2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第五章 第1节 数列的概念与简单表示法

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第五章 第1节 数列的概念与简单表示法

www.ks5u.com 多维层次练28‎ ‎[A级　基础巩固]‎ ‎1．已知数列，，，，，…，则5是它的(　　)‎ A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项 解析：数列，，，，，…中的各项可变形为，，，，，…，‎ 所以通项公式为an＝＝，‎ 令＝5，得n＝21.‎ 答案：C ‎2．记Sn为数列{an}的前n项和．“任意正整数n，均有an>0”是“{Sn}是递增数列”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：因为“an>0”⇒“数列{Sn}是递增数列”，‎ 所以“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分条件．‎ 如数列{an}为－1，1，3，5，7，9，…，显然数列{Sn}是递增数列，但是an不一定大于零，还有可能小于零，‎ 所以“数列{Sn}是递增数列”不能推出“an>0”，‎ 所以“an>0”不是“数列{Sn}是递增数列”的必要条件．‎ 所以“an>0”是“数列{Sn}是递增数列”的充分不必要条件．‎ 答案：A ‎3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝(　　)‎ A．31 B．42 ‎ C．37 D．47‎ 解析：由题意，得Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，故数列{Sn＋1}为等比数列，其首项为3，公比为2，则S5＋1＝3×24，所以S5＝47.‎ 答案：D ‎4．在数列{an}中，a1＝2，＝＋ln，则an等于(　　)‎ A．2＋nln n B．2n＋(n－1)ln n C．2n＋nln n D．1＋n＋nln n 解析：由题意得－＝ln(n＋1)－ln n，n分别用1，2，3，…，(n－1)取代，累加得－＝ln n－ln 1＝ln n，＝2＋ln n，所以an＝2n＋nln n.‎ 答案：C ‎5．(2020·广东广雅中学模拟)在数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则an的表达式为(　　)‎ A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ 解析：(1)数列{an}中，由a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，‎ 可得＝3＋，‎ 所以数列是首项为，公差为3的等差数列，‎ 所以＝＋3(n－1)＝.‎ 可得an＝(n∈N*)．‎ 答案：B ‎6．(2019·上海卷)已知数列{an}前n项和为Sn，且满足Sn＋an＝2，则S5＝________．‎ 解析：n＝1时，S1＋a1＝2，所以a1＝1.‎ n≥2时，由Sn＋an＝2得Sn－1＋an－1＝2，‎ 两式相减得an＝an－1(n≥2)，‎ 所以{an}是以1为首项，为公比的等比数列，‎ 所以S5＝＝.‎ 答案： ‎7．(2020·河北省级示范性高中联考)数列{an}满足a1＝3，且对于任意的n∈N*都有an＋1－an＝n＋2，则a39＝________．‎ 解析：因为an＋1－an＝n＋2，‎ 所以a2－a1＝3，a3－a2＝4，a4－a3＝5，…，‎ an－an－1＝n＋1(n≥2)，‎ 上面(n－1)个式子左右两边分别相加得an－a1＝(n≥2)，即an＝(n≥2)，‎ 当n＝1时，a1＝3适合上式，‎ 所以an＝，n∈N*，所以a39＝＝820.‎ 答案：820‎ ‎8．在数列{an}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N*，都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5＝________．‎ 解析：由题意可知，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，‎ 所以an＝(n≥2)，‎ 所以a3＋a5＝＋＝.‎ 答案： ‎9．(2020·天河模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和，且a1<2，an>0，6Sn＝a＋3an＋2，n∈N*.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若∀n∈N*，bn＝(－1)na，求数列{bn}的前2n项的和T2n.‎ 解：(1)当n＝1时，6a1＝a＋3a1＋2，且a1<2，解得a1＝1.‎ 当n≥2时，6an＝6Sn－6Sn－1＝a＋3an＋2－(a＋3an－1＋2)．