高考数学知识点大串讲(5)

高考数学知识点大串讲(5)

2013 年高考数学知识点大串讲（5） 必考点五 闭区间上二次函数的最值问题精讲 知识点导航 二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。 二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定 或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。 一. 定二次函数在定区间上的最值 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数 在定区间上的最值”。 例 1. 函数 y x x  2 4 2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数 y x x x2 242 22( ) 是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对 称轴方程是 x2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0， 3］上，如图 1 所示。函数的最大值为 f( )2 2 ，最小值为 f( )0 2 。 图 1 例 2. 已知 2 32x x ，求函数 f x x x()  2 1的最值。 高考名师 章晓峰 主编：章晓峰（高考教学研究组教研员） 副主编：林晓玲（中学优秀数学教师） 董洋洋（一线数学教师） 编委会成员：（排名不分先后） 刘思妍 林妙可 毛 檠 赵晓玲 龚 晨 孙萌萌 姜 芝 胡晶晶 童 玲 麦 罄 韩 俊 杨程鹏 夏小玉 范晓峰 解：由已知 2 32x x ，可得 0 3 2 x ，即函数 f x( ) 是定义在区间 0 3 2 ，    上的二 次函数。将二次函数配方得 f x x( )     1 2 3 4 2 ，其对称轴方程 x   1 2 ，顶点坐标    1 2 3 4 ， ，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间 0 3 2 ，    内，如图 2 所示。 函数 的最小值为 f( )0 1 ，最大值为 f 3 2 19 4      。 图 2 解后反思：已知二次函数 f x ax bx c()  2 （不妨设 a0），它的图象是顶点为     b a ac b a2 4 4 2 ， 、对称轴为 x b a  2 、开口向上的抛物线。由数形结合可得在[m， n]上 的最大值或最小值： （1）当   b a m n2 ， 时， 的最小值是 f b a ac b a f x     2 4 4 2 ，()的最大值 是 f m f n( ) ( )、 中的较大者。 （2）当   b a m n2 ， 时 若  b a m2 ，由 在 m n， 上是增函数 则 的最小值是 f m( ) ，最大值是 f n( ) 若 n b a  2 ，由 f x( ) 在 m n， 上是减函数 则 的最大值是 f m( ) ，最小值是 f n( ) 二. 动二次函数在定区间上的最值 二次函数随着参数 a 的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我 们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。 例 3. 已知 x2 1 ，且 a20，求函数 f x x ax()  2 3的最值。 解：由已知有  1 1 2x a， ，于是函数 是定义在区间 1 1， 上的二次函 数，将 配方得： f x x a a( )      2 3 4 2 2 二次函数 的对称轴方程是 x a  2 顶点坐标为     a a 2 3 4 2 ， ，图象开口向上 由 a2可得 x a  2 1，显然其顶点横坐标在区间 的左侧或左端点上。 函数的最小值是 f a( )  1 4 ，最大值是 f a()1 4  。 图 3 例 4. 已知二次函数 fx ax ax a()  2 24 1在区间 4 1， 上的最大值为 5，求实 数 a 的值。 解：将二次函数配方得 fxax a a() ( ) 2 412 2 ，其对称轴方程为 x2， 顶点坐标为 ( )  2 4 12，a a ，图象开口方向由 a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间 上。 若 a0，函数图象开口向下，如图 4 所示，当 时，函数取得最大值 5 即 f a a( )  2 4 152 解得 a 2 10 故 a a 210 210( )舍去 图 4 若 a0时，函数图象开口向上，如图 5 所示，当 x1时，函数取得最大值 5 即 f aa()1 5 152   解得 a a 1 6或 故 a a 1 6( )舍去 图 5 综上讨论，函数 f x( ) 在区间 4 1， 上取得最大值 5 时， a a 2 10 1或 解后反思：例 3 中，二次函数的对称轴是随参数 a 变化的，但图象开口方向是固定的； 例 4 中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数 a 变化的。 