2017-2018学年内蒙古集宁一中高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2017-2018学年内蒙古集宁一中高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

集宁一中2017——2018学年第一学期期末考试 高二年级文科数学试题 本试卷满分150分，考试时间为120分钟 第一卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的。每小题5分，共60分）‎ ‎1. 已知集合，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合 所以.‎ 故选C.‎ ‎2. 已知复数，若，则复数的共轭复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】复数，‎ 若，则，解得.‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎3. 对于命题，使得，则是 A. ， B. ，‎ C. ， D. , ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由特称命题的否定为全称命题，得 命题，使得，则，‎ 故选C.‎ ‎4. 直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设椭圆方程为：，直线经过椭圆的短轴顶点和一个焦点，‎ 由对称性，不妨设直线，‎ 椭圆中心到的距离为其短轴长的，所以,解得，即离心率为.‎ 故选A.‎ ‎5. 若，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】， ，‎ ‎， ， ，则，选C.‎ ‎6. 已知x和y之间的一组数据 则y与x的线性回归方程必过点(　　)‎ A. (2,2) B. C. (1,2) D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,‎ ‎∴x与y组成的线性回归方程必过点(,4)‎ 故选：B.‎ ‎7. 函数的单调增区间是 A. (-,-2) B. (-,-2) C. (1, +) D. (4, +)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，‎ 令t=，则y=lnt，‎ ‎∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数；‎ x∈(4,+∞)时,t=为增函数；‎ y=lnt为增函数，‎ 故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)，‎ 故选：D.‎ 点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数.‎ 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增；‎ 当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减；‎ 当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减；‎ 当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增.‎ 简称为“同增异减”.‎ ‎8. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 A. 乙可以知道两人的成绩 B. 丁可能知道两人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【答案】D ‎【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知道自己的成绩 乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若为两良，甲也会知道自己的成绩）‎ 乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩 丁看到甲，丁也为一优一良，丁知道自己的成绩 故选 ‎9. 已知正项数列中，，记数列的前项和为，则的值是（ ）‎ A. B. 11 C. D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵ (n⩾2)，‎ ‎∴数列{}为等差数列,首项为1,公差为22−1=3.‎ ‎∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列的前n项和为.‎ 则.‎ 故选：A.‎ ‎10. 过抛物线C:的焦点,且斜率为的直线交C于点M（M在轴上方)，为C的准线，点N在上，且MN⊥,则M到直线NF的距离为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，‎ 由抛物线C:,得F(1,0)，‎ 则,与抛物线 联立得,解得.‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∵F(1,0),∴即 ‎∴M到NF的距离为.‎ 故选A.‎ ‎11. 已知点与点在直线的两侧，给出以下结论：‎ ‎①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是,正确的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵点M(a,b)与点N(0,−1)在直线3x−4y+5=0的两侧,‎ ‎∴，即，故①错误；‎ 当时,，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；‎ 设原点到直线3x−4y+5=0的距离为d,则,则>4，故③正确；‎ 当且a≠1时,表示点M(a,b)与P(1,−1)连线的斜率。‎ ‎∵当,b=时,,又直线3x−4y+5=0的斜率为，‎ 故的取值范围为，故④正确。‎ ‎∴正确命题的个数是2个。‎ 故选：B.‎ ‎ ‎ ‎12. 在函数f(x)=alnx-(x-1)2的图象上,横坐标在(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1,则实数a的取值范围是(　　)‎ A. [1,+∞) B. (1,+∞) C. [6,+∞) D. (6,+∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数f(x)=alnx-(x-1)2，求导得：，‎ 由横坐标在区间(1,2)内变化的点处的切线斜率均大于1，‎ 可得>1对x∈(1,2)恒成立。‎ 即有a>x(2x−1)对x∈(1,2)恒成立。‎ 令g(x)=2x2−x,对称轴，‎ 区间(1,2)为增区间，, 只需即可.‎ 故选：C.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ 第二卷（非选择题 共90分）‎ 二．填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13. 函数有极值的充要条件是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数，求导得：.‎ 令，当且仅当时，导数有两个互异实根，即函数有极值.