＞ 1 2 ， 即c2-ab＜（a-b）2，推不出 c2＜ab，故“ab＞c2”是“C＜60°”的充分不必要条件. 10. C 【解析】法一：将直三棱柱补成正方体如图 1 所示，则异面直线 BA1 与 AC1 所成角的大小与∠A1BD1 相等. ∵△A1BD1 为正三角形，故异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为 60°. 图 1 图 2 法二：如图 2，以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A-xyz，设 AB=1， 则 A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0，1），C1（0，1，1）. 秘密★启用前 2018－2019 学年度第一学期高二期末测评考试 理科数学（Ⅰ）参考答案及评分参考 高二理科数学试题答案 第 1 页（共 4 页） cos〈BA1 AA，AC1 AA〉= BA1 AA·AC1 AA BA1 AA · AC1 AA =（-1，0，1）·（0，1，1） 2姨 × 2姨 = 1 2 . ∴ 异面直线 BA1 与 AC1 所成的角为 60°. 11. A 【解析】∵ 抛物线 x2=8y 的焦点为（0，2），∴ 椭圆的焦点在 y 轴上，且 c=2， 又 ∵ 离心率为 1 2 ，∴n=4，m= 42-22姨 =2 3姨 ∴m-n=2 3姨 -4. 12. B 【解析】法一：如图建系 D-xyz，A（2，0，0），A1（2，0，2），D（0，0，0），E（0，2，1）. 设 M（x，2，z），设平面 A1DE 的法向量为 n=（x′，y′，z′）， ∵ DA1 AA·n=0， DAAE·n=0 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨姨 姨 ， ∴n=（2，1，-2），又 ∵AAAM =（x-2，2，z）, ∵AM∥平面 A1DE，∴AAAM·n=2（x-2）+2-2z=0，即 x-z-1=0， ∴ 动点 M 的轨迹是以 BC，BB1 的中点为端点的线段，且这条线段的长为 2姨 . 法二：取 BB1 的中点 P，BC 中点为 Q，则平面 APQ∥平面 A1DE， ∴M 的轨迹为线段 PQ，且 PQ= 2姨 . 二、填空题 13.“若x≠1且x≠2，则x2-3x+2≠0”. 【解析】若原命题为“若p，则q”，那么它的逆否命题为“若劭q，则劭p”. 14. x2+y2=16 【解析】设M（x，y），由 MA =2 MB 化简可得x2+y2=16. 15.（-1，0，2） 【解析】∵AAAP =（x，-1，z)，BAAA =（1，1，1），AAAC =（2，0，1），∵PA⊥AB，PA⊥AC， ∴ AAAP·BAAA =0， AAAP·AAAC =0 ⊥ ， 即 x-1+z=0， 2x+z=0⊥ ， 解得 x=-1， z=2⊥ ， 则点P的坐标为（-1，0，2）. 16. 1 2 【解析】设Q（x0，y0），∴重心G的坐标为（x0 3 ， y0 3 ）. 又∵I为△QF1F2的内心，设r为△QF1F2的内切圆半径， 则S△QF1F2= 1 2·（QF1 + QF2 + F1F2 ）·r= 1 2· F1F2 · y0 ，即r= c y0 a+c ，∵GA AI =姿F1F2 AA，∴ y0 3 = c y0 a+c ，解得e= 1 2 . 三、解答题 17. 解：由 p 可得 k>a !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!， 2 分 由 q 知 x2 k+1 + y2 3-k =1 表示双曲线，则（k+1）（3-k）<0，即 k<-1 或 k>3 !!!!!!!!!!!!!!， 5 分 ∴劭q：k∈［-1，3］. 又 ∵劭q 是 p 的充分不必要条件， ∴a<-1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 10 分 18. 解：（1）∵ 圆 C：x2+y2-2x+my=0 经过（3，-1）， ∴ 将（3，-1）代入圆 C 的方程，解得 m=4 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 2 分 ∴ 圆 C 的方程为x2+y2-2x+4y=0，即（x-1）2+（y+2）2=5. ∵ 直线 l:x-2y+t=0 与圆 C 相切，∴ 圆心 C 到直线 l 的距离为 d= 1+4+t 5姨 = 5姨 ，即 t+5 =5， 解得 t=0 或 t=-10 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 6 分 （2）∵ 圆 M：（x+2）2+（y-4）2=r2 与圆 C 有 3 条公切线， 高二理科数学试题答案 第 2 页（共 4 页） 高二理科数学试题答案 第 3 页（共 4 页） ∴ 圆 M 与圆 C 相外切，即 CM = 5姨 +r，∴ 解得 r=2 5姨 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨. 12 分 19. 解：（1）∵ 直线 x-y-2=0 经过抛物线 C 的焦点， ∴ 抛物线 C 的焦点坐标为（2，0）， ∴ 抛物线 C 的准线方程为 x=-2. 