【数学】2018届一轮复习人教A版第7章第6节空间向量及其运算学案

【数学】2018届一轮复习人教A版第7章第6节空间向量及其运算学案

第六节　空间向量及其运算 ‎1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量)‎ 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 ‎2.空间向量的有关定理 ‎(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.‎ ‎(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.‎ ‎(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．‎ ‎3．两个向量的数量积 ‎(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律：‎ ‎①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；‎ ‎②交换律：a·b＝b·a；‎ ‎③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.‎ ‎4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).‎ 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R)‎ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3‎ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0)‎ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 模 ‎|a|‎ 夹角 cos〈a，b〉(a≠0，b≠0)‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结合的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)‎ ‎(2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　)‎ ‎(3)若a·b＜0，则〈a，b〉是钝角．(　　)‎ ‎(4)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)如图761所示，在平行六面体ABCDA1B‎1C1D1中，M为A‎1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是 ‎(　　)‎ 图761‎ A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c A　[＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.]‎ ‎3．O为空间任意一点，若＝＋＋，则A，B，C，P四点(　　)‎ A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．无法判断 B　[由＋＋＝1知，A，B，C，P四点共面．]‎ ‎4．已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)‎ A．(－1,1,0)　　 B．(1，－1,0)‎ C．(0，－1,1) D．(－1,0,1)‎ B　[各选项给出的向量的模都是，|a|＝.‎ 对于选项A，设b＝(－1,1,0)，则cos 〈a，b〉＝＝＝－.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.‎ 对于选项B，设b＝(1，－1,0)，则cos 〈a，b〉＝＝＝.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝60°，正确．‎ 对于选项C，设b＝(0，－1,1)，则cos 〈a，b〉＝＝＝－.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝120°.‎ 对于选项D，设b＝(－1,0,1)，则cos 〈a，b〉＝＝＝－1.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以〈a，b〉＝180°.故选B.]‎ ‎5．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________. ‎ ‎【导学号：51062241】‎ ‎－13　[(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝42＋(－2)2＋(－4)2－[62＋(－3)2＋22]＝－13.]‎ 空间向量的线性运算 ‎　如图762所示，在空间几何体ABCDA1B‎1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：‎ 图762‎ ‎(1)；‎ ‎(2)＋.‎ ‎[解]　(1)因为P是C1D1的中点，‎ 所以＝＋＋＝a＋＋ ‎＝a＋c＋＝a＋c＋b.6分 ‎(2)因为M是AA1的中点，‎ 所以＝＋＝＋ ‎＝－a＋＝a＋b＋c.9分 因为N是BC的中点，‎ 则＝＋＝＋ ‎＝＋＝c＋a，12分 所以＋＝＋ ‎＝a＋b＋c.15分 ‎[规律方法]　1.(1)选择不共面的三个向量作为基向量，这是利用空间向量基本定理求解立体几何问题的前提．‎ ‎(2)用已知基向量表示指定向量时，应结合已知和所求向量观察图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则进行运算．‎ ‎2．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，我们把这个法则称为向量加法的多边形法则．‎ ‎[变式训练1]　如图763所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________. 【导学号：51062242】‎ 图763‎ 　[连接ON，设＝a，＝b，＝c，‎ 则＝－＝(＋)－ ‎＝b＋c－a，‎ ＝＋＝＋ ‎＝a＋＝a＋b＋c.‎ 又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝，‎ 因此x＋y＋z＝＋＋＝.]‎ 共线向量与共面向量定理的应用 ‎　(1)(2017·宁波中学模拟)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，且a与b反向，则λ＋μ＝________.‎ ‎(2)如图764所示，已知斜三棱柱ABCA1B‎1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．‎ ‎①向量是否与向量，共面？‎ ‎②直线MN是否与平面ABB1A1平行？‎ 图764‎ ‎(1)－　[∵a∥b，且a与b反向，‎ ‎∴(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，k<0.