2013福州1月份质检文数试卷

2013福州1月份质检文数试卷

福建省福州市 ‎2013届高三上学期期末质量检查 数学（文）试题 ‎（满分：150分；完卷时间：120分钟）‎ ‎ 参考公式：‎ ‎ 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 第Ⅰ卷（选择题共50分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）‎ ‎1．是虚数单位，复数在复平面上的对应点所在 ‎ A．第一象限 B．第二象限 ‎ C．第三象限 D．第三象限 ‎2．如图设全集U为整数集，集合则下图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 ‎ A．3 ‎ ‎ B．‎4 ‎ ‎ ‎ C．7 ‎ ‎ D．8‎ ‎3．设命题p：函数的最小正周期为，命题q：函数的图象关于直线对称，则下列判断正确的是 ‎ A．p为真 B．为真 C．为真 D．为真 ‎4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：‎ x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎ 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型来预测当x= 20时，y的估计值为 ‎ A． 210 B．210．‎5 ‎ C．211．5 D．212．5‎ ‎5．“∥”是“存在唯一实数，使得=”的 ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．函数的大致图象是 ‎7．△ABC中，若sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B的大小是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在区间[0，]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若运行如右图所示的程序，则输出S的值是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎10．已知函数 ‎ 半个周期内的图象如图所示，则函数的解析式为 ‎ A． ‎ ‎ B．‎ ‎ C． ‎ ‎ D．‎ ‎11．若点A（m、n）在第一象限，且在直线上，则的最小值为 ‎ A． B． C．4 D．5‎ ‎12．能够把圆O：x2 +y2‎ ‎= 16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共100分）‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上。）‎ ‎13．以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准议程为 。‎ ‎14．若函数 ，则函数的零点为 。‎ ‎15．已知O是坐标原点，点M的坐标为（2，1），若点N（x，y）为平面区域上的一个动点，则·的最大值是 。‎ ‎16．已知点是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinxl）、B（x2，sinx2）是函数y=sinx（z∈（0，））的图象上的不同两点，则类似地有____成立．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知数列 ‎ （I）证明：数列 是等比数列；‎ ‎ （Ⅱ）求数列的前n项和．‎ ‎18（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数·（其中>o），且函数的最小正周期为 ‎ （I）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）将函数y= f（x）的图象向右平移 单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）的单调区间．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ ‎ 某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表示所示：‎ 社团 泥塑 剪纸 年画 人数 ‎320‎ ‎240‎ ‎200‎ ‎ 为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人．‎ ‎ （I）求三个社团分别抽取了多少同学；‎ ‎ （Ⅱ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率．‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 没椭圆的左、右焦点分别F1、F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，△P F‎1F2的周长为16．‎ ‎ （I）求椭圆C的方程；‎ ‎ （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被椭圆C所截线段的中点坐标。‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ ‎ 如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，‎ ‎ 其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相 ‎ 切的直路（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点 ‎ O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，‎ ‎ 若池边AE满足函数的图象，且点M到边 ‎ OA距离为．‎ ‎ （I）当时，求直路所在的直线方程；‎ ‎ （Ⅱ）当t为何值时，地块OABC在直路不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数·的图象过点（1，0）‎ ‎ （I）求的解析式；‎ ‎ （Ⅱ）若为实数）恒成立，求的取值范围；‎ ‎ （Ⅲ）当时，讨论在区间（0，2）上极值点的个数。‎ 福州市2012—2013学年第一学期高三期末质量检查 数学（文科）试卷参考答案及评分意见 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）‎ ‎1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A 11.D 12.D 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）‎ ‎13． 14． 1或0 15．3 16．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共74分.）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因点在直线的图象上，，‎ 令，故只需证是等比数列， 2分 ‎，， 4分 数列是以为首项，3为公比的等比数列.‎ 即数列是以为首项，3为公比的等比数列. 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列是以为首项，3为公比的等比数列，‎ ‎∴， 8分 ‎ 9分 所以数列的前n项和 ‎ 10分 ‎. 12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为， 2分 因为，函数周期为 3分 所以，所以 4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍，纵坐标不变，得到函数. 8分 由，；得 由 ；得 故函数的增区间为[] ;‎ 减区间为[]，. 12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设抽样比为，则由分层抽样可知，“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为． 1分 则由题意得，解得． 2分 故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为，，． 4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“剪纸”社团抽取的同学为6人，其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F． 6分 则从这6位同学中任选2人，不同的结果有 ‎{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，‎ ‎{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，‎ ‎{C，D}，{C，E}，{C，F}，‎ ‎{D，E}，{D，F}，‎ ‎{E，F}，‎ 共15种． 8分 其中含有1名女生的选法为 ‎{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，‎ ‎{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，‎ 共8种； 10分 含有2名女生的选法只有{A，B}1种．‎ 故至少有1名女同学被选中的概率为=． 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则由题设得，解得，所以，故所求的方程为. 6分 ‎ ‎（Ⅱ）解法一、过点且斜率为的直线方程为，……………………… 8分 将之代入的方程，得 ‎，即. 9分 因为在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点， 10分 因为，所以线段中点的横坐标为， ‎ 纵坐标为. 11分 故所求线段的中点坐标为. 12分 解法二、过点且斜率为的直线的方程为， 8分 因为在椭圆内，所以直线与椭圆有两个交点，‎ 设两交点的坐标分别为，中点M的坐标为 则有ks5u 9分 由（1）-（2）得，‎ 即 得，又， 11分 所以 故所求线段的中点坐标为. 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）∵，∴，‎ y A O B x C ‎∴过点M 的切线的斜率为, 2分 所以过点M的切线方程为，即； ‎ 当时，切线的方程为……………………………4分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，切线的方程为：，‎ 令，得．故切线与线段AB交点为F，…………5分 令，得．故切线与线段BC交点为G……………………6分 地块OABC在切线右上部分的区域为一三角形，设其面积为，‎ ‎∴， 8分 ‎ 10分 ‎∵‎ ‎∴当时为单调递增函数；当时为单调递减函数，‎ ‎∴当时，的最大值为． 11分 ‎∴当点M到边OA距离为m时，‎ 地块OABC在直路不含游泳池那侧的面积取到最大，最大值为m2． 12分 ‎22.（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）函数的图象过定点（1，0），……………………………………1分 把点（1，0）代入得，‎ 所以，…………………………………………………………………………………2分 ‎（Ⅱ）恒成立，‎ 即恒成立，得，因为，‎ 所以， 3分 令， 4分 当时，，所以在为减函数； 5分 当时，，所以在为增函数； 6分 的最小值为，故 ； 7分 ‎（Ⅲ）由（Ⅰ）知，，所以 所以 又，由得，，． 9分 ‎（1）当时，得，，在（0，2）为增函数，无极值点； 10分 ‎（2）当且时，得且，根据的变化情况检验，可知有2个极值点； 12分 ‎（3）当或时，得或时，根据的变化情况检验，可知有1个极值点； 13分 综上，当时，函数在（0，2）无极值点；当或时，有1个极值点；当且时，有2个极值点． 14分 ‎ ‎