数学理卷·2018届山西省应县一中高二下学期3月月考（2017-03）
应 县 一 中 高 二 年 级 月 考 六
数 学 试 题（理） 2017.3
时间：120分钟 满分：150分 命题人：杨绪立
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.）
1．已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；②若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
③若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数．其中正确的命题有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
2．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z等于( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
3．欲证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2 B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2 D．(－－)2<(－)2
4．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a
y或x0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab
的最大值等于( )
A．2 B．3
C．6 D．9
7．曲线y＝sin x，y＝cos x与直线x＝0，x＝所围成的平面区域的面积为( )
A．(sin x－cos x)dx B．2(sin x－cos x)dx
C．(cos x－sin x)dx D．2(cos x－sin x)dx
8．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
9．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )
A．7,6,1,4 B．6,4,1,7
C．4,6,1,7 D．1,6,4,7
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－)，∪(，＋∞) B．(－，)
C．(－∞，－]∪[，＋∞) D．[－，]
11．已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，
x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是( )
A．[－，3] B．[，6]
C．[3,12] D．[－，12]
12．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远
(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳
(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a－1
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )
A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33＝________.
14．直线x＝，x＝，y＝0及曲线y＝cos x所围成图形的面积________．
15．观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝________.
16、已知函数是定义在R上的奇函数,,,则不等式的解集是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知四边形ABCD是平行四边形，A、B、D三点在复平面内对应的复数分别是试求点C对应的复数.
18．已知a>0，b>0用分析法证明：≥.
19、已知,函数,若.
(1)求的值并求曲线在点处的切线方程;
(2)设,求在上的最大值与最小值.
20．用数学归纳法证明：
当n≥2，n∈N*时，(1－)(1－)(1－)…(1－)＝.
21．已知函数f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，
f(x)取得极值－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的单调区间和极大值；
(3)证明：对任意x1、x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
22．已知函数．
（Ⅰ）若为定义域上的单调增函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值；
（Ⅲ）当时，且，证明：.
高二月考六 理数答案2017.3
一．选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
D
C
B
A
D
D
D
B
D
C
B
二．填空题.
13．3 14.2 15.1－ 16.
三、解答题
17 解：∵A、B、D对应的复数分别为2+3i，5-i，4+i
∴A（2，3） B（5，-1） D（4，1）
∴
由向量的平行四边形法则知：
∴
∴ ∴点C对应复数为.
18．[证明] 因为a>0，b>0，
要证≥，
只要证，(a＋b)2≥4ab，
只要证(a＋b)2－4ab≥0，
即证a2－2ab＋b2≥0，
而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，
故≥成立．
19、 解:(1),由得,所以;
当时,,,又,
所以曲线在处的切线方程为,即;
(2)由(1)得,
又,,,
∴在上有最大值1,有最小值.
20．证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立．
(2)假设当n＝k(n≥2，n∈N*)时等式成立，
即(1－)(1－)(1－)…(1－)＝，
那么当n＝k＋1时，
(1－)(1－)(1－)…(1－)[1－]
＝·[1－]
＝＝
＝.
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*，等式都成立．
21．[解析] (1)∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d，∴d＝－d，
∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)．
∴f(x)＝ax3＋cx，f ′(x)＝3ax2＋c，
又当x＝1时，f(x)取得极值－2，
∴即解得
∴f(x)＝x3－3x.
(2)f ′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f ′(x)＝0，得x＝±1，
当－11时，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；
∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．
因此，f(x)在x＝－1处取得极大值，且极大值为f(－1)＝2.
(3)由(2)知，函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，且f(x)在区间[－1,1]上的最大值为M＝f(－1)＝2.最小值为m＝f(1)＝－2.∴对任意x1、x2∈(－1,1)，
|f(x1)－f(x2)|
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