2017届高考数学（浙江专用）二轮教师文档讲义：专题2

2017届高考数学（浙江专用）二轮教师文档讲义：专题2

第3讲　平面向量 高考定位　1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.‎ 真 题 感 悟 ‎ 1.(2016·北京卷)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件.‎ 答案　D ‎2.(2016·山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A.4 B.－4 ‎ C. D.－ 解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4，故选B.‎ 答案　B ‎3.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ 解析　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2.‎ 答案　－2‎ ‎4.(2016·浙江卷)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________.‎ 解析　法一　由已知可得：‎ ≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|(a＋b)·e|‎ 由于上式对任意单位向量e都成立.‎ ‎∴≥|a＋b|成立.‎ ‎∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.‎ 即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.‎ 法二　由题意，令e＝(1，0)，a＝(cos α，sin α)，b＝(2cos β，2sin β)，则由|a·e|＋|b·e|≤可得|cos α|＋2|cos β|≤　①.令sin α＋2sin β＝m　②，‎ ‎①2＋②2得4[|cos α cos β|＋sin αsin β]≤1＋m2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1.‎ 故a·b＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤.‎ 答案　 考 点 整 合 ‎1.平面向量的两个重要定理 ‎(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.‎ ‎2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎3.平面向量的三个性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎||＝.‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，‎ 则cos θ＝＝.‎ ‎4.平面向量的三个锦囊 ‎(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1).‎ ‎(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝(＋).‎ ‎(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G.‎ 热点一　平面向量的有关运算 ‎ [微题型1]　平面向量的线性运算 ‎【例1－1】 (1)设D，E分别是ΔABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.‎ ‎(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________.‎ 解析　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，‎ ‎∵＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝，‎ 故λ1＋λ2＝.‎ ‎(2)法一　如图，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋ ，所以· ‎＝·＝·＋2＋2＝×2×2×‎ cos 120°＋＋＝1，解得λ＝2.‎ 法二　建立如图所示平面直角坐标系.‎ 由题意知：‎ A(0，1)，C(0，－1)，B(－，0)，D(，0).‎ 由BC＝3BE，DC＝λDF，‎ 可求点E，F的坐标分别为E，‎ F，‎ ‎∴·＝· ‎＝－2＋＝1，解得λ＝2.‎ 答案　(1)　(2)2‎ 探究提高　用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式求解.‎ ‎[微题型2]　平面向量的坐标运算 ‎【例1－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝(　　)‎ A.－8 B.－6‎ C.6 D.8‎ ‎(2)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.120°‎ 解析　(1)由题知a＋b＝(4，m－2)，因为(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，‎ 即4×3＋(－2)×(m－2)＝0，解之得m＝8，故选D.‎ ‎(2)||＝1，||＝1，cos∠ABC＝＝，‎ 则∠ABC＝30°.‎ 答案　(1)D　(2)A 探究提高　若向量以坐标形式呈现时，则用向量的坐标形式运算；若向量不是以坐标形式呈现，则可建系将之转化为坐标形式，再用向量的坐标运算求解更简捷.‎ ‎[微题型3]　平面向量数量积的运算 ‎【例1－3】 (1)(2016·郑州二模)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)‎ A.－1 B.1‎ C. D.2‎ ‎(2)(2016·佛山二模)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，动点E和F分别在线段BC和DC上，且＝λ，＝，则·的最小值为________.‎ 解析　(1)设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，‎ 则(a－c)·(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.‎ 又a＋b－c＝(1－x，1－y)，‎ ‎∴|a＋b－c|＝＝.①‎ 法一　如图.c＝(x，y)对应点在上，而①式的几何意义为P点到上点的距离，其最大值为1.‎ 法二　|a＋b－c|＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ ‎∵x＋y≥1，∴|a＋b－c|≤＝1，最大值为1.‎ ‎(2)法一　在梯形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，可得DC＝1，＝＋λ，＝＋，‎ ‎∴·＝(＋λ)·(＋)＝·＋·＋λ·＋λ·‎ ＝2×1×cos 60°＋2×＋λ×1×cos 60°＋λ·×cos 120°＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即λ＝时，取得最小值为.‎ 法二　以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)，C，D.