- 2021-06-10 发布 |
- 37.5 KB |
- 19页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
2020届江苏省盐城中学高三年级第二次阶段性质量检测(12月) 数学试题(解析版)
2020届江苏省盐城中学高三年级第二次阶段性质量检测(12月) 数学试题 一、填空题 1.设集合,,若,则______ . 【答案】4 【解析】由,所以,即可求解,得到答案. 【详解】 由题意,集合,, 因为,所以,故. 故答案为. 【点睛】 本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题,其中解答中熟记集合交集的概念,得到是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于容易题. 2.已知复数,则复数的虚部为________. 【答案】 【解析】先由复数的除法运算,化简,再由共轭复数的概念,即可得出结果. 【详解】 因为, 所以其共轭复数为,因此其虚部为: 故答案为: 【点睛】 本题主要考查求复数的共轭复数,熟记共轭复数的概念,以及复数的除法运算法则即可,属于基础题型. 3.函数的定义域是________. 【答案】 【解析】根据函数解析式,列出不等式求解,即可得出结果. 【详解】 由题意,可得:,即,解得:. 即函数的定义域为 故答案为: 【点睛】 本题主要考查求具体函数的定义域,只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可,属于基础题型. 4.设,则“”是“直线与直线垂直”的______条件. 【答案】充分不必要条件 【解析】先由两直线垂直求出,再根据充分条件与必要条件的概念,即可判断出结果. 【详解】 若直线与直线垂直, 则,解得:; 所以由“”能推出“直线与直线垂直”, 由“直线与直线垂直”不能推出“”; 即“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要条件 【点睛】 本题主要考查充分不必要条件的判断,熟记充分条件与必要条件的概念,以及两直线垂直的判定条件即可,属于常考题型. 5.在平面直角坐标系中,抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,则焦点到准线的距离为__________. 【答案】4 【解析】试题分析:因为,抛物线上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3,即1+=3,所以,=2,焦点到准线的距离为p=4. 【考点】抛物线的定义,抛物线的几何性质。 点评:简单题,对于抛物线上的点(x,y),其到焦点的距离为x+. 6.设曲线的图象在点(1,)处的切线斜率为2,则实数a的值为_______. 【答案】3 【解析】首先对函数求导,根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,从而将相应的量代入,求得结果. 【详解】 函数,可得, 所以切线的斜率为,解得, 故答案是3. 【点睛】 该题考查的是有关函数图象在某个点处的切线的斜率问题,涉及到的知识点有导数的几何意义,根据题意,得到参数所满足的等量关系,求得结果,属于简单题目. 7.已知实数x,y满足条件,则的最大值为________. 【答案】 【解析】先由约束条件作出可行域,化目标函数为,则目标函数表示直线在轴截距,结合图像,即可得出结果. 【详解】 由约束条件作出可行域如下, 目标函数可化为,因此目标函数表示直线在轴截距, 由图像可得:当直线过点时,在轴截距最大,即取得最大值. 由得,即, 因此. 故答案为: 【点睛】 本题主要考查简单的线性规划问题,只需由约束条件作出可行域,根据目标函数的几何意义,结合图像即可求解,属于常考题型. 8.在平面直角坐标系中,已知焦距为的双曲线的右准线与它的两条渐近线分别相交于点,其焦点为,则四边形的面积的最大值为____________. 【答案】 【解析】先由焦距为,得,由双曲线方程,得到渐近线方程为,右准线方程为,不妨设为右准线与渐近线的交点,根据方程求出点坐标,同理,得到点坐标,再由题意得到四边形的面积为 ,根据三角形面积公式,以及基本不等式,即可求出结果. 【详解】 因为双曲线焦距为,即,, 又双曲线的渐近线方程为, 右准线方程为:, 不妨设为右准线与渐近线的交点, 由解得:,同理 因此四边形的面积为 , 当且仅当时,等号成立. 故答案为: 【点睛】 本题主要考查求双曲线中四边形面积的最值问题,熟记双曲线的简单性质即可,属于常考题型. 9.在直角三角形中,,,若,则 . 【答案】. 【解析】试题分析:因为 ,所以应填. 【考点】1、平面向量的数量积的应用; 10.若点在直线上,则的值为________. 【答案】 【解析】先由题意,得到,即,再由,根据二倍角公式,以及同角三角函数基本关系,通过弦化切,即可求出结果. 【详解】 因为点在直线上, 所以,因此, 所以 故答案为: 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换求值的问题,熟记同角三角函数基本关系,以及二倍角公式,两角和的余弦公式等即可,属于常考题型. 