数学理卷·2017届北京市丰台区高三上学期期末考试（2017

数学理卷·2017届北京市丰台区高三上学期期末考试（2017

丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习 ‎ 高三数学（理科）2017.01‎ 第一部分 （选择题 共40分） ‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．已知集合，，那么等于 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎2．已知，则下列不等式一定成立的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎3．如果平面向量，，那么下列结论中正确的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎4．已知直线，和平面，如果，那么“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎ ‎（C）充分必要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎5．在等比数列中，，9，则等于 ‎（A）9‎ ‎（B）72‎ ‎（C）9或72‎ ‎（D） 9或72‎ ‎6． 如果函数的两个相邻零点间的距离为，那么的值为 ‎（A）1‎ ‎（B）1‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎7. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中寸表示115寸分（1寸=10分）．‎ ‎ 节气 冬至 小寒 大寒 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 ‎(大雪)‎ ‎(小雪)‎ ‎(立冬)‎ ‎(霜降)‎ ‎(寒露)‎ ‎(秋分)‎ ‎(白露)‎ ‎(处暑)‎ ‎(立秋)‎ ‎(大暑)‎ ‎(小暑)‎ 晷影长 ‎（寸）‎ ‎135‎ ‎16.0‎ 已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 ‎（A）72.4寸 ‎（B）81.4寸 ‎（C）82.0寸 ‎（D）91.6寸 ‎8. 对于任何集合S，用表示集合S中的元素个数，用表示集合S的子集个数. 若集合A，B满足条件：2017，且，则等于 ‎（A）2017‎ ‎（B）2016‎ ‎（C）2015‎ ‎（D）2014‎ 第二部分 （非选择题 共110分）‎ 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9. i是虚数单位，复数= ．‎ ‎10. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，如果，那么椭圆C的离心率为 ．‎ ‎11．在的展开式中，常数项是 （用数字作答）．‎ ‎12．若满足 则的最大值为 ． ‎ ‎13．如图，边长为2的正三角形ABC放置在平面直角坐标系xOy中，AC在x轴上，顶点B与y轴上的定点P重合．将正三角形ABC沿x轴正方向滚动，即先以顶点C为旋转中心顺时针旋转，当顶点B落在轴上时，再以顶点B为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC滚动到△时，顶点B运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，的最大值为 ．‎ ‎14．已知为偶函数，且时，（表示不超过x的最大整数）．设，若，则函数有____个零点；若函数三个不同的零点，则的取值范围是____．‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15.（本小题共13分）‎ 如图，在△ABC中，D是BC上的点，，，，.‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求边AB的长.‎ ‎16.（本小题共14分）‎ 如图所示的多面体中，面是边长为2的正方形，平面⊥平面，，分别为棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）已知二面角的余弦值为，‎ 求四棱锥的体积．‎ ‎17.（本小题共14分）‎ 数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：‎ 中学 ‎ 甲 ‎ 乙 ‎ 丙 ‎ 丁 人数 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．‎ ‎（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？‎ ‎（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；‎ ‎（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X表示抽得甲中学的学生人数，求X的分布列．‎ ‎18.（本小题共13分）‎ 已知函数与函数的图象在点处有相同的切线.‎ ‎（Ⅰ）求a的值；‎ ‎（Ⅱ）设，求函数在上的最小值.‎ ‎19.（本小题共13分）‎ 已知抛物线：的焦点为F，且经过点，过点的直线与抛物线交于，两点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）为坐标原点，直线，与直线分别交于，两点，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.‎ 20. ‎（本小题共13分）‎ ‎ 已知无穷数列满足.‎ ‎ （Ⅰ）若，写出数列的前4项；‎ ‎ （Ⅱ）对于任意，是否存在实数M，使数列中的所有项均不大于M ？