- 2021-06-10 发布 |
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文档介绍
高中数学选修2-2课时练习第五章 1_1~1_2
§1 数系的扩充与复数的引入 1.1 数的概念的扩展 1.2 复数的有关概念 [学习目标] 1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件. 4.理解复数的几何表示. [知识链接] 为解决方程x2=2,数系从有理数扩充到实数;数的概念扩充到实数集后,人们发现在实数范围内很多问题还不能解决,如从解方程的角度看,象x2=-1这个方程在实数范围内就无解,那么怎样解决方程x2=-1在实数系中无根的问题呢? 答 设想引入新数i,使i是方程x2=-1的根,即i·i=-1,方程x2=-1有解,同时得到一些新数. [预习导引] 1.复数的有关概念 (1)复数 ①定义:形如a+bi的数叫作复数,其中a,b∈R,i叫作虚数单位,a叫作复数的实部,b叫作复数的虚部. ②表示方法:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R). (2)复数集 ①定义:复数的全体组成的集合叫作复数集. ②表示:通常用大写字母C表示. 2.复数的分类及包含关系 (1)分类:复数(a+bi,a,b∈R) (2)集合表示: 3.两个复数相等:a+bi=c+di当且仅当a=c且b=d. 4.复数的几何意义 (1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b); (2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量=(a,b). 5.复数的模:复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为,则的模叫作复数z的模或绝对值,记作|z|,且|z|=. 要点一 复数的概念 例1 请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数,还是纯虚数. ①2+3i;②-3+i;③+i;④π;⑤-i;⑥0. 解 ①的实部为2,虚部为3,是虚数;②的实部为-3,虚部为,是虚数;③的实部为,虚部为1,是虚数;④的实部为π,虚部为0,是实数;⑤的实部为0,虚部为-,是纯虚数;⑥的实部为0,虚部为0,是实数. 规律方法 复数a+bi中,实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,b连同它的符号叫做复数的虚部. 跟踪演练1 实数m为何值时,复数z=+(m2+2m-3)i是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 解 (1)要使z是实数,m需满足m2+2m-3=0, 且有意义即m-1≠0,解得m=-3. (2)要使z是虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且有意义即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3. (3)要使z是纯虚数,m需满足=0, 且m2+2m-3≠0,解得m=0或m=-2. 要点二 两个复数相等 例2 (1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x、y的值. (2)关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值. 解 (1)∵x2-y2+2xyi=2i, ∴,解得,或 (2)设方程的实数根为x=m,则原方程可变为 3m2-m-1=(10-m-2m2)i, ∴解得a=11或a=-. 规律方法 两个复数相等,首先要分清两复数的实部与虚部,然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程,从而可以确定两个独立参数. 跟踪演练2 已知x,y均是实数,且满足(x+y)+(y-1)i=2x+3y+(2y+1)i,求x与y. 解 由复数相等的充要条件得x+y=2x+3y且y-1=2y+1,解得x=4,y=-2. 要点三 复数的几何意义 例3 在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点(1)在虚轴上;(2)在第二象限;(3)在直线y=x上,分别求实数m的取值范围. 解 复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为 m2-m-2,虚部为m2-3m+2. (1)由题意得m2-m-2=0.解得m=2或m=-1. (2)由题意得 ∴,∴-1查看更多