‎ 又＝λ，＝，‎ 则E，F，λ＞0，‎ 所以·＝＋λ＝＋＋λ≥＋2＝，‎ λ＞0，当且仅当＝λ，即λ＝时取等号，‎ 故·的最小值为.‎ 答案　(1)B　(2) 探究提高　(1)①数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用；②可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算；③在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2进行开方.‎ ‎(2)求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法.‎ ‎【训练1】 (1)(2015·福建卷)已知⊥，||＝，||＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于(　　)‎ A.13 B.15 C.19 D.21‎ ‎(2)(2016·青岛二中模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________.‎ 解析　(1)建立如图所示坐标系，则 B，C(0，t)，＝，‎ ＝(0，t)，‎ ＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)，∴P(1，4)，·＝·‎ ‎(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当4t＝，即t＝时(负值舍去)取得最大值13，故选A.‎ ‎(2)法一　以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系(以射线AB、AD的方向分别为x轴、y轴的正方向)，设F(x，2)，则＝(x，2)，又＝(，0)，∴·＝x＝，∴x＝1，∴F(1，2)，又∵E(，1)，则＝(，1)，＝(1－，2)，‎ ‎∴·＝.‎ 法二　∵·＝||||cos ∠BAF＝，||＝，∴||cos ∠BAF＝1，‎ 即||＝1，∴||＝－1，‎ ‎∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·＋·＝×(－1)×(－1)＋1×2×1＝.‎ 答案　(1)A　(2) 热点二　平面向量与三角的交汇 ‎【例2】 (2016·江西红色七校第二次联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝(sin C，b2－a2－c2) ，n＝(2sin A－sin C，c2－a2－b2)，且m∥n.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)设T＝sin2A＋sin2B＋sin2C，求T的取值范围.‎ 解　(1)＝＝＝＝，‎ 因为sin C≠0，‎ 所以sin Bcos C＝2sin Acos B－sin Ccos B，‎ 所以2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin Ccos B ‎＝sin(B＋C)＝sin A，因为sin A≠0，所以cos B＝，‎ 因为0＜B＜π，所以B＝.‎ ‎(2)T＝sin2A＋sin2B＋sin2C ‎＝(1－cos 2A)＋＋(1－cos 2C)‎ ‎＝－(cos 2A＋cos 2C)‎ ‎＝－ ‎＝－ ‎＝－cos.‎ 因为0＜A＜，所以0＜2A＜，故＜2A＋＜，‎ 因此－1≤cos＜，所以＜T≤.‎ 探究提高　三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.‎ ‎【训练2】 (2016·甘肃诊断)已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量p＝(cos B＋sin B，2sin B－2)，q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q.‎ ‎(1)求B的大小；‎ ‎(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a，c.‎ 解　(1)因为p⊥q，‎ 所以p·q＝(cos B＋sin B)(sin B－cos B)＋(2sin B－2)(1＋sin B)＝0，‎ 即sin2B－cos2B＋2sin2B－2＝0，‎ 即sin2B＝，‎ 又角B是锐角三角形ABC的内角，‎ 所以sin B＝，所以B＝60°.‎ ‎(2)由(1)得B＝60°，又△ABC的面积为，‎ 所以S△ABC＝acsin B，即ac＝4.①‎ 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，又b＝2，‎ 所以a2＋c2＝8，②‎ 联立①②，解得a＝c＝2.‎ ‎1.平面向量的数量积的运算有两种形式：‎ ‎(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，‎ 如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；‎ ‎(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.‎ ‎2.根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a＋b|＝|a－b|等价于向量a，b互相垂直.‎ ‎3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.‎ 一、选择题 ‎1.设a，b是两个非零向量.(　　)‎ A.若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B.若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ C.若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D.若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ 解析　对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b|不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立.‎ 答案　C ‎2.已知点A(－1，1)、B(1，2)、C(－2，－1)、D(3，4)，则向量在方向上的投影为(　　)‎ A. B. ‎ C.－ D.－ 解析　＝(2，1)，＝(5，5)，||＝5，故在方向上的投影为＝＝ ‎.‎ 答案　A ‎3.已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 p1：|a＋b|＞1⇔θ∈ p2：|a＋b|＞1⇔θ∈ p3：|a－b|＞1⇔θ∈ p4：|a－b|＞1⇔θ∈ 其中的真命题是(　　)‎ A.p1，p4 B.p1，p3‎ C.p2，p3 D.p2，p4‎ 解析　|a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，则(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－，∴cos θ＝＝a·b＞－，‎ ‎∴θ∈；若|a－b|＞1，同理求得a·b＜，‎ ‎∴cos θ＝a·b＜，∴θ∈，故p1，p4正确，应选A.‎ 答案　A ‎4.