数学理·辽宁省大连渤海高级中学2017届高三上学期期中考试数学（理）试题+Word版含解析

数学理·辽宁省大连渤海高级中学2017届高三上学期期中考试数学（理）试题+Word版含解析

渤海高中 2016-2017学年度第一学期期中高三数学（理）模拟试题 ‎ 考试时间：120分钟 试题满分：150 分 2016.11‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.设集合，，，则【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知向量，，若，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎3．要得到函数的图像，只需要将函数的图像 A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 ‎4.公比为等比数列的各项都是正数，且，则=‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知，，，则的大小关系为 A．　 　B． C．　　D．‎ ‎6.等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则 A.32 B.64 C.512 D.1024 ‎ ‎7．已知，，，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎8.在数列中，，则 A.5 B.-5 C.1 D.-1‎ ‎9．函数的图象大致是 ‎ ‎ ‎10.等比数列中，，，则数列的前99项的和 A.100 B.88 C.77 D.68‎ ‎11.中，若动点满足，则点的轨迹一定通过的 A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 ‎ ‎12．已知定义在上的函数，为其导数，且恒成立，则 A． B． ‎ C． D．‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.在△ABC中，，，则＝ .‎ ‎14. 等差数列的首项为，公差为，则数列前项和的最大值为 .‎ ‎15.在中，，则的角平分线，则 .‎ ‎16.设函数是定义在上的偶函数，且对任意的恒有，已知当时，，则 ‎①2是函数的一个周期；‎ ‎②函数在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；‎ ‎③函数的最大值是1，最小值是0；‎ ‎④是函数的一个对称轴；‎ ‎⑤当x∈(3,4)时，f(x)＝()x－3.‎ 其中所有正确命题的序号是________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余每题均为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤）‎ ‎17. （本小题满分10分）已知向量.令.‎ ‎（I）求的最小正周期；‎ ‎（II）求在上的单调递增区间.‎ ‎18.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋n.‎ ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）数列{bn}满足bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和.‎ ‎19.（本小题满分12分）在中，角，，的对边分别为，，，且满足向量.‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）若，求面积的最大值.‎ ‎20．（本小题满分12分）已知函数（），且函数在处取得极值.‎ ‎（I）求曲线在点处的切线方程； ‎ ‎（II）若成立，求实数的取值范围. ‎ ‎21.（本小题满分12分）等差数列中，为其前项和，已知，数列，，对任意满足 ‎（Ⅰ）数列和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，设数列的前项和，证明: ．‎ ‎22.（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（I）讨论在上的单调性；‎ ‎（II）若关于的方程在有两个根，求实数的取值范围.‎ ‎（III）求证：当时，.‎ ‎2016-2017学年辽宁省大连市渤海高中高三（上）期中数学模拟试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）（2016•湖北模拟）设集合U={0，1，2，3，4，5}，A={1，2}，B={x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则（　　）‎ A．{0，1，2，3} B．{5} C．{1，2，4} D．{0，4，5}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【专题】计算题；不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】求出集合B中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出B，求出A与B的并集，找出全集中不属于并集的元素，即可求出所求．‎ ‎【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，‎ 变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，‎ 解得：1＜x＜4，‎ ‎∴B={2，3}，‎ ‎∵A={1，2}，‎ ‎∴A∪B={1，2，3}，‎ ‎∵集合U={0，1，2，3，4，5}，‎ ‎∴{0，4，5}．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2016•沈阳校级一模）已知向量=（1，2），=（﹣1，m），若⊥，则m的值为（　　）‎ A．﹣2 B．2 C． D．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】利用向量垂直的性质求解．‎ ‎【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣1，m），⊥，‎ ‎∴=﹣1+2m=0，‎ 解得m=．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎3．要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（　　）‎ A．向左平移单位 B．向右平移单位 C．向左平移单位 D．向右平移单位 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【专题】三角函数的图像与性质．