2019-2020学年福建省厦门市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年福建省厦门市第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年福建省厦门市第二中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据交集的概念，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为集合，，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查求集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2．与角终边相同的角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 可得。‎ ‎【详解】‎ 任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和，可得与角终边相同的角是，当时，，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角，是基础题。‎ ‎3．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数解析式，列出不等式求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，解得：.‎ 即函数的定义域是.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查求具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.‎ ‎4．下列函数中，既是奇函数，在定义域内又是增函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数奇偶性的概念，排除ABC，再由幂函数的单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ A选项，函数的定义域为，不关于原点对称，因此函数是非奇非偶函数，排除A；‎ B选项，函数的定义域为，但，因此函数是非奇非偶函数，排除B；‎ C选项，函数的定义为，关于原点对称，又，所以函数是偶函数，排除C；‎ D选项，函数的定义域为，又，所以函数是奇函数，又，根据幂函数的性质，得到单调递增，满足题意；D正确；‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性与单调性的应用，熟记函数奇偶性的概念，以及幂函数的单调性即可，属于常考题型.‎ ‎5．函数f（x）=‎ A．（-2,-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：‎ ‎，所以零点在区间（0，1）上 ‎【考点】零点存在性定理 ‎6．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图可知，高度的增长速率是先慢后快，且都是运算增长，所以只有A满足。‎ 故选A。‎ ‎7．已知函数，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据函数解析式，由内到外，逐步代入，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因此.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查求分段函数的值，由内到外，逐步代入即可，属于基础题型.‎ ‎8．已知扇形的圆心角，所对的弦长为，则弧长等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意画出图形，结合图形求出半径r，再计算弧长．‎ ‎【详解】‎ 如图所示，‎ ‎∠AOB＝，AB＝，过点O作OC⊥AB，C为垂足，‎ 延长OC交于D，则∠AOD＝∠BOD＝，ACAB＝；‎ Rt△AOC中，r＝AO，‎ 从而弧长为l＝α•r＝‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了弧长公式的应用问题，考查弦长公式及垂径定理，是基础题．‎ ‎9．若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是( ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据二次函数的性质，结合题意，得到，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数开口向上，对称轴为，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 又函数在区间上是单调函数，‎ 所以，解得：.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查由二次函数单调性求参数，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎10．已知函数，则之间的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先由对数函数与指数函数的性质，得到，再根据幂函数的单调性，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 根据幂函数的单调性，可得：函数在定义域上单调递增，‎ 因此，‎ 即.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性比较大小，熟记函数单调性即可，属于常考题型.‎ ‎11．定义在上的奇函数满足，对任意的实数且时，都有，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由题意，得到，函数在上单调递增；在上也单调递增；作出其大致图像，令，将原不等式化为 ‎，根据函数图像，解不等式，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为定义在上的奇函数满足，所以，‎ 又对任意的实数且时，都有，‎ 所以函数在上单调递增；‎ 又函数为奇函数，所以在上也单调递增；‎ 作出函数大致图像如下：‎ 令，则不等式可化为，‎ 当时，，由函数图像可得：；‎ 当时，，由函数图像可得：，‎ 所以或，即或；‎ 即不等式的解集为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.‎ ‎12．若关于的方程有两个实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先将原方程有两个实数根，化为函数的图像与直线有两不同的交点，作出函数图像，结合图像，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由关于的方程有两个实数解，‎ 可得，关于的方程有两个实数解；‎ 即函数的图像与直线有两不同的交点，‎ 作出函数的大致图像如下：‎ 由图像可得，只需，即.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查由方程根的个数求参数，灵活运用数形结合的方法即可求解，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数是定义在上的奇函数，若时，，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数奇偶性得到，代入已知解析式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是定义在上的奇函数，时，，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记函数奇偶性即可，属于基础题型.‎ ‎14．已知函数，则该函数的零点为_________．‎ ‎【答案】和和 ‎【解析】分别由，，解对应的方程，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 当时，由得，解得或（舍），所以；‎ 当时，由得，解得或，所以或.‎ 因此，函数的零点为：和和.‎ 故答案为: 和和 ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数的零点，熟记零点的定义即可，属于基础题型.‎ ‎15．给出以下四个结论：‎ ‎（1）若函数的定义域为，则函数的定义域是；‎ ‎（2）函数（其中，且）的图象过定点；‎ ‎（3）当时，幂函数的图象是一条直线；‎ ‎（4）若，则的取值范围是.‎ 其中所有正确结论的序号是_________．‎ ‎【答案】（1）（2）（4）‎ ‎【解析】根据求抽象函数定义域的方法即可判断（1）；根据指数函数与对数函数的性质，可判断（2）；根据无意义，即可判断（3）；根据对数函数的性质，由得或，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为函数的定义域为，‎ 所以，即函数的定义域是；故（1）正确；‎ ‎（2）由可得：，因此函数的图象过定点；故（2）正确；‎ ‎（3）当时，幂函数，定义域为，函数在定义域上不连续，因此其图像不是一条直线；故（3）错；‎ ‎（4）因为，即，‎ 所以有：或，解得：；故（4）正确.