天津市八校2021届高三数学上学期期中联考试题（Word版附答案）

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高三数学 第 1 页 （共 11 页） 天津市 2020～2021 学年度第一学期期中八校联考 高三数学 一、选择题（本题共 9 小题，每题 5 分，共 45 分，在每小题给出的四个选项中只有一项 是符合题目要求的） 1．已知集合 }0log|{ 2  xxA ，  2 1xB x  ，则（ ） A．  1A B x x   B． A B R C．  1A B x x   D． A B   2．已知向量 ( 1,2), (2,1)a x b   ,则 a b  的充要条件是（ ） A． 1 2x   B． 1x   C． 5x  D． 0x  3．在 ABC 中， M 是 BC 的中点．若 AB ＝ a ，CA ＝b ，则 AM ＝（ ） A． 1 ( )2 a b  B． 1 ( )2 a b  C． 1 2 a b  D． 1 2a b  4．已知 3log 5a  ， 0.23b  ， 1.23c  ，则（ ） A． b c a  B．b a c  C． a c b  D． a b c  5．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2，这个球的表面积为 6 ，则这个正四 棱柱的体积为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 高三数学 第 2 页 （共 11 页） 6．已知 0x  ， 0y  ，若 22 8 2y x m mx y    恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ） A． 4m≥ 或 2m   B． 2m  或 4m   C． 4 2m   D． 2 4m   7．设 ( )f x 为定义在 R 上的奇函数，当 0x  时， 1)1(log)( 2 2  aaxxxf （ a 为 常数），则不等式 2)53( xf 的解集为（ ） A． ( , 1)  B． ( 1, )  C． ( , 2)  D． ( 2, )  8．将函数 ( ) sinf x x 的图像先向右平移 3  个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来 的 1 ( 0)  ，纵坐标不变，得到函数  g x 的图像，若函数  g x 在 3,2 2       上没有 零点，则 的取值范围是（ ） A． (0,1] B． 20, 9      C． 2 2 80, ,9 3 9           D． 2 80, ,19 9           9．已知定义在 R 上的函数       1, 1,ln )( 2 xxx xx xf ，若函数    k x f x ax  恰有 2 个零 点，则实数 a 的取值范围是（ ） A．  1 ,11,0 e      B．  1, 1 ,1e       C．   1, 1 ,1 0e        D．    11,0 0 ,1e       高三数学 第 3 页 （共 11 页） 二、填空题（本题 6 小题，每题 5 分，共 30 分，双空题答对一个空得 3 分） 10．设函数 1 2 2 , 1 1 log , 1 x xf x x x      （ ） ，则  4f f（ ） ______． 11．设曲线  ln 1y ax x   在点 0,0 处的切线方程为 03  yx ，则 a ________. 12．底面边长和高都为 2 的正四棱锥的表面积为____________. 13．设 ABC 的内角 CBA ,, 所对的边分别为 ,,, cba 若 CBA sincossin2  ,则 ABC 的 形状为________． 14．已知 ba, 均为正实数，且 1a b  ，则 ab a 18 2  的最小值为__________，此时 a 的值 为__________. 15．如图，在平面四边形 ABCD 中， AB BC ， AD CD ， 120BAD   ， AB=AD 1 .若点 E 为 DC 上的动点，则 AE BE  的最小值为______. 三、解答题（本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分 14 分） 已知  f x a b     ，其中  2cos , 3sin 2a x x    ，  cos ,1b x   ， xR ． （1）求  f x 的单调递增区间； （2）在 ABC△ 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，   1f A   ， 7a  ， 且向量  3,sinm B   与  2,sinn C   共线，求边长b 和 c 的值． 高三数学 第 4 页 （共 11 页） 17．（本小题满分 14 分） 设数列 na 的前 n 项和为 22nS n＝ ， nb 为等比数列，且 1 1a b＝ ， 2 2 1 1( )b a a b－ ＝ ． （1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）设 n n n ac b  ，求数列 nc 的前 n 项和 nT ． 18．