‎ ‎【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，‎ 要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2012•安徽）公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a16=（　　）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【考点】等比数列的通项公式；对数的运算性质．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，知，故a7=4，=32，由此能求出log2a16．‎ ‎【解答】解：∵公比为的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11=16，‎ ‎∴，‎ ‎∴a7=4，‎ ‎∴=32，‎ ‎∴log2a16=log232=5．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ ‎5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　）‎ A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【专题】不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系 ‎【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，‎ ‎∴a＞b＞20=1．‎ 再由c=2log52=log54＜log55=1，‎ 可得 a＞b＞c，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．等比数列{an}的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则a10=（　　）‎ A．32 B．64 C．512 D．1024‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】根据等比数列的前n项和公式奇数项之和等于偶数项之的，可求q，由通项公式求得a10的值．‎ ‎【解答】解：设等比数列的项数为2n，‎ ‎∵所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，‎ ‎∴S奇：S偶=1：2．‎ ‎∵S奇=a1+a3+…+a2n﹣1，S偶=a2+a4+…+a2n=qS奇 由题意可得，q=2，‎ ‎∴a10=a1q9=1×29=512．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查等比数列的等比数列的前n项和公式，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2015春•潍坊期中）已知||=2，||=3，|+|=，则|﹣|等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】|+|2═22+2，整体求解2=6，运用|﹣|2=22，得出|﹣|‎ ‎【解答】解：∵|=2，||=3，|+|=，‎ ‎∴2=6，‎ ‎∵|﹣|2=22=4+9﹣6=7，‎ ‎∴|﹣|=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的运算，关键是运用好向量的平方和向量模的平方的关系，属于容易题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2016秋•甘井子区校级期中）在数列{an}中，a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N+），则a2017=（　　）‎ A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用递推公式可得数列的周期性，即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a1=1，a2=5，an+2=an+1﹣an（n∈N+），‎ ‎∴a3=a2﹣a1=4，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣5，a6=﹣4，a7=1，a8=5，…，‎ ‎∴an+6=an．‎ 则a2017=a6×336+1=a1=1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2016秋•甘井子区校级期中）函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．‎ ‎【分析】判断函数的奇偶性，利用特殊值判断函数值的即可．‎ ‎【解答】解：函数y=是奇函数，所以选项A，B不正确；‎ 当x=e时，y=＞0，图象的对应点在第一象限，‎ D正确；C错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数的图象的判断，一般利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、特殊值等方法判断．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2016秋•甘井子区校级期中）等比数列{an}中，q=2，a2+a5+…+a98=22，则数列{an}的前99项的和S99=（　　）‎ A．100 B．88 C．77 D．68‎ ‎【考点】等比数列的前n项和．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】根据利用等比数列通项公式及（a1+a4+a7+…+a97）q2=（a2+a5+a6+…+a98）q=a3+a6+a9+…a99求得答案．‎ ‎【解答】解：因为等比数列{an}中，q=2，a2+a5+…+a98=22，‎ 设a3+a6+a9+…+a99=x则 a1+a4+a7+…+a97=‎ a2+a5+a8+…+a98==22，‎ 则x=44，‎ 所以a1+a4+a7+…+a97=11，a3+a6+a9+…+a99=44．‎ 所以S99=（a1+a4+a7+…+a97）+（a2+a5+a6+…+a98）+（a3+a6+a9+…+a99）=44+22+11=77‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，解题的关键是发现a1+a4+a7+…+a97与a2+a5+a6+…+a98和a3+a6+a9+…a99的联系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2016秋•甘井子区校级期中）△ABC中，若动点D满足2﹣2+2•=0，则点D的轨迹一定通过△ABC的（　　）‎ A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 ‎【考点】向量在几何中的应用．