‎ 故答案为：（1）（2）（4）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数定义域，判断函数所过定点，幂函数的图像，以及解对数不等式，熟记抽象函数定义域的求法，指数函数，对数函数，以及幂函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎16．已知函数，则使得的的取值范围是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由对数函数与二次函数单调性，判断当时在上单调递增；再由函数奇偶性的概念，判断是偶函数，得到其在上单调递减；求出，将所求不等式化为，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当时，与都单调递增，‎ 所以函数在上单调递增；‎ 又，‎ 所以函数是偶函数，‎ 因此函数在上单调递减；‎ 又，‎ 因此由可得：，‎ 所以，解得：，‎ 即使得的的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性的概念即可，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎17．已知集合，集合．‎ ‎（1）当时，求和；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ,（2）‎ ‎【解析】（1）解不等式求出，根据补集的概念，求出；由得到，由并集的概念，求出；‎ ‎（2）分别讨论，两种情况，根据，即可列出不等式求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)解不等式，得，，‎ 或, ‎ 当时，，因此，. ‎ ‎（2）当时，，得，此时，成立, ‎ 当时，，得，‎ ‎，则或，解得或，‎ 所以，. ‎ 综上所述，或 ，即，所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求集合的补集与并集，以及由交集的结果求参数，熟记集合交并补的概念即可，属于常考题型.‎ ‎18．计算：‎ ‎（1） ；‎ ‎（2）已知角的终边经过点， 求的值.‎ ‎【答案】（1）1,(2) 当时,, 当时，‎ ‎【解析】（1）根据指数幂，以及对数运算法则，直接计算，即可得出结果；‎ ‎（2）分别讨论和两种情况，由三角函数定义求出角的正弦与余弦，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式.‎ ‎（2）∵角的终边经过点，‎ 因此：（其中为坐标原点），‎ 当时， ∴，，‎ ‎∴；‎ 当时， ∴，，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数幂与对数的化简求值，以及已知角的终边所过的点求三角函数值，熟记指数幂与对数的运算法则，以及三角函数定义即可，属于常考题型.‎ ‎19．已知函数,其中且，满足.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）当，求的值域；‎ ‎（3）若关于的方程在区间上无解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）2, （2）,（3）‎ ‎【解析】（1）由，根据，即可求出结果；‎ ‎（2）先由（1）得令，得，根据二次函数单调性，即可求出结果；‎ ‎（3）根据（2）的结果，由关于的方程在区间上无解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，解得，因为，所以.‎ ‎（2）由（1）知 令，则，‎ 由在上单调递增，‎ 所以当时，，此时， 当时，，此时，‎ 所以的值域为. ‎ ‎（3）因为在区间上无解，所以或；‎ 实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数值求出参数，求指数型函数的值域，以及函数与方程的综合，熟记指数函数与二次函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎20．已知定义在区间上的函数为奇函数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）判断并用定义证明函数在区间上的单调性；‎ ‎（3）解关于的不等式，并写出解集．‎ ‎【答案】（1）0,(2)证明见解析,(3) ‎ ‎【解析】（1）根据奇函数性质，得到，即可得出结果；‎ ‎（2）先设，作差得到，根据题中条件，判断出其正负，结合函数单调性的定义，即可得出结果；‎ ‎（3）根据函数单调性与奇偶性，将不等式化为，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，函数是在区间上的奇函数，所以，‎ 即函数，‎ 经检验符合题意，所以实数的值为. ‎ ‎（2）设，则, ‎ 因为， 则，‎ 所以，即，‎ 所以函数在区间上是增函数.‎ ‎（3）因为，且为奇函数，所以．‎ 又由函数在区间上是增函数，所以， ‎ 解得, ‎ 所以原不等式解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查由函数奇偶性求参数，判定函数单调性，以及由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数单调性与奇偶性的概念即可，属于常考题型.‎ ‎21．已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0.7‎ ‎1.6‎ ‎3.3‎ 为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b．‎ ‎（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；‎ ‎（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．‎ ‎【答案】（1）选择函数模型，函数解析式为；（2）以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.‎ ‎【解析】（1）对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；‎ ‎（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数，‎ 这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．‎ 若选择函数模型，须，这与试验数据在时有意义矛盾，‎ 所以不选择该函数模型．‎ 从而只能选择函数模型，由试验数据得，‎ ‎，即，解得 故所求函数解析式为：．‎ ‎（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元），‎ 则所需时间为（小时），其中，‎ 结合（1）知，‎ 所以当时，．‎ 答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元．‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目.‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当时，求满足的实数的值； ‎ ‎（2）若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求a的值；‎ ‎（3）设，若对任意，任取上，都有，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ,(2)‎ ‎【解析】（1）先由得，根据题意，得到，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）先由题意可得：有且仅有一正解，令，则，只需和图象在只有一个交点，根据函数图像，即可得出结果；‎ ‎（3）由题意得到，根据函数单调性的定义，判断在上单调递减，求出函数在区间上的最大值与最小值，得到对任意 恒成立,根据二次函数的性质，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 由题意可得，得，解得；‎ ‎（2）方程有且仅有一解， 等价于有且仅有一正解，即有且仅有一正解，‎ 令，则 ，作出函数的大致图像如下，‎ 由图像可得：或或，和图象在只有一个交点，满足条件,‎ 综上，或. ‎ ‎（3）任取上，都有，只需要, ‎ 当时，，,‎ 所以在上单调递减，‎ 函数在区间上的最大值与最小值分别为，，‎ 所以 即对任意 恒成立, ‎ 因为， 所以函数在区间上单调递增，‎ 所以时，y有最小值，由，得 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数与方程的综合，熟记函数单调性的定义，灵活运用数形结合，以及转化与化归的思想，即可求解，属于常考题型.‎