2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第8章 第7节 双曲线

2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第8章 第7节 双曲线

第七节　双曲线 ‎[考纲传真]　1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用．‎ ‎(对应学生用书第125页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．双曲线的定义 ‎ (1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．这两个定点F1，F2叫作双曲线，两焦点之间的距离叫作焦距．‎ ‎ 其中a，c为常数且a＞0，c＞0.‎ ‎ (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，‎ ‎ 其中a，c为常数且a>0，c>0.‎ ‎ ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；‎ ‎ ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；‎ ‎ ③当2a>|F1F2|时，M点不存在．‎ ‎2．双曲线的标准方程及简单几何性质 标准方程 －＝1‎ ‎(a＞0，b＞0)‎ －＝1‎ ‎(a＞0，b＞0)‎ 图形 条件 ‎2a＜2c，c2＝a2＋b2，a＞0，b＞0，c＞0‎ 范围 x≥a或x≤－a 且y∈R y≥a或y≤－a 且x∈R 对称性 对称轴坐标轴、对称中心原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0)‎ F1(0，－c)，F2(0，c)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 实轴、‎ 虚轴 线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；a叫做双曲线的实半轴长．‎ 线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；b叫做双曲线的虚半轴长．‎ 焦距 ‎|F1F2|＝2c(c2＝a2＋b2)‎ 离心率 e＝∈(1，＋∞)，e越接近于＋∞时，双曲线开口越大；e越接近于1时，双曲线开口越小 ‎3. 等轴双曲线 ‎ 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．巧设双曲线方程 ‎ (1)与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)有共同渐近线的方程可设为－＝λ(λ≠0)‎ ‎ (2)等轴双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)‎ ‎ (3)过已知两个点的双曲线方程可设为＋＝1(mn＜0)‎ ‎2．焦点三角形的面积 ‎ 双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上一点P(x0，y0)与两焦点构成的焦点三角形F1PF2中，若∠F1PF2＝θ，则S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin θ＝·b2.‎ ‎3．离心率与渐近线的斜率的关系 ‎ e2＝1＋，其中是渐近线的斜率．‎ ‎4．过焦点垂直于实轴的弦长 ‎ 过焦点垂直于实轴的半弦长为.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　　)‎ ‎ (2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　　)‎ ‎ (3)双曲线－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　　)‎ ‎ (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)‎ ‎ A．2　　　　　 B．　　　　　‎ ‎ C．　　　　　 D．1‎ ‎ D　[依题意，e＝＝＝2，∴＝2a，则a2＝1，a＝1.]‎ ‎3．(2017·福州质检)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)‎ ‎ A．11 B．9 ‎ ‎ C．5 D．3‎ ‎ B　[由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9.]‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)‎ ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ D　[因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．‎ ‎ 因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．‎ ‎ 因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，‎ ‎ 所以P(2，±3)，|PF|＝3.‎ ‎ 又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，‎ ‎ 所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.‎ ‎ 故选D．]‎ ‎5．(2016·北京高考改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为__________. 【导学号：00090297】‎ ‎ x2－＝1　[由于2x＋y＝0是－＝1的一条渐近线，‎ ‎ ∴＝2，即b＝2a， ①‎ ‎ 又∵双曲线的一个焦点为(，0)，则c＝，‎ ‎ 由a2＋b2＝c2，得a2＋b2＝5， ②‎ ‎ 联立①②得a2＝1，b2＝4.‎ ‎ ∴所求双曲线的方程为x2－＝1.]‎ ‎(对应学生用书第126页)‎ 双曲线的定义及应用 ‎　(1)(2018·长春模拟)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝|PF2|，则△F1PF2的面积为(　　)‎ ‎ A．48　　　 B．24‎ ‎ C．12 D．6‎ ‎ (2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________. 【导学号：00090298】‎ ‎ (1)B　(2)x2－＝1(x≤－1)　[(1)由双曲线的定义可得 ‎ |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，‎ ‎ 解得|PF2|＝6，故|PF1|＝8，又|F1F2|＝10，‎ ‎ 由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝|PF1|×|PF2|＝24.‎ ‎ (2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B，动圆M的半径为r，根据两圆外切的条件得 ‎ |MC1|＝1＋r ‎ |MC2|＝3＋r ‎ 所以|MC2|－|MC1|＝2‎ ‎ 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.‎ ‎ 又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，‎ ‎ 其中a＝1，c＝3，则b2＝8.