北京市大兴区2020届高三第一次模拟考试数学试题

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北京市大兴区2020届高三第一次模拟考试数学试题

‎2019~2020学年度北京市大兴区高三第一次综合练习 数学 第一部分(选择题 共40分)‎ 一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.在复平面内,复数对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、几何意义即可得出.‎ ‎【详解】在复平面内,复数==1﹣i对应的点(1,﹣1)位于第四象限.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎2.已知集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据交集运算,即可得答案;‎ ‎【详解】,,‎ ‎,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎3.已知等差数列的前n项和为,,,则等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列的通项公式可求得的值,再代入前项和公式,即可得答案;‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎4.下列函数中,在区间上单调递增且存在零点的是( )‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的零点为方程的根,结合解析式判断函数的单调性,即可得答案;‎ ‎【详解】对A,方程无解,不存在零点,故A错误;‎ 对B,无解,不存在零点,故B错误;‎ 对D,在单调递减,在单调递增,在不具有单调性,故D错误;‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查通过函数的解析式研究函数的零点和单调性,考查转化与化归思想,属于基础题.‎ ‎5.在的展开式中,只有第三项的二项式系数最大,则含项的系数等于( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据展开式的第三项的二项式系数最大可得,再由二项式展开式的通项公式,即可得答案;‎ ‎【详解】由题意得,‎ ‎,‎ 当时,,‎ 含项的系数等于,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的运用,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意二项式系数与系数的区别.‎ ‎6.若抛物线上一点M到其焦点的距离等于2,则M到其顶点O的距离等于( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点,根据焦半径公式可求得的坐标,再利用两点间的距离公式,即可得答案;‎ ‎【详解】设点,为抛物线的焦点,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的焦半径公式,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎7.已知数列是等比数列,它的前项和为,则“对任意,”是“数列为递增数列”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据这一关系,即可得答案;‎ ‎【详解】,‎ ‎,,“数列为递增数列”,‎ 若“数列为递增数列”,则,‎ ‎“对任意,”是“数列为递增数列”的充分必要条件,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查与的关系、充分必要条件的判断,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎8.某四棱锥的三视图如图所示,如果方格纸上小正方形的边长为,那么该几何体的最长棱的棱长为( )‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何体的三视图可得,该几何体是四棱锥 ‎,再计算各条棱的长度,即可得答案;‎ ‎【详解】根据几何体的三视图可得,该几何体是四棱锥 ‎,,,,,,‎ 该几何体的最长棱的棱长为,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、棱长的计算,考查空间想象能力、运算求解能力,求解时注意准确还原几何体的直观图是关键.‎ ‎9.已知函数.若关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根,则的最大整数值为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求出的取值范围,再根据三角函数的图象得到的不等式,即可得答案;‎ 详解】令,,,‎ 的图象如图所示,‎ 关于x的方程在区间上有且仅有两个不相等的实根,‎ 在上有且仅有两个不相等的实根,‎ ‎,‎ 的最大整数值为,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意换元后新元取值范围.‎ ‎10.如图,假定两点,以相同的初速度运动.点沿直线作匀速运动,;点沿线段(长度为单位)运动,它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离().令与同时分别从,出发,那么,定义为的纳皮尔对数,用现在的数学符号表示x与y的对应关系就是,其中e为自然对数的底.当点从线段的三等分点移动到中点时,经过的时间为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设运动点三等分点的时间为,此时运动的距离为,运动点中点的时间为,此时运动的距离为,再利用做匀速运动,利用路程除以速度可得时间.‎ ‎【详解】设运动点三等分点的时间为,此时运动的距离为,运动点中点的时间为,此时运动的距离为,‎ 两点,以相同的初速度运动,设点的运动速度为,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查数学中的新定义问题、对数的运算法则,考查函数与方程思想、转化与化归思想、,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意对数运算法则的运用.‎ 第二部分(非选择题 共110分)‎ 二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.‎ ‎11.