2012福州3月份质检理数试卷(2)

2012福州3月份质检理数试卷(2)

福建省福州市2012届高三3月质量检查 数 学 试 题（理）‎ ‎（完卷时间：120分钟；满分：150分）‎ 第Ⅰ卷（选择题共50分）‎ 一、选择题【本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） ‎ ‎1．抛物线y2=4x的准线方程为 ‎ A．x=－1 B．x=‎1 ‎ ‎ ‎ C．y=－1 D．y=1 ‎ ‎2．命题“x∈，ex > ‎0”‎的否定是 ‎ A．x∈，ex ≤0 ‎ ‎ B．x∈，ex ≤0 ‎ ‎ C．x∈，ex > 0 ‎ ‎ D．x∈，ex < 0‎ ‎3．如果执行如图所示的框图，输入如下四个复数：‎ ‎ ①z=i； ②z=－+i；‎ ‎ ③z=+i； ④z=－i ． ‎ ‎ 那么输出的复数是 ‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎4．用m、n表示两条不同的直线，仪表示平面，则下列命题正确的是 ‎ A．若m∥n，nα，则m∥α B．若m∥α，nα，则m∥n ‎ C．若m⊥n，nα，则m⊥α D．若m⊥α，nα，则m⊥n ‎5．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ 2 ），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在△ABC中．点O在线段BC的延长线上。且与点C不重合，若=x+（1－x），则实数x的取值范围是 ‎ A．（－∞，0） B．（0，+∞） C．（－1，0） D．（0，1）‎ A B C D ‎7．如图所示2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中 的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有 ‎ A．192种 B．128种 C．96种 D．12种 ‎8．函数f（x）=2cos（ωx+φ）（ω>0，0<φ<π）为奇函数，该函数的部分图象如图所示，点A、B分别为该部分图象的最高点与最低点，且这两点间的距离为4，则函数f（x ‎）图象的一条对称轴的方程为 ‎ A．x= B．x= ‎ ‎ C．x=4 D．x=2‎ ‎9．过双曲线=1（a>0，b>0）的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若T为线段FP的中点，则该双曲线的渐近线方程为 ‎ A．x±y=0 B．2x±y=‎0 ‎ C．4x±y=0 D．x±2y=0‎ ‎10．若将有理数集Q分成两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称（M，N）为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割（M，N） ，下列选项中，不可能成立的是 ‎ A．M没有最大元素，N有一个最小元素 B．M没有最大元素，N也没有最小元素 ‎ C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M有一个最大元素，N没有最小元素 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）‎ ‎11．sin47°cosl3°+sinl3°sin43°的值等于__________‎ l2．函数f（x）=x3+ax（x∈）在x=l处有极值，则曲线y= f（x）在原点处的切线方程是_____‎ ‎13．在约束条件下，目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的最大值为1，则ab的最大值等于_______‎ ‎14．设函数f（x）= （x∈Z）．给出以下三个判断：‎ ‎ ①f（x）为偶函数；②f（x）为周期函数；③f（x+1）+ f（x）=1．‎ ‎ 其中正确判断的序号是________（填写所有正确判断的序号）．‎ ‎15．一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知图15是“优美图”，则点A、B与边a所对应的三个数分别为___________‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ ‎ 在数列{a n}中，a1=2，点（a n，a n+1）（n∈N*）在直线y=2x上．‎ ‎ （Ⅰ）求数列{ a n }的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）若bn=log2 an，求数列的前n项和Tn．‎ l7．（本小题满分13分）‎ ‎ 假设某班级教室共有4扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为0．5，记此时教室里敞开的窗户个数为X ． ‎ ‎ （Ⅰ）求X的分布列；‎ ‎ （Ⅱ）若此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变．记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为y，求y的数学期望．‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎ 如图，椭圆 （a>b>0）的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y=－1上，且椭圆的离心率e =．‎ ‎ （Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN．‎ ‎19．（本小题满分l 4分）‎ ‎ 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFE D．‎ ‎ （Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；‎ ‎ （Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：‎ ‎ （i）求四棱锥P-BDEF的体积；‎ ‎ （ii）若点Q满足=λ （λ >0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于?