广东省中山一中等六校2013届高三第二次（12月）联考数学理试题

广东省中山一中等六校2013届高三第二次（12月）联考数学理试题

广东省 广州市广东番禺仲元中学 中山市第一中学 深圳市宝安中学 六校 联合体 汕头市潮阳第一中学 揭阳市普宁第二中学 佛山市南海中学 ‎2012~2013学年度高三第二次教学质量检测 ‎ 理科数学试题 命题人：宝安中学、中山一中 本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。‎ 参考公式：‎ 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 锥体体积公式：，为底面面积，为高．‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知全集，集合，则=‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数在复平面中所对应的点到原点的距离为 A． B．‎1 ‎‎ C． D．‎ ‎3．如图所示，一个空间几何体的主（正）视图和左（侧）视图都是边长为 1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 A． B． C． D．‎ ‎4．执行右边的程序框图，若p=4，则输出的S=‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．数列满足，若， ‎ 则数列的第2012项为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为 A．3 B． C．2 D． ‎7．一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有 ‎ A．6种 B．8种 ‎ C．36种 D．48种 ‎8．函数在区间上的值域是，则点（a，b）的轨迹是 图中的 ‎ A．线段AB和线段AD B．线段AB和线段CD ‎ C．线段AD和线段BC D．线段AC和线段BD 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题（9-13题）‎ ‎9．在二项式的展开式中，含的项的系数是 ． ‎ ‎10．某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，统计了某4天的用电量与当天气温，数据如下表：‎ 气温（‎0C）‎ ‎18‎ ‎13‎ ‎10‎ 用电量（度）‎ ‎24‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎64‎ 由表中数据可得线性回归方程中的，预测当气温为时，该单位用电量的度数约为_______度．‎ ‎11．已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y=kx +1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是 ．‎ ‎12． ．‎ ‎13．若对于任意，函数的值恒大于零，则 的取值范围是 ． ‎ ‎（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程为　　 　　． ‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图，圆O的割线交圆O于两点，割线经过圆心，已知，，，则圆O的半径是　 　 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，，．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，求△ABC面积．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为，飞镖落在靶内的各个点是随机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为‎30cm、‎20cm、‎10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．‎ ‎（1）若这位同学向圆形靶投掷3次飞镖，求恰有2次落在9环区域内的概率；‎ ‎（2）记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图，等腰梯形的底角为， 为边上一点，且将沿折起，使平面⊥平面．‎ ‎（1）求证：⊥平面；‎ ‎（2）若为的中点，试求异面直线和所成的角的余弦值；‎ ‎（3）在侧棱上有一点，使截面把几何体分成的两部分的体积之比，求的长．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆C1： （a>b>0）的离心率为，直线l：与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．‎ ‎（1）求椭圆C1的方程；‎ ‎（2）设椭圆C1的左焦点为F 1，右焦点F2，直线过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直直线于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；‎ ‎（3）若A（x1，2）、B（x2 ，y2）、C（x0，y0）是C2上不同的点，且AB⊥ BC，求yo的取值范围．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知函数定义域为（）．‎ ‎（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）当时，求满足的的个数．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知曲线 ，过上一点作一斜率的直线交曲线C于另一点． ‎ ‎（1）求与之间的关系式；‎ ‎（2）求证：数列是等比数列；‎ ‎（3）求证：‎ ‎2012-2013年度12月六校联考理科数学答案 ‎ 一、选择题： ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 正确答案 C C A C D B D A 二、填空题： ‎ ‎9．