2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第九章　6 第6讲　双曲线

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第九章　6 第6讲　双曲线

‎[基础题组练]‎ ‎1．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±2x　　　　　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选B.由条件e＝，即＝，得＝＝1＋＝3，所以＝±，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选B.‎ ‎2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝kx(k＞0)，离心率e＝k，则双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：选C.由已知得 所以a2＝4b2.所以双曲线的方程为－＝1.‎ ‎3．(2020·杭州学军中学高三质检)双曲线M：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则点P的横坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF2|＝|PF1|－2＝c，又|OP|＝c，∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得c＝1＋.易知△POF2为等边三角形，则xP＝＝，选项A正确．‎ ‎4．(2020·杭州中学高三月考)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心，OF1为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为(　　)‎ A. B．3‎ C. D．2‎ 解析：选D.由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)，一条渐近线方程为y＝x，则F2到渐近线的距离为＝b.‎ 设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于点A，所以|MF2|＝2b，A为F2M的中点，又O是F1F2的中点，所以OA∥F1M，所以∠F1MF2为直角，‎ 所以△MF1F2为直角三角形，‎ 所以由勾股定理得4c2＝c2＋4b2，‎ 所以3c2＝4(c2－a2)，所以c2＝4a2，‎ 所以c＝2a，所以e＝2.‎ 故选D.‎ ‎5．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.‎ 法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以＝(1，0)，＝(0，－3)，所以·＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.‎ ‎6．(2020·浙江高中学科基础测试)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)与抛物线y2＝20x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝17，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.由题意知F(5，0)，不妨设P点在x轴的上方，由|PF|＝17知点P的 横坐标为17－5＝12，则其纵坐标为＝4，设双曲线的另一个焦点为F1(－5，0)，则|PF1|＝＝23，所以2a＝|PF1|－|PF|＝23－17＝6，所以a＝3，所以e＝＝，故选B.‎ ‎7．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知曲线＋＝1，当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k的取值范围是________．‎ 解析：当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2－k＞2，‎ 所以k＜－1或k＞2；‎ 当曲线表示双曲线时，k2－k＜0，‎ 所以0＜k＜1.‎ 答案：k＜－1或k＞2　0＜k＜1‎ ‎8．(2020·金华十校联考)已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＝0，则P到x轴的距离为________．‎ 解析：F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，则可设P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故P到x轴的距离为|x0|＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．(2020·瑞安四校联考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与直线x＝分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点．若60°<∠AFB<90°，则该双曲线的离心率的取值范围是________．‎ 解析：双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，x＝时，y＝±，不妨设A，B，因为60°<∠AFB<90°，所以0，b>0)，‎ 所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，‎ 又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.‎ 所以＝3，得a＝3，b＝4，‎ 所以双曲线G的方程为－＝1.‎ ‎12．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求此双曲线的方程；‎ ‎(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若＝，求△AOB的面积．‎ 解：(1)依题意得解得 故双曲线的方程为－x2＝1.‎ ‎(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m>0，n>0，由＝得点P的坐标为.将点P的坐标代入－x2＝1，整理得mn＝1.‎ 设∠AOB＝2θ，因为tan＝2，则tan θ＝，从而sin 2θ＝.‎ 又|OA|＝m，|OB|＝n，‎ 所以S△AOB＝|OA||OB|sin 2θ＝2mn＝2.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1．(2020·舟山市普陀三中高三期中)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C.直线l：y＝－x＋a与渐近线l1：bx－ay＝0交于点B，‎ l与渐近线l2：bx＋ay＝0交于点C，A(a，0)，‎ 所以＝，＝，‎ 因为＝，‎ 所以b＝2a，‎ 所以c2－a2＝4a2，‎ 所以e2＝＝5，所以e＝，故选C.‎ ‎2．(2020·宁波高考模拟)如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，则C1与C2的离心率之和为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．2 D．2 解析：选A.F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，‎ 若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝，可得A，B，‎ 代入椭圆方程可得＋＝1，可得＋＝1，‎ 可得e4－8e2＋4＝0，解得e＝－1.‎ 代入双曲线方程可得：－＝1，‎ 可得：－＝1，‎ 可得：e4－8e2＋4＝0，解得e＝＋1，‎ 则C1与C2的离心率之和为2.‎ 故选A.‎ ‎3．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是__________．‎ 解析：由题意不妨设点P在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF2⊥x轴时，将x＝2代入x2－＝1，解得y＝±3，所以|PF2|＝3，所以PF1＝＝5，所以|PF1|＋|PF2|有最大值8；当∠P为直角时，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝16，又因为|PF1|－|PF2|＝2，两边平方得(|PF1|－|PF2|)2＝4，所以|PF1||PF2|＝6，解得|PF1|＝1＋，|PF2|＝－1＋，所以|PF1|＋|PF2|有最小值2.因为△F1PF2为锐角三角形，所以|PF1|＋|PF2|的取值范围为(2，8)．‎ 答案：(2，8)‎ ‎4．(2020·温州十五校联合体联考)过点M(0，1)且斜率为1的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两渐近线交于点A，B，且＝2，则直线l的方程为____________；如果双曲线的焦距为2，则b的值为________．‎ 解析：直线l的方程为y＝x＋1，两渐近线的方程为y＝±x.其交点坐标分别为，.由＝2，得xB＝2xA.若＝－，得a＝3b，由a2＋b2＝10b2＝10得b＝1，若－＝，得a＝－3b(舍去)．‎ 答案：y＝x＋1　1‎ ‎5．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点F2的直线l交双曲线于A，B两点，F1为左焦点．‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)若△F1AB的面积等于6，求直线l的方程．‎ 解：(1)依题意，b＝，＝2⇒a＝1，c＝2，所以双曲线的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知F2(2，0)．‎ 易验证当直线l斜率不存在时不满足题意，故可设直线l：y＝k(x－2)，由消元得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0，k≠±，x1＋x2＝，x1x2＝，y1－y2＝k(x1－x2)，△F1AB的面积S＝c|y1－y2|＝2|k|·|x1－x2|＝2|k|·＝12|k|·＝6.得k4＋8k2－9＝0，则k＝±1.所以直线l的方程为y＝x－2或y＝－x＋2.‎ ‎6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为.‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点，已知A(1，0)，若·＝1，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎ 解：(1)依题意有＝，c－＝，‎ 因为a2＋b2＝c2，所以c＝2a2，所以a＝1，c＝2，所以b2＝3，所以双曲线C的方程为x2－＝1.‎ ‎(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，‎ 由得2x2－2mx－m2－3＝0，‎ 所以x1＋x2＝m，x1x2＝－，‎ 又因为·＝1，即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，所以m＝0(舍)或m＝2，‎ 所以x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，‎ 因为·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，所以AD⊥AB，‎ 所以过A、B、D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，‎ 因为点M的横坐标为1，所以MA⊥x轴，‎ 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