2017-2018学年山东省德州市高二上学期期末考试数学理试题 Word版

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2017-2018学年山东省德州市高二上学期期末考试数学理试题 Word版

‎2017-2018学年山东省德州市高二上学期期末考试数学理试题 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知命题,则为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎2.抛物线的焦点坐标是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 过点且与直线平行的直线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若变量满足约束条件,则的最大值为 ( )‎ A. 1 B.‎2 C. 3 D.4‎ ‎5.如图是一个几何体的三视图,根据图中的数据(单位:),可知此几何体的体积是 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6. 圆与圆的位置关系为( )‎ A.内切 B.相交 C. 外切 D.相离 ‎7.“”是“方程表示双曲线”的 ( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8. 过点引直线与曲线相交于两点,为坐标原点,当的面积取最大值时,直线的斜率等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 设是两条不同直线,是两个不同的平面,下列命题正确的是( )‎ A.且,则 B.且,则 ‎ C. ,则 D.,则 ‎10. 设分别是双曲线的左、右焦点.圆与双曲线的右支交于点,且,则双曲线离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 在正方体中,分别是中点,则与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12. 已知,抛物线的焦点为,射线与抛物线相交于点,与其准线相交于点中,若,则三角形面积为( )‎ A. B. C. 4 D.‎ 第Ⅱ卷 非选择题(共90分)‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.在空间直角坐标系中,正方体的顶点的坐标为,其中心的坐标为,则该正方体的棱长等于 .‎ ‎14.某隧道的拱线设计半个椭圆的形状,最大拱高为‎6米(如图所示),路面设计是双向车道,车道总宽为米,如果限制通行车辆的高度不超过‎4.5米,那么隧道设计的拱宽至少应是 米.‎ ‎15.已知是球的球面上两点,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为 .‎ ‎16.已知圆,圆,若圆上存在点,过点作圆的两条切线,切点为,使得,则实数的最大值与最小值之和为 .‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17.已知圆,直线.‎ ‎(1)当为何值时,直线与圆相切;‎ ‎(2)当直线与圆相交于两点,且时,求直线的方程.‎ ‎18. 如图,已知所在的平面,是的直径,是上一点,且是中点,为中点.‎ ‎(1)求证:面;‎ ‎(2)求证:面;‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ ‎19. 已知命题直线和直线垂直;命题三条直线将平面划分为六部分.若为真命题,求实数的取值集合.‎ ‎20. 已知四棱锥,四边形是正方形,.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)若为的中点,求二面角的余弦值.‎ ‎21.已知抛物线上一点到其焦点的距离为2.‎ ‎(1)求抛物线的方程;‎ ‎(2)若直线与圆切于点,与抛物线切于点,求的面积.‎ ‎22.椭圆的离心率是,过点的动直线与椭圆相交于两点,当直线与轴平行时,直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)在轴上是否存在异于点的定点,使得直线变化时,总有?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BDCCB 6-10: AABBD 11、12:CA 二、填空题 ‎13. 14. 32 15. 16. 4‎ 三、解答题 ‎17.解:将圆的方程化成标准方程为,‎ 则此圆的圆心为,半径为2.‎ ‎(1)若直线与圆相切,则有,解得;‎ ‎(2)过圆心作,则根据题意和圆的性质,‎ 得,解得或,故所求直线方程为或.‎ ‎18.解:(1)证明:在三角形中,是中点,为中点,‎ ‎∴,平面平面,∴面;‎ ‎(2)证明:∵面,平面,∴,‎ 又∵是的直径,∴,‎ 又,∴面,‎ ‎∵,∴面;‎ ‎(3)∵,∴,‎ 在中,∵,∴,‎ ‎∴.‎ ‎19.解:真:,,∴或,‎ 真:∵与不平行,‎ 则与平行或与平行或三条直线交于一点,‎ 若与平行,由得,‎ 若与平行,由得,‎ 若三条直线交于一点,由,得,‎ 代入得,‎ ‎∴真,或或,‎ ‎∵真,∴至少有一个为真,‎ ‎∴的取值集合为.‎ ‎20.解:(1)证明:∵,‎ ‎∴,即,‎ 又∵为正方形,∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴平面,∵平面,∴平面平面;‎ ‎(2)‎ 解:设的中点为,∵,∴,‎ 由(1)可知平面平面,且平面平面,‎ ‎∴平面,‎ 在平面内,过作直线,则两两垂直.‎ 以为坐标原点,所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,‎ 则,‎ ‎∴,‎ 设平面的法向量为,‎ 则,,即,取,‎ 设平面的法向量为,‎ 则,,即,取,‎ ‎,由图可知,二面角的余弦值为.‎ ‎21.解:(1)∵在抛物线上,∴,‎ 由题意可知,,解得,‎ 所以抛物线的方程为;‎ ‎(2)设直线方程为:,∵与圆相切,‎ ‎∴,整理得,①‎ 依题意直线与抛物线相切,‎ 由得 (*)‎ ‎ ②‎ 由①②解得或,‎ 此时方程(*)化为,解得,∴点,‎ ‎∴,‎ 直线为:或,‎ 到的距离为,‎ ‎∴.‎ ‎22.解:(1)∵,∴,‎ 椭圆方程化为:,由题意知,椭圆过点,‎ ‎∴,解得,‎ 所以椭圆的方程为:;‎ ‎(2)当直线斜率存在时,设直线方程:,‎ 由得,,‎ 设,‎ 假设存在定点符合题意,∵,∴,‎ ‎∴‎ ‎,‎ ‎∵上式对任意实数恒等于零,∴,即,∴,‎ 当直线斜率不存在时,两点分别为椭圆的上下顶点,‎ 显然此时,综上,存在定点满足题意.‎
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