10； 10．80； 11．； 12．3； 13．；‎ ‎14．； 15．8．‎ 三、解答题： ‎ ‎16．在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，，．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，求△ABC面积．‎ 解：（1）在△ABC中，由得，，……………3分 ‎， ……………5分 又，∴ ． ……………6分 ‎（2）由可得，， ……………8分 由得，， ……………10分 所以，△ABC面积是． ……………12分 ‎17．某同学向如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为，飞镖落在靶内的各个点是随机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为‎30cm、‎20cm、‎10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．‎ ‎（1）若这位同学向圆形靶投掷3次飞镖，求恰有2次落在9环区域内的概率；‎ ‎（2）记这位同学投掷一次得到的环数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．‎ 解：（1）由题意可知，飞镖落在靶内各个区域的概率与它们的面积成正比，而与它们的质量和形状无关．‎ 由圆的半径值可得到三个同心圆的半径之比为3：2：1，面积比为9：4：1，‎ 所以8环区域、9环区域、10环区域的面积比为5：3：1，‎ 则掷得8环、9环、10环的概率分别设为5k，3k，k 根据离散型随机变量分布列的性质有0.1+5k+3k+k=1，解得k=0.1． ……………3分 所以，这位同学向圆形靶投掷1次飞镖，落在9环区域内的概率为0.3，‎ 所以，P（向圆形靶投掷3次飞镖，恰有2次落在9环区域内）‎ ‎． ……………6分 ‎（2）随机变量X的取值为0，8，9，10， ……………7分 ‎，，，，‎ 所以，离散型随机变量X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ P ‎0.1‎ ‎0.5‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎ ……………11分 E（X）=0×0.1+8×0.5+9×0.3+10×0.1=7.7． ……………12分 ‎18．如图，等腰梯形的底角为， 为边上一点，且将沿折起，使平面⊥平面．‎ ‎（1）求证：⊥平面；‎ ‎（2）若为的中点，试求异面直线和所成的角的余弦值；‎ ‎（3）在侧棱上有一点，使截面把几何体分成的两部分的体积之比，求的长．‎ ‎（1）证明：依题意知，，，‎ 又∥，，‎ 又∵平面⊥平面，平面平面，‎ 平面． …………………4分 ‎ （2）由知平面，‎ 如图，分别以所在的直线为轴、轴、轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 则易得各点的坐标为，‎ 故的中点的坐标为故又 所以异面直线和所成的角的余弦值为． ……………9分 ‎（3）解：∵，∴ ………………11分 又由知平面，又 ‎．‎ 设到平面的距离为，则 ‎ ……………………12分 又，故 ……………………14分 ‎19．已知椭圆C1： （a>b>0）的离心率为，直线l：与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．‎ ‎（1）求椭圆C1的方程；‎ ‎（2）设椭圆C1的左焦点为F 1，右焦点F2，直线过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直直线于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；‎ ‎（3）若A（x1，2）、B（x2 ，y2）、C（x0，y0）是C2上不同的点，且AB⊥ BC，求yo的取值范围．‎ 解：（1），所以，，所以，， ……………2分 又因为直线l：与圆x2＋y2＝b2相切，‎ 所以，＝b，所以，b＝，b2＝2，a2＝2， ……………………3分 所以，椭圆C1的方程是． ……………………4分 ‎（2）因为，‎ 所以，动点M到定直线的距离等于它到定点的距离，‎ 所以，动点M的轨迹是以为准线，F2为焦点的抛物线，且＝1，‎ 所以点M的轨迹C2的方程为y2＝4x． ……………………8分 ‎（3）由（1）知A（1,2），，，，，‎ 则，，…………………………10分 又AB⊥ BC，所以，，于是 整理，得：y22＋（y0＋2）y2＋16＋2y0＝0， …………………………12分 此方程有解，所以∆＝（y0＋2）2－4（16＋2y0）≥0，解得：y0≤－6或y0≥10，‎ 所以，点C的纵坐标y0的取值范围是．…………………………14分 ‎20．已知函数定义域为（）．‎ ‎（1）试确定的取值范围,使得函数在上为单调函数；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）当时，求满足的的个数．‎ ‎（1）解：因为 …………2分 由；由，所以在上递增，在上递减， 欲在上为单调函数，则． ……………4分 ‎（2）证：因为在上递增，在上递减，‎ 所以在处取得极小值， ……………………………………6分 又，所以在上的最小值为 …………8分 从而当时， ……………………………………………………9分 ‎（3）因为，所以即为，‎ 令，从而问题转化为求方程=0‎ 在上的解的个数， …………………………………………12分 ‎ 因为，，‎ 所以当时，，但由于，‎ 所以在上有两解．‎ 即，满足的的个数为2． ……………………………………14分 ‎21．已知曲线 ，过上一点作一斜率的直线交曲线C于另一点． ‎ ‎（1）求与之间的关系式；‎ ‎（2）求证：数列是等比数列；‎ ‎（3）求证：‎ 解：（1）直线方程为，‎ ‎．‎ ‎……………………………………………4分 ‎（2）设由（1）得 又是等比数列； ……………………8分 ‎（3）由（2）得 ‎ ……………………10分 当n为偶数时，则 ‎；…………12分 当n为奇数时，则 而 综上所述，当时，成立．………14分