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】可取AB的中点为E，从而由即可得出，从而得出ED⊥AB，这样便可得出点D的轨迹为AB的垂直平分线，而△ABC的外心在AB的垂直平分线上，从而得出点D的轨迹过△ABC的外心．‎ ‎【解答】解：如图，取AB中点E，则：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=0；‎ ‎∴AB⊥ED；‎ 即点D在AB的垂直平分线上；‎ ‎∴点D的轨迹一定通过△ABC的外心．‎ 故选A．‎ ‎【点评】考查向量数量积的运算，向量加法的平行四边形法则，以及向量减法的几何意义，三角形外心的定义，向量垂直的充要条件．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2016秋•甘井子区校级期中）已知定义在（0，）上的函数f（x），f'（x）为其导数，且＜恒成立，则（　　）‎ A．f（）＞f（） B．f（）＞f（） C．f（1）＜2f（）sin1 D．f（）＜f（）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用．‎ ‎【分析】g（x）=，则g′（x）=＞0恒成立，即g（x）=，x∈（0，）为增函数，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：当x∈（0，）时，sinx＞0，cosx＞0，‎ ‎∵＜恒成立，‎ ‎∴sinxf′（x）﹣cosxf（x）＞0恒成立，‎ 令g（x）=，则g′（x）=＞0恒成立，‎ 即g（x）=，x∈（0，）为增函数，‎ 故g（）＞g（），‎ 即f（）＜f（），‎ 故D正确；‎ 故选：D ‎【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，构造函数g（x）=，并分析其单调性，是解答的关键．‎ ‎　‎ 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13．（5分）（2016•衡水模拟）在△ABC中，AB=2，AC=3，=1，则BC=　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】计算题；解三角形．‎ ‎【分析】利用向量的数量积，及余弦定理，即可求得BC的值．‎ ‎【解答】解：设，，则 ‎∵AB=2，=1‎ ‎∴2acosθ=1‎ 又由余弦定理可得：9=4+a2+4acosθ ‎∴a2=3，∴a=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查向量的数量积，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016秋•甘井子区校级期中）等差数列{an}的首项为23，公差为﹣2，则数列前n项和的最大值为　144　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【专题】计算题；方程思想；演绎法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】求出等差数列的前n项和，结合一元二次函数的性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的首项a1=23，公差d=﹣2，‎ ‎∴前n项和Sn=23n+×（﹣2）=﹣n2+24n=﹣（n﹣12）2+144，‎ 则对称轴为n=12，‎ ‎∴当n=12时，Sn取得最大值为144，‎ 故答案为：144．‎ ‎【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2016秋•甘井子区校级期中）在△ABC中，B=120°，AB=，AC=，则A的角平分线AD，则AD=　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．‎ ‎【分析】由已知及正弦定理可求sinC=，可得C=30°，利用三角形内角和定理及已知可求∠BAD，进而可求∠ADB的值，在△ABD中，由正弦定理即可解得AD的值．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，B=120°，AB=，AC=，‎ ‎∴由正弦定理可得：sinC===，‎ ‎∴C=30°，A=180°﹣B﹣C=30°，‎ ‎∵AD为A的角平分线，‎ ‎∴∠BAD=15°，∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=45°，‎ ‎∴在△ABD中，由正弦定理可得：AD===．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2016秋•甘井子区校级期中）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x+1）=f（x﹣1），已知当x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x，则 ‎①2是函数f（x）的一个周期；‎ ‎②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数；‎ ‎③函数f（x）的最大值是1，最小值是0；‎ ‎④x=1是函数f（x）的一个对称轴；‎ ‎⑤当x∈（3，4）时，f（x）=（）x﹣3．‎ 其中所有正确命题的序号是　①②④⑤　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【专题】探究型；函数的性质及应用；简易逻辑．‎ ‎【分析】根据已知，确定函数f（x）的周期性，单调性，奇偶性，对称性，最值等，进而判断各个命题的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x+1）=f（x﹣1），‎ ‎∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）﹣1]=f（x），‎ 即①2是函数f（x）的一个周期，正确；‎ 当x∈[0，1]时，f（x）=（）1﹣x为增函数；‎ 由函数f（x）是定义在R上的偶函数，‎ 可得：当x∈[﹣1，0]时，f（x）为减函数；‎ 再由函数的周期为2，可得：‎ ‎②函数f（x）在（1，2）上是减函数，在（2，3）上是增函数，正确；‎ 由②得：当x=2k，k∈Z时，函数取最小值，‎ 当x=2k+1，k∈Z时，函数取最大值1，‎ 故③函数f（x）的最大值是1，最小值是0，错误；‎ 由②得：④x=k，k∈Z均为函数图象的对称轴，‎ 故④x=1是函数f（x）的一个对称轴，正确；‎ ‎⑤当x∈（3，4）时，4﹣x=（0，1），‎ 即f（4﹣x）=f（2﹣x）=f（﹣x）=f（x）=（）1﹣（4﹣x）=（）x﹣3，‎ 即④f（x）=（）x﹣3．