（本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA  平面 ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形，其中 //AD BC ， AB AD ， 1 22AB AD BC   ， 4PA  ， E 为棱 BC 上的点，且 1 4BE BC ． （1）求证： DE  平面 PAC ； （2）求二面角 A PC D  的余弦值； （3）设Q 为棱CP 上的点（不与C ， P 重合）， 且直线 QE 与平面 PAC 所成角的正弦值 为 5 5 ，求 CQ CP 的值． 高三数学 第 5 页 （共 11 页） 19．（本小题满分 16 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， * 1 12 8 8n nS a n n N a    ，， ，设 2n nb a  . （1）证明： nb 是等比数列； （2）设     11 2 1 2 1 n n n n n ac     ，求 nc 的前 n 项和 nT ，若对于任意 * nn N T ， ≥ 恒成立，求  的取值范围. 20．（本小题满分 16 分） 已知函数 ( ) ln 1f x x x ax   ， a R . （1）当 0x  ，若关于 x 的不等式 ( ) 0f x  恒成立，求 a 的取值范围； （2）当 (1, )x  时，证明： ( 1) lnx e x xe   2x x  . 2020～2021 学年度第一学期期中八校联考 高三数学参考答案 1．A 2．D 3．B 4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 9．C 10．4 11．4 12． 544  13．等腰三角形 14． 8 4 1 15． 16 21 高三数学 第 6 页 （共 11 页） 16．（1） , ( )6 3k k k Z        ;（2） 3, 2b c  ． 解：（1）   22cos 3sin 2 1 cos2 3sin 2x xf x xx      1 2cos 2 3x       , cosy x 在  2 ,2k k k Z    上单调递增,令 2 2 2 ( )3k x k k Z       , 得 2 ( )3 6k x k k Z       ,  f x 的单调递增区间  2 ,3 6k k k Z        ．・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・6 分 （2）   132cos21       AAf cos 2 13A        ，又 723 3 3A     , 2 3A     ，即 3A  ． 7a ,由余弦定理得  22 2 2 2 cos 3a b c bc A b c bc      ． 因为向量  3,sinm B   与  2,sinn C   共线,所以 2sin 3sinB C , 由正弦定理得 2 3b c ， 3, 2b c   ． ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 14 分 17．（1） 4 2na n  ， 1 2 4n nb  ；（2） 2 5 5) 43 9 9 n nT n   ＝( 解：（1）当 2n  时， 2 2 1 2 2 1 4 2( )n n na S S n n n    -- ，当 1n  时， 1 1 2a S  满足上式，故 na 的通项式为 4 2na n  ．设 nb 的公比为 q， 高三数学 第 7 页 （共 11 页） 由已知条件 2 2 1 1( )b a a b  知， 1 2b  ， 1 2 2 1 1 2 bb a a   ，所以 2 1 1 4 aq a   ， 1 1 1 12 4 n n nb b q      ，即 1 2 4n nb  ．・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 6 分 （2）   1 1 4 2 2 1 42 4 nn n n n a nc nb       ， 1 2 1 1 2 1 3 4 5 4 2( ) ]1[ 4n n nT c c c n     －＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＋ － 2 2 1[ ( ) ( )4 1 4 3 4 5 4 2 ]3 4 2 1 4n n nT n n    －＝ ＋ ＋ ＋ ＋ － ＋ － 两式相减得： 1 2 3 1( ) 5 53 1 2 4 4 4 4 2 1 4( 4 3) 2 )3 n n n nT n n   －＝－ － ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ － ＝( 2 5 5) 43 9 9 n nT n   ＝( ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 14 分 18．（1）见解析；（2） 2 5 5 ；（3） 2 3 CQ CP  解：（1）因为 PA  平面 ABCD ， AB Ì平面 ABCD ， AD 平面 ABCD 所以 PA AB ， PA AD 因为 AB AD ，则以 A 为坐标原点，建立如图所示的空 间直角坐标系． 高三数学 第 8 页 （共 11 页） 由已知可得  0,0,0A ，  2,0,0B ，  2,4,0C ，  0,2,0D ，  0,0,4P ，  2,1,0E ． 所以  2, 1,0DE   ，  2,4,0AC  ，  0,0,4AP  ． 因为 2 2 1 4 0 0DE AC        ， 0DE AP   ．所以 DE AC ， DE AP 又 AP AC A  ，AP  平面 PAC ，AC  平面 PAC ．所以 DE  平面 PAC ．