【数学】2019届一轮复习人教A版椭圆、双曲线、抛物线学案

【数学】2019届一轮复习人教A版椭圆、双曲线、抛物线学案

‎【考向解读】 ‎ ‎1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).‎ ‎【命题热点突破一】 圆锥曲线的定义与标准方程 ‎1．圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；‎ ‎(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；‎ ‎(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.‎ ‎2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”‎ 所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．‎ 例1　【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）‎ A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<‎1 ‎‎ C．m1 D．mb>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋y2＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【答案】　(1)A　(2)D ‎【命题热点突破二】 圆锥曲线的几何性质 ‎1．椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系 ‎(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝；‎ ‎(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.‎ ‎2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．‎ 例2、【2016高考新课标3理数】已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，分别为的左，右顶点.为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【变式探究】　(1)椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．‎ ‎(2)(2015·西北工业大学附中四模)已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2＋y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±(＋1)x D．y＝±(－1)x ‎【答案】 (1)－1　(2)C ‎【解析】(1)直线y＝(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.‎ ‎(2)由题意作出示意图，‎ 易得直线BC的斜率为，‎ cos∠CF1F2＝，‎ 又由双曲线的定义及|BC|＝|CF2|可得|CF1|－|CF2|＝|BF1|＝2a，‎ ‎|BF2|－|BF1|＝2a⇒|BF2|＝4a，‎ 故cos∠CF1F2＝＝⇒b2－2ab－2a2＝0⇒()2－2()－2＝0⇒＝1＋，故双曲线的渐近线方程为y＝±(＋1)x. 学 ‎ ‎【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．‎ ‎(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．‎ ‎【变式探究】‎ ‎(1)设F1，F2分别是椭圆＋＝1 (a>b>0)的左，右焦点，若在直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)‎ A．(－1,0)∪(0,1)‎ B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－，0)∪(0，)‎ D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ ‎【答案】　(1)D　(2)A 此时F2为中点，即－c＝2c，得e＝，‎ 综上，得≤e<1，‎ 即所求的椭圆离心率的取值范围是.‎ 即y＝－x＋＋，‎ lCD：y＋＝(x－c)，‎ 即y＝x－－.‎ ‎∴xD＝c＋.‎ ‎∴点D到BC的距离为.‎ ‎∴b2，∴0<<1.∴0<<1. ‎ ‎【命题热点突破三】 直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 ‎(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x ‎)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；‎ ‎(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．‎ 例3、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且右焦点F到直线l：x＝－的距离为3.‎ ‎ (1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若|PC|＝2|AB|，求直线AB的方程．‎ 从而 ≠0，故直线PC的方程为 y＋＝－，‎ 则P点的坐标为，‎ 从而|PC|＝.‎ 因为|PC|＝2|AB|，‎ 所以＝，‎ 解得 ＝±1.‎ 此时直线AB的方程为y＝x－1或y＝－x＋1.‎ ‎【特别提醒】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．‎ ‎【变式探究】‎ ‎(1)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于(　　)‎ A. B．2 C．6 D．4 ‎(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎【答案】　 (1)D　(2)D ‎∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2代入上式得：‎ ＝.‎ ‎∵直线AB的斜率为＝，‎ ‎∴＝⇒a2＝2b2，‎ ‎∵右焦点为F(3,0)，‎ ‎∴a2－b2＝c2＝9，‎ 解得a2＝18，b2＝9，‎ 又此时点(1，－1)在椭圆内，‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1. ‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎2.【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段PF上的点，且=2,则直线OM的斜率的最大值为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）1‎ ‎【答案】C ‎【解析】设（不妨设），则 ‎，故选C.‎ ‎3.【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，‎ 与轴垂直，,则的离心率为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）2‎ ‎【答案】A ‎ 4.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）‎ A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<‎1 ‎‎ C．m1 D．m0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）‎ ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎9.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得，因此 ‎10.【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】抛物线的普通方程为，，，‎ 又，则，由抛物线的定义得，所以，则，‎ 由得，即，‎ 所以，，‎ 所以，解得．‎ ‎11.【2016高考山东理数】已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】假设点A在第一象限，点B在第二象限，则，，所以，，由，得离心率或（舍去），所以E的离心率为2. ‎ ‎12.【2016年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则_______________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵是正方形，∴，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意，∴，．故填：2．‎ ‎13.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是________▲________. ‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎14.【2016高考山东理数】（本小题满分14分） 平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点. （I）求椭圆C的方程；‎ ‎（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.