2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第九章 6 第6讲 双曲线

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文档介绍

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破:第九章 6 第6讲 双曲线

‎[基础题组练]‎ ‎1.若双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为(  )‎ A.y=±2x         B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析:选B.由条件e=,即=,得==1+=3,所以=±,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选B.‎ ‎2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=kx(k>0),离心率e=k,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 解析:选C.由已知得 所以a2=4b2.所以双曲线的方程为-=1.‎ ‎3.(2020·杭州学军中学高三质检)双曲线M:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,记|F1F2|=2c,以坐标原点O为圆心,c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P,若|PF1|=c+2,则点P的横坐标为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A.由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|-|PF2|=2,则|PF2|=|PF1|-2=c,又|OP|=c,∠F1PF2=90°,由勾股定理可得(c+2)2+c2=(2c)2,解得c=1+.易知△POF2为等边三角形,则xP==,选项A正确.‎ ‎4.(2020·杭州中学高三月考)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若F2关于渐近线的对称点恰落在以F1为圆心,OF1为半径的圆上,则双曲线C 的离心率为(  )‎ A. B.3‎ C. D.2‎ 解析:选D.由题意,F1(-c,0),F2(c,0),一条渐近线方程为y=x,则F2到渐近线的距离为=b.‎ 设F2关于渐近线的对称点为M,F2M与渐近线交于点A,所以|MF2|=2b,A为F2M的中点,又O是F1F2的中点,所以OA∥F1M,所以∠F1MF2为直角,‎ 所以△MF1F2为直角三角形,‎ 所以由勾股定理得4c2=c2+4b2,‎ 所以3c2=4(c2-a2),所以c2=4a2,‎ 所以c=2a,所以e=2.‎ 故选D.‎ ‎5.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.法一:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以AP∥x轴,又PF⊥x轴,所以AP⊥PF,所以S△APF=|PF|·|AP|=×3×1=.故选D.‎ 法二:由题可知,双曲线的右焦点为F(2,0),当x=2时,代入双曲线C的方程,得4-=1,解得y=±3,不妨取点P(2,3),因为点A(1,3),所以=(1,0),=(0,-3),所以·=0,所以AP⊥PF,所以S△APF=|PF|·|AP|=×3×1=.故选D.‎ ‎6.(2020·浙江高中学科基础测试)已知双曲线-=1(a>0,b>0)与抛物线y2=20x有一个公共的焦点F,且两曲线的一个交点为P,若|PF|=17,则双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.由题意知F(5,0),不妨设P点在x轴的上方,由|PF|=17知点P的 横坐标为17-5=12,则其纵坐标为=4,设双曲线的另一个焦点为F1(-5,0),则|PF1|==23,所以2a=|PF1|-|PF|=23-17=6,所以a=3,所以e==,故选B.‎ ‎7.(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知曲线+=1,当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时k的取值范围是________;当曲线表示双曲线时k的取值范围是________.‎ 解析:当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时,k2-k>2,‎ 所以k<-1或k>2;‎ 当曲线表示双曲线时,k2-k<0,‎ 所以0<k<1.‎ 答案:k<-1或k>2 0<k<1‎ ‎8.(2020·金华十校联考)已知l是双曲线C:-=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2是C的两个焦点,若·=0,则P到x轴的距离为________.‎ 解析:F1(-,0),F2(,0),不妨设l的方程为y=x,则可设P(x0,x0),由·=(--x0,-x0)·(-x0,-x0)=3x-6=0,得x0=±,故P到x轴的距离为|x0|=2.‎ 答案:2‎ ‎9.(2020·瑞安四校联考)设双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与直线x=分别交于A,B两点,F为该双曲线的右焦点.若60°<∠AFB<90°,则该双曲线的离心率的取值范围是________.‎ 解析:双曲线-=1的两条渐近线方程为y=±x,x=时,y=±,不妨设A,B,因为60°<∠AFB<90°,所以0,b>0),‎ 所以渐近线方程为bx±ay=0且a2+b2=25,‎ 又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r=3.‎ 所以=3,得a=3,b=4,‎ 所以双曲线G的方程为-=1.‎ ‎12.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求此双曲线的方程;‎ ‎(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若=,求△AOB的面积.