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由；‎ ‎ （Ⅲ）当为有理数，且时，若数列自某项后是周期数列，写出的最大值.（直接写出结果，无需证明）‎ 丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案及评分参考 ‎ 2017．01‎ 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 B D C B D A C B 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9． 10． 11． 15‎ ‎12．4 13．； 14．2；‎ 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15.（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）在△中，由余弦定理，得 ‎ ……………….2分 ‎ ……………….4分 ‎ 因为，所以. ……………….6分 ‎ （Ⅱ）因为，所以. ……………….8分 ‎ 在△中，由正弦定理，得 ， ……………….10分 ‎ 即，所以边的长为. ……………….13分 ‎16.（本小题共14分）‎ 证明：（Ⅰ）取中点，连接，，‎ ‎ 因为是正方形，所以，.‎ ‎ 因为分别是,中点，所以,.‎ ‎ 又因为且，‎ ‎ 所以，，‎ ‎ 所以四边形是平行四边形, ………….3分 ‎ 所以. ‎ ‎ 又因为平面，平面 ‎ 所以平面． ……………….5分 ‎（Ⅱ）因为平面⊥平面，‎ ‎ 平面平面，‎ ‎ ，平面，‎ ‎ 所以平面． ……………….6分 ‎ 如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系．‎ ‎ 设，则 ． ………………7分 ‎ 因为⊥底面，所以平面的一个法向量为. ……………….8分 ‎ 设平面PFB的一个法向量为，‎ ‎ ,‎ ‎ 则 ‎ ‎ 即 ‎ 令x=1，得，所以． ……………….10分 ‎ ‎ ‎ 由已知，二面角的余弦值为，‎ ‎ 所以得 ， ……………….11分 ‎ 解得a =2,所以． ……………….13分 ‎ 因为是四棱锥的高，‎ ‎ 所以其体积为． ……………….14分 ‎17．（本小题共14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名，‎ ‎ 抽取的样本容量与总体个数的比值为，‎ ‎ 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分 ‎（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件，‎ 从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有种， ………………5分 来自同一所中学的取法共有． ………………7分 所以． ‎ ‎ 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为． ………………8分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．‎ ‎ 依题意得，的可能取值为， ………………9分 ‎ ， ，． ……………12分 ‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎ ……………….14分 ‎ ‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）因为，所以 ‎. ……………….2分 因为，所以. ……………….4分 ‎ 因为与的图象在（0,0）处有相同的切线，所以，所以. …….5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知, ,‎ ‎ 令，，‎ 则． ……………….6分 ‎ (1)当时，，，所以在[1,2]上是增函数，‎ ‎ 故的最小值为； ……………….7分 (2)当时，由得，， ……………….8分 ‎ ①若，即，则，，所以在[1,2]上是增函数，‎ ‎ 故的最小值为. ……………….9分 ‎ ‎ ②若，即，则，，，，‎ ‎ 所以在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎ 故的最小值为； ……………….11分 ‎ ③若，即，则，，所以在上是减函数，‎ ‎ 故的最小值为 ‎. ……………….12分 ‎ 综上所述，当时，的最小值为，‎ ‎ 当时，的最小值为，‎ ‎ 当时，的最小值为. ……………….13分 ‎19.（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ）把点代入抛物线的方程，得，解得，‎ ‎ 所以抛物线的方程为. ……………….4分 ‎（Ⅱ）因为，所以直线为，焦点的坐标为 ‎ 设直线的方程为，，，‎ ‎ 则直线的方程为,直线的方程为. ……………….5分 由得，同理得． ……………….7分 所以，，则． ……………….9分 由得，所以， ……………….11分 ‎ 则．‎ 所以，的值是定值，且定值为0. ……………….13分 ‎20．（本小题共13分）‎ 解：（Ⅰ） ……………….4分 ‎（Ⅱ）存在满足题意的实数, 且的最小值为1.‎ 解法一：猜想，下面用数学归纳法进行证明.‎ ‎ （1）当时,，结论成立.‎ ‎ （2）假设当时结论成立，即，‎ ‎ 当时,‎ ‎ ,所以,‎ ‎ 即,所以,‎ ‎ 故.‎ ‎ 又因为,‎ ‎ 所以,‎ ‎ 所以时结论也成立.‎ ‎ 综上,由（1）,（2）知,成立 ‎ 所以,当时,可得当时, ,此时, 的最小值为1‎ ‎ 故的最小值为1. ‎ 解法二：当时，若存在满足,且.‎ ‎ 显然，则 ‎ 时，与矛盾；‎ ‎ 时，与矛盾；‎ ‎ 所以 ‎ 所以,当时,可得当时, ,此时, 的最小值为1‎ ‎ 故 的最小值为1. ……………………10分 ‎ ‎（Ⅲ） ………………13分 ‎（若用其他方法解题，请酌情给分）‎