‎ ‎（i）求证：点M在定直线上;‎ ‎（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 ‎ 的最大值及取得最大值时点P的坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为 ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）（Ⅰ）设，由可得，‎ 所以直线的斜率为，‎ 因此直线的方程为，即.‎ 设，联立方程 得，‎ 由，得且，‎ 因此,‎ 将其代入得，‎ 因为，所以直线方程为.‎ 联立方程，得点的纵坐标为，‎ 即点在定直线上.‎ ‎ ‎ ‎15.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）‎ 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线 ‎（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为；‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）①详见解析，②‎ ‎【解析】‎ 由①知，于是，所以 因此的取值范围为 ‎16.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）‎ 设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 由（Ⅰ）知，，设，有，.‎ 由，得，所以，解得.‎ 因此直线的方程为.‎ 设，由方程组消去，解得.‎ 在中，，即，‎ 化简得，即，解得或.‎ 所以，直线的斜率的取值范围为.‎ ‎17.【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．‎ ‎（I）若在线段上，是的中点，证明；‎ ‎（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．‎ ‎（Ⅱ）设与轴的交点为，‎ 则.‎ 由题设可得，所以（舍去），.‎ 设满足条件的的中点为.‎ 当与轴不垂直时，由可得.‎ 而，所以.‎ 当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. ....12分[ : xx ]‎ ‎18.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆（a＞1）.‎ ‎（I）求直线y= x+1被椭圆截得的线段长（用a、 表示）；‎ ‎（II）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 ‎ 范围.‎ ‎【答案】（I）；（II）．[ :学+ + ]‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足 ‎．‎ 记直线，的斜率分别为，，且，，．‎ ‎ ‎ ‎19.【2016高考新课标2理数】已知椭圆的焦点在轴上，是的左顶点，斜率为的直线交于两点，点在上，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，则由题意知，当时，的方程为，.‎ 由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.‎ 将代入得.解得或，所以.‎ 因此的面积.‎ ‎ ‎ ‎20.【2016年高考北京理数】（本小题14分）‎ 已知椭圆C： （）的离心率为 ，，，，的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.‎ 求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ 令，得，从而.‎ 所以 ‎.‎ 当时，，‎ 所以.‎ 综上，为定值.‎ ‎21.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）‎ 已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程及点T的坐标；‎ ‎（Ⅱ）设O是坐标原点，直线l’平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P．证明：存在常数，使得，并求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ），点T坐标为（2,1）；（Ⅱ）.‎ ‎（II）由已知可设直线 的方程为，‎ 有方程组 可得 所以P点坐标为（ ），.‎ 设点A，B的坐标分别为 .‎ 由方程组 可得.②‎ 方程②的判别式为，由，解得.‎ ‎ ‎ ‎22. 【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.‎ 双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。‎ ‎（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. ‎ ‎【答案】（1）．（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设．‎ 由题意，，，，‎ 因为是等边三角形，所以，‎ 即，解得．‎ 故双曲线的渐近线方程为．‎ ‎ ‎ ‎1．(2015·重庆，10)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D，若D到直线BC的距离小于a＋，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(　　)‎ A．(－1，0)∪(0，1) ‎ B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－，0)∪(0，)‎ D．(－∞，－)∪(，＋∞)‎ ‎【答案】　A ‎【解析】　由题意A(a，0)，B，C，由双曲线的对称性知D在x轴上，设D(x，0)，由BD⊥AC得·＝－1，解得c－x＝，所以c－x＝＜a＋＝a＋c，所以＜c2－a2＝b2⇒＜1⇒0＜＜1，因此渐近线的斜率取值范围是(－1，0)∪(0，1)，选A.‎ ‎2．(2015·陕西，14)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________．‎ ‎【答案】　2 ‎ ‎【解析】　由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±，0)，故应有＝，p＝2.‎ ‎3．(2015·天津，6)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(2，) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【答案】　D ‎ ‎ ‎4．(2015·浙江，5)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　　)‎ A. 　　　 B. ‎ C. 　　　 D. ‎【答案】　A ‎【解析】　由图象知＝＝，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1，∴＝.故选A.‎ ‎5．(2015·福建，3)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)‎ A．11 B．9 C．5 D．3‎ ‎【答案】　B ‎【解析】　由双曲线定义||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9，故选B.‎ ‎6．(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)‎ A．x2－＝1 B.－y2＝1‎ C.－x2＝1 D．y2－＝1‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±x，只有C符合，故选C.‎ ‎7．(2015·广东，7)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ ‎【答案】　B ‎ 8．(2015·四川，5)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝(　　)‎ A. B．2 C．6 D．4 ‎【答案】　D ‎【解析】　焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，y＝±2，∴|AB|＝2－(－2)＝4.选D.‎ ‎9．(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)‎ A. B．2 C. D. ‎【答案】　D ‎ 10．(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则y0的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D.[ :学, , ,X,X, ]‎ ‎【答案】　A ‎【解析】　由题意知M在双曲线C：－y2＝1上，又在x2＋y2＝3内部，由得y＝±，所以－0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　由题意，不妨设直线OA的方程为y＝x，直线OB的方程为y＝－x.由得x2＝2p ·x，‎ ‎∴x＝，y＝，∴A.‎ 设抛物线C2的焦点为F，则F，‎ ‎∴ AF＝.‎ ‎∵△OAB的垂心为F，∴AF⊥OB，∴ AF· OB＝－1，‎ ‎∴·＝－1，∴＝.‎ 设C1的离心率为e，则e2＝＝＝1＋＝.‎ ‎∴e＝.‎