已知向量,, 若,则_______;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据向量平行,向量坐标交叉相乘相等,即可得答案;‎ ‎【详解】,,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标运算,考查运算求解能力,属于基础题.‎ ‎12.若函数在区间上单调减区间,则m的一个值可以是_______;‎ ‎【答案】(答案不唯一,只要)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得在区间上恒成立,即可得答案;‎ ‎【详解】,,‎ 在区间上恒成立,‎ 在区间上恒成立,‎ 取,显然恒成立,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查余弦二倍角公式、三角函数的图象与性质,考查运算求解能力,求解时注意结合三角函数的图象进行求解.‎ ‎13.若对任意,关于x的不等式恒成立,则实数的范围是_______;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的最小值,即可得到答案;‎ ‎【详解】,,等号成立当且仅当,‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围,考查运算求解能力.‎ ‎14.已知为函数图象上两点,其中.已知直线AB的斜率等于2,且,则_______;______;‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜率公式和两点间的距离公式,即可求得答案;‎ ‎【详解】直线AB的斜率等于2,且,‎ 且,‎ 解得:,‎ ‎,;‎ ‎;‎ 故答案为:;.‎ ‎【点睛】本题考查直线的斜率公式和两点间的距离公式,考查转化与化归思想,考查逻辑推理能力运算求解能力,求解时注意对数的运算法则的应用.‎ ‎15.在直角坐标系中,双曲线()离心率,其渐近线与圆 交轴上方于两点,有下列三个结论:‎ ‎① ;‎ ‎②存在最大值;‎ ‎③ .‎ 则正确结论的序号为_______.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围,再根据直线与圆的位置关系及弦长,即可得答案;‎ ‎【详解】,,‎ 对①,根据向量加法的平行四边形法则,结合,可得成立,故①正确;‎ 对②,,由于,没有最大值,没有最大值,‎ 故②错误;‎ 对③,当时,,‎ ‎,又,,‎ ‎,故③正确;‎ 故答案为:①③.‎ ‎【点睛】本题考查向量与双曲线的交会、向量的数量积和模的运算,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ 三、解答题共6题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎16.在中,,,且的面积为.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若D为BC上一点,且 ,求的值.‎ 从①,②这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.‎ ‎【答案】(1);(2)选①,;选②,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用三角形的面积公式得,再利用余弦定理,即可得答案;‎ ‎(2)①当时,由正弦定理,可求得,再由,可求得答案;②当时,由余弦定理和诱导公式,可求得答案;‎ ‎【详解】(1) 由于 ,,,‎ 所以,‎ 由余弦定理 ,‎ 解得.‎ ‎(2)①当时,‎ 在中,由正弦定理, ‎ 即,所以. ‎ 因为,所以. ‎ 所以, ‎ 即. ‎ ‎②当时,‎ 在中,由余弦定理知,‎ ‎. ‎ 因为,所以, ‎ 所以, ‎ 所以 , ‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、诱导公式等知识的综合运用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.‎ ‎17.为了调查各校学生体质健康达标情况,某机构M采用分层抽样的方法从校抽取了名学生进行体育测试,成绩按照以下区间分为七组:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并得到如下频率分布直方图.根据规定,测试成绩低于60分为体质不达标.已知本次测试中不达标学生共有20人.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)现从校全体同学中随机抽取2人,以频率作为概率,记表示成绩不低于90分的人数,求的分布列及数学期望;‎ ‎(3)另一机构N也对该校学生做同样的体质达标测试,并用简单随机抽样方法抽取了100名学生,经测试有20名学生成绩低于60分.计算两家机构测试成绩的不达标率,你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理,说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)分布列详见解析,数学期望为0.2;(3)用机构M测试的不达标率估计A校不达标率较为合理,理由详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由频率分布直方图知,,解方程可得的值;‎ ‎(2)由图知,每位学生成绩不低于90分的频率为,由已知的所有可能取值为,再根据二项分布,即可得答案;‎ ‎(3)机构M抽测的不达标率为 ,机构N抽测的不达标率为,再从样本能否较好反映总体的分布情况说明理由.‎ ‎【详解】(1)由频率分布直方图知,, ‎ 解得. ‎ ‎(2)由图知,每位学生成绩不低于90分的频率为 , ‎ 由已知,的所有可能取值为, ‎ 则,‎ ‎,‎ ‎. ‎ 所以的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎0.81‎ ‎0.18‎ ‎0.01‎ 所以. ‎ ‎(3)机构M抽测的不达标率为 , ‎ 机构N抽测的不达标率为. ‎ ‎(以下答案不唯一,只要写出理由即可)‎ ‎①用机构M测试的不达标率估计A校不达标率较为合理. ‎ 理由:机构M选取样本时使用了分层抽样方法,样本量也大于机构N,样本更有代表性,所以,能较好反映了总体的分布. ‎ ‎②没有充足的理由否认机构N的成绩更合理. ‎ 理由:尽管机构N的样本量比机构M少,但由于样本的随机性,不能排除样本较好的反映了总体的分布,所以,没有充足的理由否认机构N的成绩更合理.