‎ 解:(1)依题意得解得 故双曲线的方程为-x2=1.‎ ‎(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=±2x,设A(m,2m),B(-n,2n),其中m>0,n>0,由=得点P的坐标为.将点P的坐标代入-x2=1,整理得mn=1.‎ 设∠AOB=2θ,因为tan=2,则tan θ=,从而sin 2θ=.‎ 又|OA|=m,|OB|=n,‎ 所以S△AOB=|OA||OB|sin 2θ=2mn=2.‎ ‎[综合题组练]‎ ‎1.(2020·舟山市普陀三中高三期中)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C.直线l:y=-x+a与渐近线l1:bx-ay=0交于点B,‎ l与渐近线l2:bx+ay=0交于点C,A(a,0),‎ 所以=,=,‎ 因为=,‎ 所以b=2a,‎ 所以c2-a2=4a2,‎ 所以e2==5,所以e=,故选C.‎ ‎2.(2020·宁波高考模拟)如图,F1,F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,若AF1⊥BF1,且∠AF1O=,则C1与C2的离心率之和为(  )‎ A.2 B.4‎ C.2 D.2 解析:选A.F1,F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点,A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点,‎ 若AF1⊥BF1,且∠AF1O=,可得A,B,‎ 代入椭圆方程可得+=1,可得+=1,‎ 可得e4-8e2+4=0,解得e=-1.‎ 代入双曲线方程可得:-=1,‎ 可得:-=1,‎ 可得:e4-8e2+4=0,解得e=+1,‎ 则C1与C2的离心率之和为2.‎ 故选A.‎ ‎3.设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是__________.‎ 解析:由题意不妨设点P在双曲线的右支上,现考虑两种极限情况:当PF2⊥x轴时,将x=2代入x2-=1,解得y=±3,所以|PF2|=3,所以PF1==5,所以|PF1|+|PF2|有最大值8;当∠P为直角时,|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16,又因为|PF1|-|PF2|=2,两边平方得(|PF1|-|PF2|)2=4,所以|PF1||PF2|=6,解得|PF1|=1+,|PF2|=-1+,所以|PF1|+|PF2|有最小值2.因为△F1PF2为锐角三角形,所以|PF1|+|PF2|的取值范围为(2,8).‎ 答案:(2,8)‎ ‎4.(2020·温州十五校联合体联考)过点M(0,1)且斜率为1的直线l与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两渐近线交于点A,B,且=2,则直线l的方程为____________;如果双曲线的焦距为2,则b的值为________.‎ 解析:直线l的方程为y=x+1,两渐近线的方程为y=±x.其交点坐标分别为,.由=2,得xB=2xA.若=-,得a=3b,由a2+b2=10b2=10得b=1,若-=,得a=-3b(舍去).‎ 答案:y=x+1 1‎ ‎5.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于,过右焦点F2的直线l交双曲线于A,B两点,F1为左焦点.‎ ‎(1)求双曲线的方程;‎ ‎(2)若△F1AB的面积等于6,求直线l的方程.‎ 解:(1)依题意,b=,=2⇒a=1,c=2,所以双曲线的方程为x2-=1.‎ ‎(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知F2(2,0).‎ 易验证当直线l斜率不存在时不满足题意,故可设直线l:y=k(x-2),由消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,k≠±,x1+x2=,x1x2=,y1-y2=k(x1-x2),△F1AB的面积S=c|y1-y2|=2|k|·|x1-x2|=2|k|·=12|k|·=6.得k4+8k2-9=0,则k=±1.所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2.‎ ‎6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=x,右焦点F到直线x=的距离为.‎ ‎(1)求双曲线C的方程;‎ ‎(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B、D两点,已知A(1,0),若·=1,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切.‎ 解:(1)依题意有=,c-=,‎ 因为a2+b2=c2,所以c=2a2,所以a=1,c=2,所以b2=3,所以双曲线C的方程为x2-=1.‎ ‎(2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m>0),B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD的中点为M,‎ 由得2x2-2mx-m2-3=0,‎ 所以x1+x2=m,x1x2=-,‎ 又因为·=1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1,所以m=0(舍)或m=2,‎ 所以x1+x2=2,x1x2=-,M点的横坐标为=1,‎ 因为·=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0,所以AD⊥AB,‎ 所以过A、B、D三点的圆以点M为圆心,BD为直径,‎ 因为点M的横坐标为1,所以MA⊥x轴,‎ 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切.‎
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