2018届高三数学一轮复习： 第2章 第4节 二次函数与幂函数

2018届高三数学一轮复习： 第2章 第4节 二次函数与幂函数

第四节　二次函数与幂函数 ‎[考纲传真]　1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，‎ y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，‎ 能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．‎ ‎1．二次函数 ‎(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；‎ 顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；‎ 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．‎ ‎(2)二次函数的图象与性质 ‎2.幂函数 ‎(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α 是常数．‎ ‎(2)五种常见幂函数的图象与性质 ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(　　)‎ ‎(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)‎ ‎(3)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点(0,0)．(　　)‎ ‎(4)当n＞0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B.± C．± D.9‎ D　[由题意可知4α＝22α＝2，所以α＝.‎ 所以f(x)＝x＝，‎ 故f(m)＝＝3⇒m＝9.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. C　[由题意知即得a＞.]‎ ‎4．(2017·贵阳适应性考试(二))二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)零点的个数是(　　)‎ A．0　　　 B.1‎ C.2　　　 D.4‎ C　[因为判别式Δ＝b2＋24＞0，所以原二次函数有2个零点，故选C.]‎ ‎5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－2,0)，B(4,0)且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是________. ‎ ‎【导学号：01772037】‎ y＝－x2＋2x＋8　[设y＝a(x＋2)(x－4)，对称轴为x＝1，‎ 当x＝1时，ymax＝－‎9a＝9，∴a＝－1，‎ ‎ ∴y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋2x＋8.]‎ 求二次函数的解析式 ‎　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．‎ ‎ 【导学号：01772038】‎ ‎[解]　法一(利用一般式)：‎ 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 2分 由题意得8分 解得 ‎∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 12分 法二(利用顶点式)：‎ 设f(x)＝a(x－m)2＋n.‎ ‎∵f(2)＝f(－1)，‎ ‎∴抛物线的图象的对称轴为x＝＝. 3分 ‎∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.‎ ‎∴y＝f(x)＝a2＋8. 8分 ‎∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，‎ ‎∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7. 12分 法三(利用零点式)：‎ 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，2分 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，‎ 即f(x)＝ax2－ax－‎2a－1. 6分 又函数的最大值是8，即＝8，‎ 解得a＝－4，‎ ‎∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 12分 ‎[规律方法]　用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下 ‎[变式训练1]　已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．‎ ‎[解]　∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，‎ ‎∴f(x)的对称轴为x＝2. 2分 又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，‎ ‎∴f(x)＝0的两根为1和3. 6分 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．‎ 又∵f(x)的图象过点(4,3)，‎ ‎∴‎3a＝3，a＝1. 10分 ‎∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，‎ 即f(x)＝x2－4x＋3. 12分 二次函数的图象与性质 ‎☞角度1　二次函数图象的识别及应用 ‎　(1)设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)‎ A　　 　　　　　B　　　　　　　C　　　　　D ‎(2)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．‎ ‎(1)D　(2)　[(1)由A，C，D知，f(0)＝c＜0.‎ ‎∵abc＞0，∴ab＜0，∴对称轴x＝－＞0，知A，C错误，D符合要求．由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．‎ ‎(2)作出二次函数f(x)的图象，对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0，则有 即解得－＜m＜0.]‎ ‎☞角度2　二次函数的最值问题 ‎　(1)(2017·广西一模)若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为(　　)‎ A．－4　　　　　　 B.－3‎ C．－1 D.0‎ ‎(2)(2017·安徽皖北第一次联考)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上的最大值为2，则a的值为(　　) ‎ ‎【导学号：01772039】‎ A．2 B.－1或－3‎ C．2或－3 D.－1或2‎ ‎(1)A　(2)D　[(1)xlog52≥－1⇒log52x≥log55－1⇒2x≥，‎ 令t＝2x，则有y＝t2－2t－3＝(t－1)2－4，‎ 当t＝1≥，即x＝0时，f(x)取得最小值－4.故选A.‎ ‎(2)函数f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1图象的对称轴为x＝a，且开口向下，分三种情况讨论如下：‎ ‎①当a≤0时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是减函数，‎ ‎∴f(x)max＝f(0)＝1－a，由1－a＝2，得a＝－1.‎ ‎②当0＜a≤1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0，a]上是增函数，在[a,1]上是减函数，‎ ‎∴f(x)max＝f(a)＝－a2＋‎2a2＋1－a＝a2－a＋1，‎ 由a2－a＋1＝2，解得a＝或a＝.∵0＜a≤1，∴两个值都不满足，舍去．‎ ‎③当a＞1时，函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在区间[0,1]上是增函数，‎ ‎∴f(x)max＝f(1)＝－1＋‎2a＋1－a＝2，∴a＝2.‎ 综上可知，a＝－1或a＝2.]‎ ‎☞角度3　二次函数中的恒成立问题 ‎　已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈‎ ‎[－1,1]上恒小于零，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　由题意知2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立．‎ 当x＝0时，－3＜0，适合；‎ 当x≠0时，a＜2－. 4分 因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，‎ 当x＝1时，右边取最小值，所以a＜. 10分 综上，实数a的取值范围是. 12分 ‎[规律方法]　1.二次函数最值问题应抓住“三点一轴”数形结合求解，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，用函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．‎ ‎2．由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a≥f(x)⇔a≥f(x)max，a≤f(x)⇔a≤f(x)min.‎ 幂函数的图象与性质 ‎　(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)‎ A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　D ‎(2)已知幂函数f(x)＝xm2－‎2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则m的值为________．‎ ‎(1)C　(2)1　[(1)令f(x)＝xα，则4α＝2，∴α＝，‎ ‎∴f(x)＝x.‎ ‎(2)∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，‎ ‎∴m2－‎2m－3＜0，解得－1＜m＜3.‎ 又m∈N*，∴m＝1或m＝2.‎ 由于f(x)的图象关于y轴对称．‎ ‎∴m2－‎2m－3的值应为偶数，‎ 又当m＝2时，m2－‎2m－3为奇数，‎ ‎∴m＝2舍去．因此m＝1.]‎ ‎[规律方法]　1.幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．‎ ‎2．若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．‎ ‎3．若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α＞0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α＜0.‎ ‎[变式训练2]　(1)设a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是(　　)‎ A．a＞c＞b　　　　　 B.c＞a＞b C．a＞b＞c D.b＞a＞c ‎(2)若(a＋1) ＜(3－‎2a) ，则实数a的取值范围是________．‎ ‎(1)D　(2)　[(1)a＝0.5＝0.25，b＝0.9，所以根据幂函数的性质知b＞a＞0，而c＝log50.3＜0，所以b＞a＞c.‎ ‎(2)易知函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以解得－1≤a＜.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．二次函数的三种形式的选法 ‎(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．‎ ‎(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．‎ ‎(3)已知二次函数与x轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．‎ ‎2．研究二次函数的性质要注意 ‎(1)结合图象分析；‎ ‎(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．‎ ‎3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的方法 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．‎ ‎4．幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征 α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；‎ α＜0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，若是二次函数，就隐含着a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要分a＝0，a≠0两种情况讨论．‎ ‎2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．‎