若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量b与a＋b的夹角为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　法一　由已知，得|a＋b|＝|a－b|，将等式两边分别平方，‎ 整理可得a·b＝0.①‎ 由已知，得|a＋b|＝2|a|，将等式两边分别平方，‎ 可得a2＋b2＋2a·b＝4a2.②‎ 将①代入②，得b2＝3a2，‎ 即|b|＝|a|.‎ 而b·(a＋b)＝a·b＋b2＝b2，‎ 故cos〈b，a＋b〉＝＝ ‎＝＝.‎ 又〈b，a＋b〉∈[0，π]，所以〈b，a＋b〉＝.故选A.‎ 法二　如图，作＝a，＝b，‎ 以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，‎ 则＝a＋b，＝a－b.‎ 由|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，‎ 可得||＝||＝2||，‎ 所以平行四边形OACB是矩形，‎ ＝＝a.‎ 从而||＝2||.‎ 由Rt△BOC中，||＝‎ 故cos∠BOC＝＝，‎ 所以∠BOC＝.‎ 从而〈b，a＋b〉＝∠BOC＝，故选A.‎ 答案　A ‎5.(2014·浙江卷)记max{x，y}＝min{x，y}＝设a，b为平面向量，则(　　)‎ A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}‎ B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}‎ C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2‎ D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2‎ 解析　由三角形法则知min{|a＋b|，|a－b|}与min{|a|，|b|}的大小不确定，由平行四边形法则知，max{|a＋b|，|a－b|}所对角大于或等于90°，由余弦定理知max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，故选D.‎ 答案　D 二、填空题 ‎6.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).‎ ‎①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.‎ 解析　∵2＝4|a|2＝4，∴|a|＝1，故①正确；‎ ‎∵＝－＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴||＝|b|＝2，故②错误；‎ ‎∵b＝－，∴a·b＝·(－)＝×2×2×cos 60°－×2×2＝－1≠0，故③错误；‎ ‎∵＝b，故④正确；‎ ‎∵(＋)·(－)＝2－2＝4－4＝0，‎ ‎∴(4a＋b)⊥，故⑤正确.‎ 答案　①④⑤‎ ‎7.如图，在△ABC中，C＝90°，且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.‎ 解析　法一　如图，建立平面直角坐标系.‎ 由题意知：A(3，0)，B(0，3)，‎ 设M(x，y)，由＝2，得解得 即M点坐标为(2，1)，‎ 所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.‎ 法二　·＝(＋)·＝2＋·＝2＋·(－)‎ ‎＝2＝3.‎ 答案　3‎ ‎8.已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝，若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.‎ 解析　不妨设b＝xe1＋ye2，则b·e1＝x＋＝1，b·e2＝＋y＝1，因此可得x＝y＝，所以|b|＝|e1＋e2|＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎9.已知向量a＝，b＝，且x∈.‎ ‎(1)求a·b及|a＋b|；‎ ‎(2)若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值.‎ 解　(1)a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x，‎ ‎|a＋b|＝ ‎＝＝2，‎ 因为x∈，所以cos x≥0，‎ 所以|a＋b|＝2cos x.‎ ‎(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b|＝cos 2x－4λcos x，‎ 即f(x)＝2(cos x－λ)2－1－2λ2.‎ 因为x∈，所以0≤cos x≤1.‎ ‎①当λ＜0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；‎ ‎②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；‎ ‎③当λ＞1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝.‎ ‎10.设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.‎ ‎(1)若|a|＝|b|，求x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值.‎ 解　(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，‎ ‎|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，‎ 及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.‎ 又x∈，从而sin x＝，所以x＝.‎ ‎(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x ‎＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，‎ 当x＝∈时，sin取最大值1.‎ 所以f(x)的最大值为.‎ ‎11.△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝‎ ‎(cos A，sin B)平行.‎ ‎ (1)求A；‎ ‎ (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.‎ 解　(1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，‎ 由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，‎ 又sin B≠0，从而tan A＝，‎ 由于0＜A＜π，所以A＝.‎ ‎(2)法一　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ 而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，‎ 即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，‎ 故△ABC的面积为S＝bcsin A＝.‎ 法二　由正弦定理，得＝，‎ 从而sin B＝，又由a＞b，知A＞B，‎ 所以cos B＝，‎ 故sin C＝sin(A＋B)＝sin ‎＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.‎ 所以△ABC的面积为S＝absin C＝.‎