【数学】广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二下学期期中考试

【数学】广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二下学期期中考试

广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二下学期期中考试 一、单项选择题 (本题共10小题，每小题5分，共50分．每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求．)‎ ‎1.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x-1，x∈A}，则A∩B=（　　）‎ A. {2} B. {3} C. {2，3} D. {2，4}‎ ‎2.已知m为实数，i为虚数单位，若m+（m2-4）i＞0，则=（　　）‎ A. ‎-i B. 1 C. 2i D. -2‎ ‎3. 设，函数在区间上的最大值与最小值之和为，则（　　） ‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎4. 有2名女生和4名男生排成一排拍照，要求2名女生相邻，不同的排法共有（　　）‎ Ａ、144种 Ｂ、48种 Ｃ、240种 Ｄ、480种 5. 设向量，，且，则m=（ ）‎ A. ‎2 B. 1 C.-1 D. -2‎ ‎6. 已知函数的图像如图所示，则函数的解析式可能是（ ）‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7. 以三棱柱的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎8. 某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有（ ）‎ A、 120种 B、100种 C、92种 D、60种 9. 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，蕴涵了极致的数学美和丰富的传统文化信息．现有一幅剪纸的设计图，其中的4个小圆均过正方形的中心，且内切于正方形的两邻边．若在正方形内随机取一点，则该点取自白色部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.已知函数 有且只有一个零点，则的值为（ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 二、多项选择题 （本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）‎ ‎11. 如果把函数的图像先向左平移个单位，再将图像所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，将得到函数的图像，下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数在区间上单调递减；‎ B. 函数的图像关于点对称；‎ C. 函数既不是奇函数，也不是偶函数；‎ D. 将函数的图像向右平移个单位，将得到函数的图像.‎ ‎12．已知抛物线C：的焦点F，圆M:，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点，则下列结论正确的是（ ）‎ A．点A与点B的横坐标之积为定值； ‎ B． |AB|的最小值为10；‎ C．|AP|+4|BQ|的最小值为13； ‎ ‎ D． 以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切； ‎ 三、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分．）‎ 13. ‎（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为 .35‎ ‎14.在三棱锥中，面，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为 . ‎ ‎15.设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则a2=______，Sn=______．（本题第一个空2分，第二个空3分.）‎ ‎16. 已知为椭圆在第一象限上一点,关于原点的对称点为，关于轴的对称点为,设,直线与椭圆的另一个交点为，若,则椭圆的离心率 为 ‎ 四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17. （本小题满分10分）在中，角A、B 、C所对的边分别为、、且，，，点D在线段BC上，且，‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）求的值.‎ ‎18. （本小题满分12分）某县畜牧技术员张三和李四9年来一直对该县山羊养殖业的规模进行跟踪调查，张三提供了该县某山羊养殖场年养殖数量y（单位：万只）与相应年份x（序号）的数据表，该养殖场的年养殖数量代表了该县所有山羊养殖场年养殖数量的平均水平。‎ 年份序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ 年养殖山羊/万只 ‎1.2‎ ‎1.5‎ ‎1.6‎ ‎1.6‎ ‎1.8‎ ‎2.5‎ ‎2.5‎ ‎2.6‎ ‎2.7‎ ‎（Ⅰ）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明的线性相关性强弱；‎ ‎（Ⅱ）李四提供了该县山羊养殖场的个数z（单位：个）关于x的回归方程，则在这9年中，该县哪个年份（序号）的山羊养殖数量最大？‎ 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，，‎ 线性相关系数：‎ 参考统计量：，，，‎ ‎19. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面是边长为的菱形，、分别是、的中点，，，.‎ ‎（1）求证；‎ ‎（2）求面与面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）设实数,数列是首项为公比为的等比数列, ‎ 记，‎ ‎（1）当时, 令，求数列的前项和 ‎（2）当时,求出自然数,使得对任意的,都有.‎ ‎ ‎ ‎21. （本小题满分12分）直线与抛物线相交于两点 ‎（1）求证:‎ ‎（2）抛物线上是否存在两点关于对称,若有,求出满足要求时的取值范围,若不存在说明理由.‎ ‎22. （本小题满分12分）已知函数 ‎（1）请讨论函数的极值，并求相应的极值;‎ ‎（2）如果不等式对定义域内的任意x均成立，求实数a的取值范围.‎ 参考答案 第1~10题：ACDCA BCACD 第11题： AB 第12题： AD ‎13题： 35； 14题： ； 15题： 3；； 16题： ；‎ ‎17解：（1）由，，‎ 故，即，‎ ‎……4分 ‎（2）由，故，‎ ‎ ‎ ‎ ……6分 ‎ ……8分 ‎ ……10分 ‎18解：（Ⅰ），……………………2分 ‎∴有很强的正线性相关性关系. ………………4分 ‎（Ⅱ）设关于的线性回归方程为，则，‎ ‎，…………………………5分 则，所以，‎ 所以关于的线性回归方程为. …………………………8分 估计第年该县山羊养殖的只数，……10分 ‎，该县的山羊养殖数量最大。……12分 ‎19证明：（1）连接, 为菱形，故.‎ ‎ 、分别是、的中点，，.‎ 在等腰三角形中，且.‎ 在等边三角形中，，又.‎ ‎，，又，面，‎ 面，面，.‎ 又，面，又面，.…5分 ‎（2）由（1）知，三条两两垂直，建立以分别为轴的空间直角坐标系，如图所示：‎ ‎，‎ ‎.‎ 设面的法向量为，则，‎ 取，则.‎ 设面的法向量为，则，‎ 取，则. …………9分 设面与面所成锐二面角为， ‎ 故，‎ 面与面所成锐二面角的余弦值为. …………12分 ‎20解：1）依题,等比数列中,公比为,‎ ‎ -------2分 ‎ ， -------3分 是等差数列, -------4分 ‎2）∵ -------5分 ‎ -------6分 ‎ ∴要使最大只能是偶数,设 ‎ -------8分 ‎, 令, 得 -------10分 ‎ , 取，得 ‎ 有 ‎ ∴所求的 -------12分 ‎21解：1）由，‎ ‎ 当时,满足要求 -------------2分 ‎ 当时,‎ ‎ ，‎ ‎ 有恒成立，由韦达定理. -------------5分 ‎2)如果存在两点，中点 ‎ 依题,,设 -------------7分 ‎ ‎ ‎∴得, ‎ 又点既在上,‎ ‎, 与相矛盾 不存在这样的点. -------------12分 ‎22解：（1）由且， ……（定义域）1分 则， ……2分 当时，，故函数在区间上单调递增，没有极值。‎ ‎ ……3分 当时，令，解得: ，‎ 此时，随变化如下表：‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 故函数有极小值，无极大值。‎ ‎ ……6分 综上所述：当时，函数没有极值；‎ 当时，函数有极小值，无极大值。‎ ‎（2）‎ ‎ ……7分 取，‎ 则， ……8分 由，因此，故有 函数在区间上单调递增 对，有.‎ 因此，，. ∴实数a的取值范围为. ……12分