并说明理由．‎ ‎ 第19题图 ‎20．（本小题满分1 3分）‎ ‎ 如图①，一条宽为l km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是‎2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元／km、4万元／km．‎ ‎ （Ⅰ）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆仰，需要改造，旧电缆的改造费用是0．5万元／km．现决定利用旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．‎ ‎ （Ⅱ）如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、E B．若∠DCE=θ （0≤θ≤），试用θ表示出总施工费用y（万元）的解析式，并求y的最小值．‎ 第20题图 ‎21．本题有（1）、（2）、（3）三个选做题，每题7分，请考生任选2题作答，满分l4分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填人括号中．‎ ‎ （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换 ‎ 利用矩阵解二元一次方程组．‎ ‎ （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=1．圆的参数方程为（θ为参数，r >0），若直线l与圆C相切，求r的值．‎ ‎ （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知a2+b2+c2=1（a，b，c∈），求a+b+c的最大值．‎ 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）‎ ‎1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．D 9．B 10．C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）‎ ‎11． 12． 13． 14．①②③ 15．3、6、3‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分．）‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由已知得，所以 又，‎ 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 3分 所以． 5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以 7分 所以, 10分 所以 ‎． 13分 ‎17．（本小题满分13分） ‎ 解：（Ⅰ）∵的所有可能取值为0，1，2，3，4，， 1分 ‎∴，，‎ ‎，，‎ ‎， 6分 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ 7分 ‎（Ⅱ）的所有可能取值为3，4，则 8分 ‎， 9分 ‎， 11分 的期望值．‎ 答：的期望值等于． 13分 ‎18．（本小题满分13分） ‎ 解：（Ⅰ）依题意，得． 1分 ‎∵，，∴． 3分 ‎∴椭圆的标准方程为． 4分 ‎（Ⅱ）（法一）‎ 证明：设，，‎ 则，且．‎ ‎∵为线段中点， ∴． 5分 又，∴直线的方程为．‎ 令，得． 8分 又，为线段的中点，∴． 9分 ‎∴． 10分 ‎∴‎ ‎=． 12分 ‎∴． 13分 ‎（法二）同（法一）得： ，． 9分 当时，，‎ 此时，‎ ‎∴，不存在，∴．‎ ‎ 10分 当时，，‎ ‎，‎ ‎∵，∴ 12分 综上得． 13分 ‎19．（本小题满分14分） ‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎∵　菱形的对角线互相垂直，‎ ‎∴，∴， 1分 ‎∵ ，∴． ‎ ‎∵　平面⊥平面，平面平面，‎ 且平面，‎ ‎∴　平面, 2分 ‎∵ 平面，‎ ‎∴　． 3分 ‎ ‎∵ ，‎ ‎∴　平面． 4分 ‎（Ⅱ）如图，以为原点，建立空间直角坐标系． 5分 ‎（ⅰ）设 ‎ 因为，所以为等边三角形，‎ 故，．‎ 又设，则，．‎ 所以，，，‎ 故 ， 6分 所以，‎ 当时，．此时， 7分 由（Ⅰ）知，平面 所以． 8分 ‎（ⅱ）设点的坐标为，‎ 由（i）知，，则，，，．‎ 所以，， 9分 ‎∵，　‎ ‎∴． ‎ ‎∴，‎ ‎∴． 10分 设平面的法向量为，则．‎ ‎∵，，∴　，‎ 取，解得：， 所以． 11分 设直线与平面所成的角， ‎ ‎∴‎ ‎． 12分 又∵∴． 13分 ‎∵，∴．‎ 因此直线与平面所成的角大于，即结论成立． 14分 ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）由已知可得为等边三角形．‎ 因为，所以水下电缆的最短线路为．‎ 过作于E，可知地下电缆的最短线路为、． 3分 又，‎ 故该方案的总费用为 ‎ ‎ ‎ ‎（万元） …………6分 ‎（Ⅱ）因为 所以． 7分 则， 9分 令则 ， 10分 因为，所以，‎ 记 当，即≤时，‎ 当，即<≤时， ，‎ 所以，从而， 12分 此时，‎ 因此施工总费用的最小值为（）万元，其中． 13分 ‎21．（本小题满分7分） 选修4-2，矩阵与变换 解：方程组可写为， 2分 系数行列式为，方程组有唯一解． ‎ 利用矩阵求逆公式得， 5分 因此原方程组的解为，即 7分 ‎（2）（本小题满分7分） 选修4-4：坐标系与参数方程 解：∵直线的极坐标方程为，‎ ‎ ∴直线的直角坐标方程为， 2分 又圆的普通方程为， ‎ 所以圆心为，半径为． 4分 因为圆心到直线的距离， 6分 又因为直线与圆相切，所以． 7分 ‎（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 ‎（法一）解：∵ ，，，,‎ ‎∴ ． 5分 当且仅当时，取得最大值． 7分 ‎（法二）解：∵，， ‎ ‎∴ ‎ ‎ 3分 ‎∵ ,‎ ‎∴，当且仅当时等号成立， 6分 ‎∴的最大值为． 7分