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了分类讨论的思想，属于难题. 求函数极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③解方程，求出函数定义域内的所有根；④检验在的根左右两侧值的符号,如果左正右负,那么在处取极大值,如果左负右正,那么在处取极小值．‎ ‎14. 已知双曲线的渐近线方程是，且过点，求双曲线的方程_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的渐近线方程是，所以，‎ 由过点得：.‎ 由，得 双曲线的方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎15. 若满足约束条件,则的最小值_______.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】试题分析：画出可行域及直线3x－y=0（如图），平移直线3x－y=0，发现，当直线经过点（0,1）时，的最小值为－1。‎ 考点：本题主要考查简单线性规划的应用。‎ 点评：简单题，第一步是准确做出可行域，第二步是明确目标函数过何点是取到最值。‎ ‎16. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆，点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设B（x2，y2），‎ 则椭圆C1在点B处的切线方程为x+y2y=1‎ 令x=0，yD=，令y=0，可得xC=，‎ 所以S△OCD=，‎ 又点B在椭圆的第一象限上，‎ 所以x2，y2＞0，，‎ 即有，‎ S△OCD≥，当且仅当==，‎ 所以当B（1，）时，三角形OCD的面积的最小值为．‎ 故答案为：．‎ 三．解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17. 设复数.‎ ‎(1)当为何值时,是实数;‎ ‎(2)当为何值时,是纯虚数.‎ ‎【答案】（1）当m＝－2或－1；（2）m＝3.‎ ‎【解析】试题分析：（1）若使是实数，只需，即可；‎ ‎（2）若使是纯虚数，只需 试题解析：‎ ‎（1)要使复数z为实数，需满足 ‎.‎ 解得m＝－2或－1.‎ 即当m＝－2或－1时，z是实数．‎ ‎(2)要使复数z为纯虚数，需满足 ‎.‎ 解得m＝3.‎ 即当m＝3时，z是纯虚数．‎ ‎18. 已知等差数列和等比数列满足,,．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求和:．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 试题解析：（1）设等差数列{an}的公差为d. 因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.‎ 所以an=2n−1.‎ ‎（2）设等比数列的公比为q. 因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.‎ 解得q2=3.所以.‎ 从而.‎ ‎19. 在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人.女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动.‎ ‎（1）根据以上数据建立一个列联表；‎ ‎（2）判断性别与休闲方式是否有关系.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．得到列联表． （2）根据列联表中所给的数据做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到有97.5%的把握认为性别与休闲方式有关系 试题解析：‎ ‎(1）的列联表：‎ ‎ 休闲方式 性别 看电视 运动 总计 女 ‎43‎ ‎27‎ ‎70‎ 男 ‎21‎ ‎33‎ ‎54‎ 总计 ‎64‎ ‎60‎ ‎124‎ ‎（2）假设“休闲方式与性别无关”‎ 因为，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”.‎ ‎20. 已知函数在处有极大值.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若关于的方程有三个不同的实根，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）令f′（2）=0解出m，再进行验证x=2是否为极大值点即可； （2）求出f（x）的单调性和极值，即可得出a的范围．‎ 试题解析：‎ ‎（1），由已知，∴，‎ 当时，，∴在上单调递减，‎ 在上单调递增，∴在处有极小值，舍.‎ ‎∴.‎ ‎（2）由（1）知，令，‎ 则，∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调增，要使方程有三个不同的实根，则 ‎，解得.‎ 点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，‎ ‎（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；‎ ‎（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；‎ ‎（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎21. 已知两点分别在轴和轴上运动，且,若动点满足 ‎（1)求出动点P的轨迹对应曲线C的标准方程；‎ ‎（2）一条纵截距为2的直线与曲线C交于P,Q两点，若以PQ直径的圆恰过原点，求出直线方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据向量的坐标运算，以及|AB|=1，得到椭圆的标准方程．‎ ‎（2）直线l1斜率必存在，且纵截距为2，根据直线与椭圆的位置关系，即可求出k的值，问题得以解决．‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ) 因为 即 所以 所以 又因为,所以 即:,即 所以椭圆的标准方程为 ‎ (Ⅱ) 直线斜率必存在，且纵截距为,设直线为 联立直线和椭圆方程 得: ‎ 由,得 ‎ 设 以直径的圆恰过原点 所以,‎ 即 也即 即 将(1)式代入,得 即 解得,满足（*）式，所以 所以直线 ‎22. 已知函数.‎ ‎(1)当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎(2)若当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而求出的取值范围；根据等价于，构造函数，令，根据，利用导数来求的取值范围。‎ 解析：（1）的定义域为. ‎ 当时，所以 ‎ ‎, ‎ ‎ ‎ 所以曲线在处的切线方程为即 ‎ ‎（2）当时，等价于 ‎ 令， ‎ 则， ‎ ‎（i）当，时， ，‎ 故在上单调递增，因此； ‎ ‎（ii）当时，令得，‎ 由和得，‎ 故当时，，在单调递减，因此 ‎ 综上，的取值范围是 点睛：本题主要考查了导数的概念及几何意义，以及导数在研究函数中的应用。首先根据导数的几何意义，对函数求导，求出在处切线的斜率，再由切点坐标，就可求出切线方程。根据等价于，构造函数，令，根据，利用导数来求的取值范围，在中，由于分母恒大于，则讨论分子这个二次函数的正负，从而得到的取值范围。‎ ‎ ‎ ‎ ‎