11.已知均为等比数列,其前n项和分别为,若对任意的,总有,则________. 【答案】 【解析】设等比数列的公比分别为,根据题意,得到 ,求解,得,进而可得出结果. 【详解】 设等比数列的公比分别为, 则,, 因为分别为的前n项和,且, 所以,即,即, 解得:,所以 故答案为: 【点睛】 本题主考查等比数列的基本量的运算,熟记等比数列的通项公式与求和公式即可,属于常考题型. 12.已知函数,若函数有5个零点,则实数的取值范围是________. 【答案】或. 【解析】先用导数的方法,判断出函数在的单调性,求出极值,在根据指数单调性判断时,函数的单调性;作出函数大致图像;将函数的零点个数问题,转化为与或 的交点个数来处理,结合函数图像,即可得出结果. 【详解】 因为, 当时,,则, 由得;由得, 所以函数在上单调递增,在上单调递减; 此时有极大值; 当时,显然单调递减; 作出函数的大致图像如下: 由得或, 因为函数有5个零点, 所以与或共有5个交点, 由图像可得:只需或,即或. 故答案为:或. 【点睛】 本题主要考查由函数零点个数求参数,熟记导数的方法判断函数单调性,利用转化与化归思想,以及数形结合的方法判断函数零点个数即可,属于常考题型. 13.在平面直角坐标系中,已知点,、为圆上的两动点,且,若圆上存在点,使得,则的取值范围为________. 【答案】 【解析】取中点为,连接,得到,由得到,再由、为圆上的两动点,且,得到 ,设,求出点的轨迹,再由点与圆位置关系,求出的取值范围,即可求出结果. 【详解】 取中点为,连接, 则, 又圆上存在点,使得, 所以, 因此,即; 因为、为圆上的两动点,且, 所以,设 , 则,即即为动点的轨迹; 所以表示圆上的点与定点之间的距离, 因此,即. 即. 故答案为: 【点睛】 本题主要考查平面向量与圆的方程的综合,熟记平面向量基本定理,点与圆位置关系,会求圆上的点到定点的距离即可,属于常考题型. 14.已知的面积为,且满足,则边的最小值为_______. 【答案】 【解析】将正切化成正余弦,化简得出b,c和sinA之间的关系,结合面积公式即可得出b2关于A的函数式,再根据A的范围计算b的最小值,即可得AC的最小值. 【详解】 ∵,∴,∴4cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB, ∴3cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB﹣cosAsinB, 即3sin(A+B)=sinB(sinA﹣cosA),即3sinC=sinB(sinA﹣cosA), ∴3c=b(sinA﹣cosA),即c, ∵△ABC的面积S=bcsinA= =(sin2A﹣cosAsinA)=(1﹣sin2A﹣cos2A)=, ∴b2=,∵3c=b(sinA﹣cosA)>0,且0<A<π, ∴,∴当即A=时,b2取得最小值 =12, ∴b的最小值为,即AC最小值为. 故答案为. 【点睛】 本题考查了同角三角函数关系、正弦定理、面积公式、两角和的正弦公式、以及正弦型三角函数的性质,属于中档题. 二、解答题 15.(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分) 已知函数f(x)=sin2x- . (Ⅰ)求f(x)的最小周期和最小值, (Ⅱ)将函数f(x)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图像.当x 时,求g(x)的值域. 【答案】(Ⅰ)的最小正周期为,最小值为,(Ⅱ). 【解析】试题分析:(Ⅰ)首先用降幂公式将函数的解析式化为的形式,从而就可求出的最小周期和最小值, (Ⅱ)由题目所给变换及(Ⅰ)的化简结果求出函数的表达式,再由并结合正弦函数的图象即可求出其值域. 试题解析: (1) , 因此的最小正周期为,最小值为. (2)由条件可知:. 当时,有, 从而的值域为, 那么的值域为. 故在区间上的值域是. 【考点】1. 三角恒等变换,2.正弦函数的图象及性质,3.三角函数图象变换. 16.已知△中,,,. 求: (1)角的大小; (2)△ABC中最小边的边长. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)由内角和定理,以及诱导公式化简tanC,将tanA与tanB代入值代入求出tanC的值,即可确定出C的度数; (2)由tanA与tanB的大小判断出BC为最小边,由tanA的值,利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值,利用正弦定理求出BC的长. 【详解】 解:(1) = –= – ,所以, (2)因为,所以最小角为 又因为,所以, ,又, 所以 . 【点睛】 此题考查了正弦定理,同角三角函数间的基本关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 17.从金山区走出去的陈驰博士,在《自然—可持续性》杂志上发表的论文中指出:地球正在变绿,中国通过植树造林和提高农业效率,在其中起到了主导地位.