‎ ‎ 故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．]‎ ‎ [规律方法]　1.应用双曲线的定义需注意的问题：‎ ‎ 在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．‎ ‎ 2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将||PF1|－|PF2||＝2a平方，建立与|PF1|·|PF2|间的联系．‎ ‎[变式训练1]　(1)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　)‎ ‎ A．　　　　　 B．　　　　　‎ ‎ C．　　　　　 D． ‎ (2)已知F1，F2为双曲线－＝1的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|＋|AF2|的最小值为(　　)‎ ‎ A．＋4 B．－4‎ ‎ C．－2 D．＋2 ‎ (1)A　(2)C　[(1)由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2A．‎ ‎ 又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，‎ ‎ |F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝＝.‎ ‎ (2)由题意知，|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，‎ ‎ 要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，‎ ‎ 当A，P，F1三点共线时，取得最小值，‎ ‎ |AP|＋|AF1|＝|PF1|＝，‎ ‎ ∴|AP|＋|AF2|的最小值为|AP|＋|AF1|－2a＝－2.故选C．]‎ 双曲线的标准方程 ‎　(1)(2017·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)‎ ‎ A．－＝1 B．－＝1‎ ‎ C．－y2＝1 D．x2－＝1‎ ‎ (2)(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)‎ ‎ A．－y2＝1 B．x2－＝1‎ ‎ C．－＝1 D．－＝1‎ ‎ (1)D　(2)A　　[(1)根据题意画出草图如图所示 ‎ .‎ ‎ 由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.‎ ‎ 又点A在双曲线的渐近线y＝x上，‎ ‎ ∴＝tan 60°＝.‎ ‎ 又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝，‎ ‎ ∴双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎ 故选D．‎ ‎ (2)由焦距为2得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.‎ ‎ 又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，‎ ‎ 所以双曲线的方程为－y2＝1.]‎ ‎ [规律方法]　1.确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上；“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点位置不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．‎ ‎ ‎ ‎2．对于共焦点、共渐近线的双曲线方程，可灵活设出恰当的形式求解．若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎[变式训练2]　(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为__________. 【导学号：00090299】‎ ‎ (2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________．‎ ‎ (1)－y2＝1　(2)－＝1　[(1)∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．‎ ‎ ∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，‎ ‎ ∴双曲线的标准方程为－y2＝1.‎ ‎ (2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8.‎ ‎ 由双曲线的定义知：a＝4，b＝3.‎ ‎ 故曲线C2的标准方程为－＝1，即－＝1.]‎ 双曲线的简单几何性质 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为(　　)‎ ‎ A．　　　　 B．　　　　‎ ‎ C．　　　　 D．2‎ ‎ (2)(2017·石家庄调研)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为__________．‎ ‎ (1)A　(2)x±y＝0　[(1)如图，因为MF1⊥x轴，所以|MF1|＝.‎ ‎ 在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得 ‎ tan∠MF2F1＝.‎ ‎ 所以＝，即＝，即＝，‎ ‎ 整理得c2－ac－a2＝0，两边同除以a2得e2－e－1＝0.‎ ‎ 解得e＝(负值舍去)．‎ ‎ (2)由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.‎ ‎ 因为A1B⊥A2C，所以·＝－1，整理得a＝B．‎ ‎ 因此该双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0.]‎ ‎ [规律方法]　1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e>1这一条件．‎ ‎ 2．双曲线中c2＝a2＋b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系＝.抓住双曲线中“六点”“四线”“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程．‎ ‎[变式训练3]　(1)(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)‎ ‎ A． B．2 ‎ ‎ C． D． ‎ (2)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为(　　)‎ ‎ A．－2 B．－ ‎ C．1 D．0‎ ‎ (1)D　(2)A　[ (1)不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为.‎ ‎ ∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝.故选D．‎ ‎ (2)由已知可得A1(－1,0)，F2(2,0)，设点P的坐标为(x，y)(x≥1)，则· ‎＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－x－2＋y2，因为x2－＝1，即y2＝3(x2－1)，所以·＝4x2－x－5＝42－，故当x＝1时，·有最小值－2.]‎