・・・ 4 分 （2）设平面 PAC 的法向量 m  ，由（1）可知，  2, 1,0m DE    设平面 PCD的法向量  , ,n x y z ，因为  0,2, 4PD   ，  2,4, 4PC   ． 所以 0 0 n PD n PC         ，即 2 4 0 2 4 4 0 y z x y z       不妨设 1z  ，得  2,2,1n   r ．        2 22 2 2 2 1 2 0 2 5cos , 52 1 2 2 1 m nm n m n                      所以二面角 A PC D  的余弦值为 2 5 5 ． ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 9 分 高三数学 第 9 页 （共 11 页） （3）设  0 1CQ CP     ，即  2 , 4 ,4CQ CP        ． 所以  2 2 ,4 4 ,4Q      ，即  2 ,4 3, 4QE      ． 因为直线QE 与平面 PAC 所成角的正弦值为 5 5 所以          2 2 2 22 2 2 4 3 0 5cos , 52 1 2 4 3 4 QE m QE m QE m                            即 236 24 9 3    解得 2 3   ，即 2 3 CQ CP  ． ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 15 分 （几何法同样给分） 19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 2 9  ≥ ． 解：（Ⅰ）当 1n  时， 2 14a  ， 当 *2n n N ， 时， 1 12 8 2 10n n n nS a n S a n      ， ，所以 1 2 2n na a   ， 即  1 2 2 2n na a    ，即  1 2 2n n b nb    ， 又∵ 2 2 1 1 2 22 b a b a   ，∴ nb 是首项 1 6b  ，公比为 2 的等比数列．・・・・・・・・・ 6 分 （2）由（1）知 12 6 2n na    ，即 3 2 2n na    ， 所以 高三数学 第 10 页 （共 11 页）             11 1 3 2 2 1 11 1 1 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 n n n nn n n nn n n n ac                     2 2 3 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 112 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n nT                                         ∴   1 1 113 2 1 n n nT      当 n 为偶数时，∴   1 1 113 2 1 n n nT      是递减的，此时当 2n  时，∴ nT 取最大 值 2 9  ，则 2 9    ． 当 n 为奇数时，∴   1 1 113 2 1 n n nT      是递增的，此时 1 3nT   ，则 1 3    ． 综上，  的取值范围是 2 9    ．・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 16 分 20．（1）[ 1, )  ；（2）见解析 解：（1）由   0f x  ，得 ln 1 0x x ax   ( 0)x  ．整理，得 1lna x x    恒成立， 即 min 1lna x x       ． 令   1lnF x x x   ．则   2 2 1 1 1' xF x x x x    ．∴函数  F x 在 0,1 上单调递减， 在 1, 上单调递增． ∴函数   1lnF x x x   的最小值为  1 1F  ．∴ 1a  ，即 1a   ．∴ a 的取值范 围是 1,  ．・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 6 分 高三数学 第 11 页 （共 11 页） （2）由（1），当 1a   时，有 ln 1x x x  ，即 1ln xx x  ． 要证  1 lnx e x xe   ，可证  1 1 x e x x e x   ， 1x  ，即证 1 x e e x  ， 1x  ． 构造函数    1xG x e ex x   ．则  ' xG x e e  ． ∵当 1x  时，  ' 0G x  ．∴  G x 在 1, 上单调递增． ∴    1 0G x G  在 1, 上成立，即 xe ex ，证得 1 x e e x  ． ∴当  1,x  时，  1 lnx e x xe   成立． 构造函数    2ln 1H x x x x x    ． 则   1' 2 1H x xx     22 1x x x       2 1 1x x x    ． ∵当 1x  时，  ' 0H x  ，∴  H x 在 1, 上单调递减． ∴    1 0H x H  ，即 2ln 0( 1)x x x x    ． ∴当  1,x  时， 2lnx x x  成立． 综上，当  1,x  时，有   21 lnx e x x x xe     ．・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ 16 分 （其余方法同样给分）