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨 4 分 （2）设过抛物线 C 的焦点且斜率为-1 的直线方程为 y=-x+ p 2 ，且直线与 C 交于 A（x1，y1），B（x2，y2）， 由 y=-x+ p 2 ， y2=2p 姨 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 x 化简得 x2-3px+p2 4 =0， ∴x1+x2=3p. 又 ∵ AB =x1+x2+p=4p=2，解得 p= 1 2 ， ∴ 抛物线 C 的方程为 y2=x 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨. 12 分 20.（1）证明：如图 1，连接 A1C，A1C∩AC1=R，连接 RQ， ∵R 为 A1C 的中点，Q 为 BC 的中点， ∴RQ∥A1B. 又 A1B埭平面 AC1Q，RQ奂平面 AC1Q. ∴A1B∥平面 AC1Q 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨. 6 分 （2）解：以 Q 为坐标原点，建立如图 2 所示的空间直角坐标系 Q-xyz， 则 Q（0，0，0），A（ 3姨 ，0，0），C（0，-1，0），C1（0，-1，2）. 设平面 AQC1 的法向量为 n=（x，y，z）， ∵Q奂奂A =（ 3姨 ，0，0），QC1 奂奂=（0，-1，2）， 由 Q奂奂A·n=0， QC1 奂奂·n= 奂 姨 姨姨 奂 姨 姨姨 姨 0 得 3姨 x=0， -y+2z=0奂 ， 令 z=1 得 n=（0，2，1）. 又 ∵CC1 奂奂=（0，0，2）， 设直线 CC1 与平面 AQC1 所成的角为 φ， ∴sinφ= cos〈CC1 奂奂，n〉 = 2 2 5姨 = 5姨 5 . 故直线 CC1 与平面 AQC1 所成角的正弦值为 5姨 5 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨. 12 分 21.（1）证明：连接 OB，∵PA=PC，O 为 AC 的中点，∴PO⊥AC，∴PO=4× 3姨 2 =2 3姨 . 又 ∵AB=BC=2 2姨 ，AC=4， ∴AB2+BC2=AC2，即 AB⊥BC. 在 Rt△ABC 中，OA=OB=OC=2， ∵PO2+OB2=PB2，∴PO⊥OB ∵AC∩OB=O， ∴PO⊥平面 ABC. 姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨 6 分 （2）解：∵OB⊥AC，PO⊥平面 ABC， φ （第 20 题答图 2） （第 20 题答图 1） 高二理科数学试题答案 第 4 页（共 4 页） （第 21 题答图） ∴ 以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz， 则 A（0，-2，0），C（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2 3姨 ）. 设 M（xm，ym，0），又 ∵B姨姨M = 1 3 B姨姨C ，∴M 4 3 ， 2 3 ，， ，0 . 设平面 PAM 的法向量为 m=（x，y，z）， 由 A姨姨P·m=0， A姨姨M·m= ， 0 得 y+ 3姨 z=0, x+2y=0， . 取 z=1，∴m=（2 3姨 ，- 3姨 ，1）. 又 ∵ 平面 PAC 的法向量为 n=（1，0，0）， ∴cos〈m，n〉= m·n m · n = 2 3姨 （2 3姨 ）2+（ 3姨 ）2+1姨 = 2 3姨 4 = 3姨 2 !!!!!!!!!!!!!!. 10 分 故所求二面角 M-PA-C 的大小为 30° !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 12 分 22. 解：（1）由题意得 c a = 2姨 2 ， a2=b2+c2， 6 a2 + 1 b2 =1 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 . 解得 a2=8，b2=4, ∴ 椭圆 C 的标准方程为x2 8 +y2 4 =1 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 4 分 （2）设 M（x0,y0），且 x0 2+y0 2=12， 由题意知，过点 M 引椭圆 C 的切线方程可设为 y-y0=k（x-x0）， 由 y-y0=k（x-x0）， x2 8 +y2 4 = 姨 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 1 化简得（1+2k2）x2+4k（y0-kx0）x+2（y0-kx0）2-8=0. ∵ 直线与椭圆相切， ∴Δ= 4k（y0-kx0姨 姨） 2-4（1+2k2） 2（y0-kx0）2-姨 姨8 =0. 化简得（x0 2-8）k2-2x0y0k+y0 2-4=0， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10 分 ∴k1·k2= y0 2-4 x0 2-8 = y0 2-4 12-y0 2-8 = y0 2-4 4-y0 2 =-1. ∴ 两条切线斜率的积为定值 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!. 12 分