四川省泸县第五中学2019-2020学年高二下学期第一次在线月考数学（理）试题
2020年春四川省泸县第五中学高二第一学月考试
理科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．命题“若，则”的逆否命题为
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
3．不等式的解集是
A． B． C． D．
4．已知a＞b．则下列关系正确的是
A．a3＞b3 B．|a|＞|b| C．a2＞b2 D．
5．若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是
A．79 B．79.5 C．80 D．81.5
6．双曲线－y2＝1的离心率是
A． B． C． D．
7．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入万
8.3
8.6
9.9
11.1
12.1
支出万
5.9
7.8
8.1
8.4
9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为
A．12.68万元 B．13.88万元 C．12.78万元 D．14.28万元
8．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是
A．k<1或k>3 B．1
1 D．k<3
9．“0＜m＜2”是“方程表示的曲线为双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．在正四面体中，点，分别在棱，上，若且，，则四面体的体积为
A． B． C． D．
11．已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
12．设双曲线M：1（a＞0，b＞0）的上顶点为A，直线y与M交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线交于点D若D到点（0，2）的距离不超过87a，则M的离心率的取值范围是
A．[1，+∞） B．[1，+∞） C．（1，1] D．（1，1]
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知变量满足约束条件，则的最大值为_______________.
14．若椭圆：的焦距为，则椭圆的长轴长为_________.
15．若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是_______．
16．若抛物线上存在关于直线成轴对称的两点，则的取值范围是__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知命题：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，命题：不等式对于任意恒成立.
（I）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（II）若命题为真，为假，求实数的取值范围.
18．（12分）已知函数的最小值为．
（I）求的值；
（II）若对一切实数都成立，求实数的取值范围．
19．（12分）为了促进学生的全面发展，某市教育局要求本市所有学校重视社团文化建设，2014年该市某中学的某新生想通过考核选拨进入该校的“电影社”和“心理社”
，已知该同学通过考核选拨进入这两个社团成功与否相互独立根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率
（Ⅰ）求该同学分别通过选拨进入“电影社”的概率和进入心理社的概率；
（Ⅱ）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分．求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率．
20．（12分）如图，四边形为矩形，平面平面，，，，，点在线段上.
（I）求证：平面；
（II）若二面角的余弦值为，求的长度.
21．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1＝0和抛物线E：y2＝2px（p＞0），圆C与抛物线E的准线交于M、N两点，△MNF的面积为p，其中F是E的焦点．
（I）求抛物线E的方程；
（II）不过原点O的动直线l交该抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB，设点Q为圆C上任意一动点，求当动点Q到直线l的距离最大时直线l的方程．
22．（12分）设A是圆O：x2+y2＝16上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B
是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足4|BQ|＝3|BA|．当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．
（I）求曲线C的方程；
（II）已知直线y＝kx﹣2（k≠0）与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为M′，设P（0，﹣2），证明：直线M′N过定点，并求△PM′N面积的最大值．
2020年春四川省泸县第五中学高二第一学月考试
理科数学试题参考答案
1．A 2．C 3．A 4．A 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C 11．A 12．D
13．11 14． 15． 16．
17．
，
（1）由于为真命题，故为真命题或为真命题，从而有或，即.
（2）由于为真命题，为假命题，所以均为真命题或均为假命题，从而有或，解得即：.
18．解：（1）函数的最小值为．
当时，在上单调递增，没有最小值；
当时，可知时取得最小值；
即，
解得，故的值为．
（2）由对一切实数都成立，即，
可得，
（当且仅当时取等号），
，
即．解得：或．故得实数的取值范围．
19．（Ⅰ）根据题意得：，且p1＜p2，∴p1，p2．
（Ⅱ）令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为ξ，
P（ξ＝1）＝（1），
P（ξ＝1.5），
∴该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率：
p．
20．（1）证明：∵，∴，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面.
（2）以为原点，以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
由题知，平面，
∴为平面的一个法向量，
设，则，∴，
设平面的一个法向量为，则，
∴，令，可得，
∴，得或（舍去），∴.
21．解：（1）圆的圆心，半径为1，
抛物线的准线方程为，，，
由的面积为，可得，即，
可得经过圆心，可得．则抛物线的方程为；
（2）不过原点的动直线的方程设为，，
联立抛物线方程，可得，
设，，，，可得，，
由可得，即，即，解得，
则动直线的方程为，恒过定点，
当直线时，到直线的距离最大，
由，可得到直线的距离的最大值为，
此时直线的斜率为，
直线的斜率为5，可得直线的方程为．
22．解：（1）设，，，，在直线上，
，．①
点在圆上运动，．②
将①式代入②式即得曲线的方程为．
证明：（2）设，，，，则，，
联立，得，
，．
直线的斜率，
直线的方程为．
令，得，
直线过定点．
面积，
当且仅当，即时取等号，面积的最大值为．