‎ ‎∴解得或 当λ＝2，μ＝时，k＝2不合题意，舍去．‎ 当λ＝－3，μ＝时，a与b反向．‎ 因此λ＋μ＝－3＋＝－.]‎ ‎(2)①因为＝k，＝k.‎ 所以＝＋＋＝k＋＋k ‎＝k(＋)＋＝k(＋)＋ ‎＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，‎ 所以由共面向量定理知向量与向量，共面.7分 ‎②当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内；‎ 当0· D.·与·的大小不能比较 C　[取BD的中点F，连接EF，则EF綊CD.‎ 因为AE⊥BC，‎ ‎〈，〉＝〈，〉>90°.‎ 所以·＝0，·<0，‎ 因此·>·.]‎ ‎4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　)‎ A．a2 B.a2‎ C.a2 D.a2‎ C　[如图，设＝a，＝b，＝c，‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.‎ ＝(a＋b)，＝c，‎ ‎∴·＝(a＋b)·c ‎＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2.]‎ ‎5．如图767，在大小为45°的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　)‎ 图767‎ A. B. C．1 D. D　[∵＝＋＋，‎ ‎∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.]‎ 二、填空题 ‎6．已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.‎ ‎－9　[由题意知c＝xa＋yb，‎ 即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，‎ ‎∴解得λ＝－9.]‎ ‎7．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________. 【导学号：51062244】‎ 　[||2＝(＋＋)2‎ ‎＝＋＋＋2(·＋·＋·)‎ ‎＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)‎ ‎＝2，‎ ‎∴||＝，∴EF的长为.]‎ ‎8．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是________．‎ 　[由题意，设＝λ，即＝(λ，λ，2λ)，‎ 则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，‎ ‎∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－，当λ＝时有最小值，此时Q点坐标为.]‎ 三、解答题 ‎9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝，b＝.‎ ‎(1)若|c|＝3，且c∥，求向量c；‎ ‎(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值. 【导学号：51062245】‎ ‎[解]　(1)∵c∥，＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，‎ ‎∴c＝m＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，3分 ‎∴|c|＝＝3|m|＝3，‎ ‎∴m＝±1.‎ ‎∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2).6分 ‎(2)∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．‎ ‎∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1.9分 又∵|a|＝＝，‎ ‎|b|＝＝，‎ ‎∴cos〈a，b〉＝＝＝－，‎ 故向量a与向量b的夹角的余弦值为－.15分 ‎10．(2017·舟山模拟)已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．‎ ‎(1)求以，为边的平行四边形的面积；‎ ‎(2)若|a|＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标．‎ ‎[解]　(1)由题意可得：＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，所以cos〈，〉＝ ‎＝＝＝.3分 所以sin〈，〉＝，‎ 所以以，为边的平行四边形的面积为 S＝2×||·||·sin〈，〉＝14×＝7.6分 ‎(2)设a＝(x，y，z)，由题意得 解得或 所以向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1).15分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，M为BC中点，则△AMD是(　　)‎ A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 C　[∵M为BC中点，‎ ‎∴＝(＋)，‎ ‎∴·＝(＋)· ‎＝·＋·＝0.‎ ‎∴AM⊥AD，△AMD为直角三角形．]‎ ‎2．已知‎2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________．‎ ‎60°　[由题意得，(‎2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.‎ 即2a·c＋b·c＝－10.‎ 又∵a·c＝4，∴b·c＝－18，‎ ‎∴cos〈b，c〉＝＝＝－，‎ ‎∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.]‎ ‎3．在直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．‎ 图768‎ ‎(1)求证：CE⊥A′D；‎ ‎(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值. 【导学号：51062246】‎ ‎[解]　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，‎ 根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，‎ 且a·b＝b·c＝c·a＝0，‎ ‎∴＝b＋c，＝－c＋b－a.3分 ‎∴·＝－c2＋b2＝0.‎ ‎∴⊥，即CE⊥A′D.6分 ‎(2)∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.‎ ·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.13分 即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.15分