已知某种树木的高度(单位:米)与生长年限(单位:年,tÎN)满足如下的逻辑斯蒂函数:,其中e为自然对数的底数. 设该树栽下的时刻为0. (1)需要经过多少年,该树的高度才能超过5米?(精确到个位) (2)在第几年内,该树长高最快? 【答案】(1)8年(2)第四年内或第五年内 【解析】(1)解不等式f(t)>5,即可 (2)利用作差法求出f(t)﹣f(t﹣1)的表达式,判断函数的单调性和最值即可. 【详解】 解:(1) 令5,解得, 即需要经过8年,该树的高度才能超过5米; (2) 当N时, 设,则,. 令,则. 上式当且仅当时,取得最大值 此时,,即,解得. 由于要求为正整数,故树木长高最快的可能值为4或5, 又,, 所以,该树在第四年内或第五年内长高最快. 【点睛】 本题主要考查函数的应用问题,利用作差法判断函数的最值是解决本题的关键.考查学生的计算能力. 18.已知椭圆:, 过点的直线:与椭圆交于M、N两点(M点在N点的上方),与轴交于点E. (1)当且时,求点M、N的坐标; (2)当时,设,,求证:为定值,并求出该值; (3)当时,点D和点F关于坐标原点对称,若△MNF的内切圆面积等于,求直线的方程. 【答案】(1)M(0,1),N (,);(2)为定值3(3) 【解析】(1)代值联立方程组.解得即可求出, (2)联立方程,利用韦达定理,以及向量的知识可得从而,化简整理即可证明, (3)假设存在直线l:y=k(x+1)满足题意,则△MNF的内切圆的半径为,根据韦达定理,弦长公式,三角形的面积公式,即可求出k的值 【详解】 解:(1) 当m=k=1时,联立,解之得:或, 即M(0,1),N (,); (2) 当m=2时联立,消去y得:, 设M(x1,y1),N (x2,y2),则, 由,,且点的横坐标为0, 得、. 从而 = =, 为定值3; (3) 当m=3时,椭圆:,假设存在直线满足题意,则△ 的内切圆的半径为,又、为椭圆的焦点,故△MNF的周长为8, 从而, 消去,得,设、, 则. 故,即. 由(2),得, 化简,得,解得, 故存在直线满足题意. 【点睛】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、韦达定理、三角形面积计算公式、考查了推理能力与计算能力,属于难题. 19.设函数. (1)讨论的单调性; (2)若存在正数,使得当时,,求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】分析:函数求导得,讨论,由导数的正负求单调区间即可; (2)若,分析函数可知,即,设,,讨论和两种情况,知成立,时不成立,时,存在,使得当时,,可化为,即,设,分析和求解即可. 详解:(1). 当时,,上单调递增. 当时,若,则,若,则;所以在单调递增,在上单调递减. (2)若,在内单调递增,当时,,所以,即. 设,. 若,时,,在单调递增.所以当时,, 故存在正数,使得当时,. 若,当时,,在单调递减,因为,所以.故不存在正数,使得当时,. 若,在单调递减,因为,所以存在,使得当时,,可化为,即. 设,. 若,则时,,在单调递增,又,所以时,.故不存在正数,使得当时,. 当时,当时,,在单调递减,又,所以.故存在,使得当时,. 综上,实数的取值范围为. 点睛:点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题: (1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题; (2)若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为 ,若恒成立; (3)若 恒成立,可转化为(需在同一处取得最值) . 20.数列满足对任意的恒成立,为其前n项的和,且,. (1)求数列的通项; (2)数列满足,其中. ①证明:数列为等比数列; ②求集合 【答案】(1);(2)①过程见详解;②. 【解析】(1)先由题意,得到数列是等差数列,设公差为,根据题中条件,求出首项与公差,进而可求出通项公式; (2)①根据(1)的结果,将化为,得到(),两式作差整理,得到,进而可求出,判断出结果; ②先由得到,即,判断出,得到,设,得到,分别研究对应的情况,再由导数的方法证明当,时, ,即可得出结果. 【详解】 (1)因为数列满足对任意的恒成立, 所以数列是等差数列,设公差为, 因为,,所以,解得:, 因此; (2)①因为数列满足, , 所以(), 两式作差可得:(), 又也满足上式,所以, 记数列的前项和为, 则, 当时,,两式作差可得:, 所以, 即, 所以,因此,即数列为等比数列; ②由得,即, 记,由①得,所以,因此(当且仅当时等号成立). 由得,所以. 设,由得,即; 当时,,不符合题意; 当时,,此时符合题意; 当时,,不符合题意; 当时,,不符合题意, 下面证明当,时, , 不妨设, 则在上恒成立, 所以在单调递增; 所以, 所以,当,时, 恒成立,不符合题意; 综上,集合. 【点睛】 本题主要考查等差数列与等比数列的综合,熟记等差数列与等比数列的通项公式,以及求和公式,会判断数列的增减性等即可,属于常考题型.查看更多