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图、二项分布、样本与总体的关系,考查数据处理能力,求解时注意在说理由时要根据统计的相关知识来回答.‎ ‎18.如图,在三棱柱中,,,,是的中点,E是棱上一动点.‎ ‎(1)若E是棱的中点,证明:平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值;‎ ‎(3)是否存在点E,使得,若存在,求出E的坐标,若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2);(3)不存在,理由详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)取中点为,连结,证明,再利用线面平行判定定理,即可证得结论;‎ ‎(2)先证明两两垂直,再建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的法向量,平面ABC的法向量为,再利用向量的夹角公式,即可得答案;‎ ‎(3)设,由,解得与假设矛盾,从而得到结论.‎ ‎【详解】(1)证明:取中点为,连结,‎ 在中,因为为的中点,‎ 所以且.‎ 又因为是的中点,,‎ 所以且,‎ 所以为平行四边形 所以. ‎ 又因为平面, .‎ 平面,‎ 所以平面. ‎ ‎(2)连结,‎ 因为是等边三角形,是的中点,‎ 所以,‎ 因为,,‎ 所以.‎ 因为平面平面,‎ 平面平面,‎ 平面,‎ 所以平面,‎ 所以两两垂直.‎ 如图,建立空间直角坐标系, ‎ 则,,,‎ ‎,‎ 设平面的法向量为,‎ 则, ‎ 即, ‎ 令,则,,‎ 所以. ‎ 平面ABC的法向量为,‎ ‎.‎ 又因为二面角为锐二面角,‎ 所以二面角的余弦值为. ‎ ‎(3),,‎ 设,‎ 则,‎ 所以,,‎ 所以,‎ 假设,‎ 则,解得, ‎ 这与已知矛盾.不存在点E.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、向量法求二面角的大小及利用向量证明直线垂直,考查转化与化归思想,考查空间想象能力、运算求解能力.‎ ‎19.已知椭圆的离心率为,且经过点,一条直线与椭圆C交于,两点,以为直径的圆经过坐标原点.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)求证:为定值.‎ ‎【答案】(1);(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)因为椭圆经过点,所以,再根据离心率,即可求得椭圆的方程;‎ ‎(2)①若直线的斜率存在时,,,,与椭圆方程联立,由可得,从而得到的关系,结合点到直线的距离公式,可证明结论;②若直线的斜率不存在,则有,可证结论也成立.‎ ‎【详解】(1)因为椭圆经过点,所以,‎ 又因为,则,由,得,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)①若直线的斜率存在时,设,与椭圆方程联立得:‎ ‎,有, ‎ 由题意,,设,,‎ 所以,. ‎ 因为以为直径的圆过原点,‎ 由,得 , ‎ 即,整理得,‎ ‎, ‎ 而 ‎ 设h为到的距离,则 所以,‎ 而,‎ 所以. ‎ ‎②若直线的斜率不存在,则有, ‎ 不妨设,设,有,‎ 代入椭圆方程得,,‎ ‎,‎ 即,‎ 综上.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、离心率的概念、椭圆中的定值问题,考查函数与方程思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意对斜率进行讨论.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎(1)若,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)求证:函数有且只有一个零点.‎ ‎【答案】(1);(2)详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对函数进行求导,求出切线的斜率和切点坐标,即可得答案;‎ ‎(2)函数的定义域为,要使函数有且只有一个零点,只需方程有且只有一个根,即只需关于x的方程在上有且只有一个解,利用导数可得函数在单调递增,再利用零点存在定理,即可得答案;‎ ‎【详解】(1)当时,函数,,, ‎ ‎,,‎ 所以函数在点处的切线方程是.‎ ‎(2)函数的定义域为,‎ 要使函数有且只有一个零点,只需方程有且只有一个根,‎ 即只需关于x的方程在上有且只有一个解.‎ 设函数, ‎ 则, ‎ 令,‎ 则, ‎ 由,得. ‎ x 单调递减 极小值 单调递增 由于, ‎ 所以,‎ 所以在上单调递增, ‎ 又,, ‎ ‎①当时, ,函数在有且只有一个零点,‎ ‎②当时,由于,所以存在唯一零点.‎ 综上所述,对任意的函数有且只有一个零点.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数证明函数的零点个数,考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意对函数进行二次求导的运用.‎ ‎21.已知数列满足:对任意的,若,则,且,设集合,集合中元素最小值记为,集合中元素最大值记为.‎ ‎(1)对于数列:,写出集合及;‎ ‎(2)求证:不可能为18;‎ ‎(3)求的最大值以及的最小值.‎ ‎【答案】(1),,;(2)详见解析;(3)的最大值为17, 的最小值为16.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意易得,,. ‎ ‎(2)利用反证法,假设,可推出,这一集合元素互异性的矛盾;‎ ‎(3)首先求,由(2)知,而是可能的;再证明:的最小值为16.‎ ‎【详解】(1)由题意易得,,.‎ ‎(2)证明:假设,‎ 设,‎ 则=,‎ 即,因为,所以,‎ 同理,设,可以推出,‎ 中有两个元素为1,与题设矛盾,故假设不成立,‎ 不可能为18. ‎ ‎(3)的最大值为17,的最小值为16.‎ ‎①首先求,由(2)知,而是可能的.‎ 当时, ‎ 设 则=‎ 即, ‎ 又 得,即.‎ 同理可得:. ‎ 对于数列:‎ 此时,,满足题意.‎ 所以的最大值为17; ‎ ‎②现证明:的最小值为16.‎ 先证明为不可能的,假设. ‎ 设,‎ 可得,即,元素最大值为10,所以.‎ 又,‎ 同理可以推出,矛盾,假设不成立,所以.‎ 数列为:时,‎ ‎,,中元素的最大值为16.‎ 所以的最小值为16.‎ ‎【点睛】本题考查集合的新定义和反证法的运用,考查反证法的证明,考查逻辑推理能力、运算求解能力,属于难题.‎
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