专题02+二次函数及指、对数函数的问题的探究-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破
专题02 二次函数及指、对数函数的问题的探究
【自主热身，归纳提炼】
1、已知4a＝2，logax＝2a，则正实数x的值为________．
【答案】：
【解析】：由4a＝2，得22a＝21，所以2a＝1，即a＝.由logx＝1，得x＝＝.
2、函数的定义域为 ．
【答案】：
【解析】：由题意，，即，即，解得.
3、 函数f(x)＝log2(－x2＋2)的值域为________．
【答案】|、
【解析】：由题意可得－x2＋2>0，即－x2＋2∈(0,2]，故所求函数的值域为.
4、 设函数f(x)＝x2－3x＋a.若函数f(x)在区间(1,3)内有零点，则实数a的取值范围为________．
【答案】
解法1 由f(x)＝0得a＝－x2＋3x＝－2＋.因为x∈(1,3)，所以－2＋∈，所以a∈.
解法2 因为f(x)＝x2－3x＋a＝2－＋a，所以要使函数f(x)在区间(1,3)内有零点，则需f≤0且f(3)>0，解得0
0，得2x>a.显然a>0，所以x>log2a.由题意，得log2a＝，即a＝.
解法2 (秒杀解法)当x＝时，必有1－＝0，解得a＝.
10、 已知f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，函数g(x)＝x2－2x＋m.如果∀x1∈[－2,2]，∃x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则实数m的取值范围是________．
【答案】[－5，－2]
【解析】：因为x∈(0,2]，函数f(x)＝2x－1，所以f(x)的值域为(0, 3]．又因为f(x)是[－2,2]上的奇函数，所以x＝0时，f(0)＝0，所以在[－2,2]上f(x)的值域为[－3,3]．而在[－2,2]上g(x)的值域为[m－1,8＋m]．如果对于任意的x1∈[－2,2]，都存在x2∈[－2,2]，使得g(x2)＝f(x1)，则有[－3，3]⊆[m－1,8＋m]，所以即所以－5≤m≤－2.
11、已知函数f(x)＝x，若存在x∈，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是________．
【答案】： (－1,5)
解法1 当x∈[1,2]时，f(x)<2，等价于|x3－ax|<2，即－20矛盾．
那么有a≤－1或a≥5，故原题【答案】为－11－2a，t2>1－2a，因为方程f(t)＝0的一个解为t＝－1，故按照1－2a与－1的大小关系，分三种情况讨论得出a的取值范围．
设g(x)＝t，因为函数y＝f(g(x))有四个不同的零点，所以方程f(t)＝0有且仅有两个不相等的根t1，t2，且由g(x)＝x2＋1－2a＝t，得x2＝t－(1－2a)，故t1>1－2a，t2>1－2a.
当t<0时，由ln(－t)＝0得t＝－1.
若1－2a＝－1，则a＝1，易得函数f(g(x))有五个不同的零点，舍去．
若1－2a<－1，则a>1，所以f(0)<0，所以方程f(t)＝0有且仅有一个正根，符合题意．
若1－2a>－1，则a<1，所以方程f(t)＝0必有两个正根，且t1>1－2a，t2>1－2a.
因为t>0时，f(t)＝t2－2at－a＋1，
所以a>0，Δ＝4a2－4(－a＋1)>0，f(0)>0，
f(1－2a)＝(1－2a)2－2a(1－2a)－a＋1>0，
解得1，即{a|1}．
本题考查复合函数的零点问题，处理f(g(x))＝0解的个数问题，往往通过换元令t＝g(x)，f(t)＝0，研究t的解的个数，再讨论每一个解对应的g(x)＝t的解x的个数，常用数形结合的方法来处理．
【变式2】、已知函数f(x)＝x2－2ax＋a2－1，若关于x的不等式f(f(x))<0的解集为空集，则实数a的取值范围是________．
【答案】： (－∞，－2]
注意到f(f(x))<0是关于x的四次不等式，所以直接求解是有困难的，因此，首先得降次，由于f(x)可分解为，从而应用整体思想，可将问题转化为a－1
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