‎ 化简得(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，‎ 因为an>0，所以an－an－1＝3，‎ 所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，‎ 所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.‎ ‎(2)bn＝(－1)na＝(－1)n(3n－2)2.‎ 所以b2n－1＋b2n＝－(6n－5)2＋(6n－2)2＝36n－21.‎ 所以数列{bn}的前2n项的和 T2n＝36(1＋2＋…＋n)－21n＝36×－21n＝18n2－3n.‎ ‎10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.‎ ‎(1)求a2，a3；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ 解：(1)由题意得a2＝，a3＝.‎ ‎(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得 ‎2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．‎ 因为{an}的各项都为正数，所以＝.‎ 故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.‎ ‎[B级　能力提升]‎ ‎11．数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)‎ A. B．2 ‎ C. D. 解析：由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，‎ 则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，‎ 则＝＝－，‎ 则＋＋…＋＝2×[＋＋…＋]＝2×＝ ‎.‎ 答案：C ‎12．(一题多解)(2020·湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(约公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2 019]时，符合条件的a共有________个．‎ 解析：法一　由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，则3m＝5n＋1，m，n∈N，‎ 当m＝5k时，n不存在；当m＝5k＋1时，n不存在；‎ 当m＝5k＋2时，n＝3k＋1，满足题意；‎ 当m＝5k＋3时，n不存在；‎ 当m＝5k＋4时，n不存在，其中k∈N.‎ 故2≤a＝15k＋8≤2 019，解得－≤k≤，故k＝0，1，2，…，134，共135个，即符合条件的a共有135个．故答案为135.‎ 法二　一个整数除以三余二，这个整数可以为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…，‎ 一个整数除以五余三，这个整数可以为3，8，13，18，23，28，33，38，…，则同时除以三余二、除以五余三的整数为8，23，38，…，构成首项为8，公差为15的等差数列，通项公式为an＝8＋15(n－1)＝15n－7，由15n－7≤2 019得15n≤2 026，n≤135，因为n∈N*，所以n＝1，2，3，…，135，共有135个．‎ 答案：135‎ ‎13．(一题多解)已知数列{an}中，a1＝3，且n(n＋1)(an－an＋1)＝2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 解：(1)法一　由题意知，an－an＋1＝＝2，‎ 所以n≥2时，an－1－an＝2，an－2－an－1＝‎ ‎2，…，a1－a2＝2，‎ 以上(n－1)个式子左右两边分别相加得a1－an＝2，‎ 又a1＝3，所以an＝1＋(n≥2)．‎ 又a1＝3符合上式，故an＝1＋(n∈N*)．‎ 法二　由题意知，an－an＋1＝＝2，‎ 所以an＋1－＝an－，‎ 所以an－＝an－1－＝…＝a1－＝3－2＝1，‎ 所以an＝1＋.‎ ‎(2)法一　由(1)知，an＝1＋＝，‎ 所以a1a2…an＝××…××＝，‎ 所以bn＝＝，‎ 所以Sn＝＋＋＋…＋＋，‎ Sn＝＋＋＋…＋＋，‎ 两式相减得Sn＝＋－＝‎ ＋－＝1－－＝1－，‎ 故Sn＝2－.‎ 法二　由(1)知an＝1＋＝，‎ 所以a1·a2·…·an＝××…××＝‎ ，‎ 所以bn＝＝＝－，‎ 所以Sn＝＋＋…＋＝‎ ‎2－.‎ ‎[C级　素养升华]‎ ‎14．(多选题)已知数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则下列数字在数列{an}中的是(　　)‎ A．14 B．18 ‎ C．20 D．32‎ 解析：由题意知，数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝2(n－1)＋5，n>1，‎ 两式相减得，＝2n＋5－2(n－1)－5＝2，‎ 所以an＝2n＋1，n>1，n∈N*.‎ 当n＝1时，＝7，所以a1＝14.‎ 综上可知，数列{an}的通项公式为an＝ 答案：AD