三. 定二次函数在动区间上的最值 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数 t 而变化的，我们称这种情况是“定 函数在动区间上的最值”。 例 5. 如果函数 f x x() ( )  1 12 定义在区间 t t，1 上，求 的最小值。 解：函数 ，其对称轴方程为 x1，顶点坐标为（1，1），图象开 口向上。 如图 6 所示，若顶点横坐标在区间 左侧时，有1t。当 x t 时，函数取 得最小值 fx ft t() ()( )min 112 。 图 6 如图 7 所示，若顶点横坐标在区间 t t，1 上时，有 t t1 1，即 0 1t 。当 x1时，函数取得最小值 fx f() ()min 11。 图 7 如图 8 所示，若顶点横坐标在区间 t t，1 右侧时，有 t11，即 t0。当 x t1 时，函数取得最小值 fx ft t() ( )min 1 12 综上讨论， f x t t t t t ( ) ( ) , ,min            1 1 1 1 0 1 1 0 2 2 图 8 例 6. 设函数 f x x x()  2 4 4的定义域为 t t 2 1， ，对任意 t R ，求函数 f x( ) 的最小值( )t 的解析式。 解：将二次函数配方得： fxx x x() ( )2 244 28 其对称轴方程为 x2，顶点坐标为 ( )2 8， ，图象开口向上 若顶点横坐标在区间 t t 2 1， 左侧，则 2 2t ，即 t4。当 x t2时，函 数取得最小值 ft t t t( )( )2 48 882 2 若顶点横坐标在区间 上，则 t t22 1，即 3 4t 。当 x2时， 函数取得最小值 f( )2 8 若顶点横坐标在区间 右侧，则 t12，即 t3。当 x t1时，函 数取得最小值 ft t t t( )( )1 38 612 2 综上讨论，得( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t t              2 2 8 8 4 8 3 4 6 1 3 四. 动二次函数在动区间上的最值 二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函 数在动区间上的最值”。 例 7. 已知 y axaa2 4 0  ( )( )，且当 x a 时， S x y  ( )32 2的最小值为 4， 求参数 a 的值。 解：将 y ax a2 4 ( )代入 S 中，得   S x a x a x a x a x a a a               ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 2 3 2 9 4 3 2 12 8 2 2 2 2 2 则 S 是 x 的二次函数，其定义域为  x a ， ，对称轴方程为 x a32，顶点 坐标为 ( )32 12 82 a a a， ，图象开口向上。 若 32 aa，即 0 1a 则当 x a32时， S a a最小   12 8 42 此时， a1，或 a  1 2 若 32 aa，即 a1 则当 x a 时，  S a a aa最小  ( )32 12 842 2 此时， a5，或 （因 a a 1 1， 舍去） 综上讨论，参变数 a 的取值为 ，或 ，或 例 8. 已知 ( ) ( )x y a a   1 4 0 2 2 2 ，且当 x a12时， P x y  ( )42 2的最 小值为 1，求参变数 a 的值。 解：将 y x a2 2 21 4  ( ) 代入 P 中，得 P x x a x a              ( ) ( )4 1 4 5 4 17 5 9 5 2 2 2 2 则 P 是 x 的二次函数，其定义域为  x a 12， ，对称轴方程为 x  17 5 ，顶点 坐标为 17 5 9 5 2，    a ，图象开口向上。 若 17 5 1 2  a ，即 a  6 5 则当 x  17 5 时， P a最小   9 5 12 此时， a  2 5 若 17 5 1 2  a ，即 a  6 5 则当 x a12时， P a a最小        5 412 17 5 9 5 12 此时， a2，或 a1（因 a a 6 5 1， 舍去） 综上讨论， a a 2 5 2，或 解后反思：例 7 中，二次函数的对称轴是变化的；例 8 中，二次函数的对称轴是固定 的。 另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参 数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处 取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。