【数学】2019届一轮复习人教B版第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
课前双击巩固
1.命题
(1)命题概念:在数学中把用语言、符号或式子表达的,能够判断 的陈述句叫作命题.其中 的语句叫作真命题, 的语句叫作假命题.
(2)四种命题及其相互关系
图1-2-1
注:若两个命题互为逆否命题,则它们有相同的真假性.
2.充分条件、必要条件与充要条件
(1)如果p⇒q,则p是q的 条件;
(2)如果q⇒p,则p是q的 条件;
(3)如果既有p⇒q又有q⇒p,记作 p⇔q,则p是q的 条件.
常用结论
1.充要条件的两个结论
(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;
(2)若p是q的充分不必要条件,则q是p的充分不必要条件.
2.充分、必要条件与集合的关系
使p成立的对象构成的集合为A,使q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件
A⊆B
p是q的必要条件
B⊆A
p是q的充分不必要条件
A B
p是q的必要不充分条件
BA
p是q的充要条件
A=B
题组一 常识题
1.[教材改编] 对于下列语句:①垂直于同一直线的两条直线必平行吗?②作△ABC∽△ A'B'C';③x2+2x-3<0;④四边形的内角和是360°.其中是命题的是 .(填序号)
2.[教材改编] 下面有4个命题:①集合N中最小的数是1;②若-a不属于N,则a属于N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④x2+1=2x的解可表示为.其中真命题的个数为 .
3.[教材改编] 命题“若整数a不能被2整除,则a是奇数”的逆否命题是 .
4.[教材改编] 已知集合M={x|1
0,则a>0”,则它的否命题是 .
7.若命题“ax2-2ax-3≤0成立”是真命题,则实数a的取值范围是 .
8.已知p是r的充分不必要条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,那么p是q的 条件.
课堂考点探究
探究点一 四种命题及其相互关系
1 (1)已知命题α:如果x<3,那么x<5,命题β:如果x≥3,那么x≥5,命题γ:如果x≥5,那么x≥3.关于这三个命题之间的关系,下列三种说法正确的是 ( )
①命题α是命题β的否命题,且命题γ是命题β的逆命题;
②命题α是命题β的逆命题,且命题γ是命题β的否命题;
③命题β是命题α的否命题,且命题γ是命题α的逆否命题.
A.①③ B.②
C.②③ D.①②③
(2) 给出以下五个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题;
④若ab是正整数,则a,b都是正整数;
⑤若f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)- g(x)单调递减.
其中为真命题的是 .(写出所有真命题的序号)
[总结反思] (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:
①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;
②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.
(3)当一个命题不易直接判断真假时,根据“互为逆否的命题同真同假”的结论,可转化为判断与其等价的命题的真假.
式题 (1)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是 ( )
A.若a,b,c成等比数列,则b2≠ac
B.若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac
C.若b2=ac,则a,b,c成等比数列
D.若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列
(2)[2017·枣庄二模] 已知命题“若x>1,则2x<3x”,则在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
探究点二 充分﹑必要条件的判断
2 (1)[2017·北京卷] 设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2017·天津卷] 设θ∈R,则“θ-<”是“sin θ<”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
[总结反思] 充要条件的三种判断方法:
(1)定义法.根据p⇒q,q⇒p进行判断.
(2)集合法.根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法.根据一个命题与其逆否命题的等价性,把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断,这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.
式题 (1)对任意的实数x,若[x]表示不超过x的最大整数,则“-12m2-3”是“-1b成立的必要而不充分条件是 ( )
A.a-1>b B.a+1>b
C.|a|>|b| D.a3>b3
(2)“直线x-y- =0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )
A.-1≤ <3 B.-1≤ ≤3
C.0< <3 D. <-1或 >3