正确 故答案为：①②④⑤‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断应用为载体，考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，对称性，最值，解析式的求法等知识点，难度中档．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，其余每题均为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程、计算步骤）‎ ‎17．（10分）（2016秋•甘井子区校级期中）已知向量=（cosx+sinx，2sinx），=（cosx﹣sinx，cosx）．令f（x）=•．‎ ‎（I）求f（x）的最小正周期；‎ ‎（II）求f（x）在[，]上的单调递增区间．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）进行数量积的坐标运算并化简即可得出，从而便可得出f（x）的最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）根据x即可求出2x+的范围，进而得出2x在哪个范围时f（x）单调递增，进而求出对应x的范围，即得出f（x）的单调递增区间．‎ ‎【解答】解：（I）f（x）=（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）+2sinx•cosx ‎=cos2x﹣sin2x+2sinxcosx ‎=cos2x+sin2x ‎=；‎ ‎∴；‎ 即f（x）的最小正周期为π；‎ ‎（II）；‎ ‎∴；‎ ‎∴，即时f（x）单调递增；‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为．‎ ‎【点评】考查数量积的坐标运算，二倍角的正弦公式，两角和的正余弦公式，以及求最小正周期的计算公式，熟悉正弦函数的图象，以及增函数的定义．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016秋•甘井子区校级期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2+n．‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（II）数列{bn}满足bn=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（I）Sn=n2+n．n=1时，a1=S1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．即可得出．‎ ‎（II）bn===．利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）∵Sn=n2+n．n=1时，a1=S1=2；‎ n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=2n，n=1时也成立．‎ ‎∴an=2n（n∈N*）．‎ ‎（II）bn===．‎ ‎∴数列{bn}的前n项和Tn=+…+‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查了“裂项求和方法”、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2016秋•清远期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足向量=（cosA，cosB），=（a，2c﹣b），∥．‎ ‎（I）求角A的大小；‎ ‎（II）若a=2，求△ABC面积的最大值．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【专题】对应思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．‎ ‎【分析】（I）根据平面向量的共线定理，利用正弦定理，即可求出A的值；‎ ‎（2）根据余弦定理，利用基本不等式，即可求出三角形面积的最大值．‎ ‎【解答】解：（I）∵向量=（cosA，cosB），=（a，2c﹣b），∥，‎ ‎∴（2c﹣b）cosA=acosB，‎ 由正弦定理得：（2sinC﹣sinB）cosA=sinAcosB，‎ 整理得2sinCcosA=sin（A+B）=sinC；‎ 在△ABC中，sinC≠0，∴cosA=，‎ ‎∵A∈（0，π），故；‎ ‎（2）由余弦定理，cosA==，‎ 又a=2，∴b2+c2﹣20=bc≥2bc﹣20，‎ 得bc≤20，当且仅当b=c时取到“=”；‎ ‎∴S△ABC=bcsinA≤5，‎ 所以三角形面积的最大值为5．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的共线定理和正弦、余弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•甘井子区校级期中）已知函数f（x）=x2﹣（a2﹣a）lnx﹣x（a＜0），且函数f（x）在x=2处取得极值．‎ ‎（I）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（II）若∀x∈[1，e]，f（x）﹣m≤0成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求出a的值，从而求出f（x）的表达式，求出切线方程即可；‎ ‎（Ⅱ）问题转化为：求f（x）在区间[1，e]上的最大值，根据函数的单调性求出f（x）的最大值，从而求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：（I）由f′（x）=x﹣﹣1，f′（2）=0，得a=﹣1或a=2（舍去）‎ 经检验，当a=﹣1时，函数f（x）在x=2处取得极值．‎ a=﹣1时，f（x）=x2﹣2lnx﹣x，f′（x）=x﹣﹣1，‎ 则f（1）=﹣，f′（1）=﹣2，‎ 所以所求的切线方式为y+=﹣2（x﹣1），‎ 整理得4x+2y﹣3=0；‎ ‎（II）问题转化为：求f（x）在区间[1，e]上的最大值：‎ x ‎1‎ ‎（1，2）‎ ‎2‎ ‎（2，e）‎ e f'（x）‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↘‎ 最小值 ‎↗‎ 比较，‎ 所以，即．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线方程问题，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•甘井子区校级期中）等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a2=2，S5=15，数列{bn}，b1=1，对任意n∈N+满足bn+1=2bn+1．‎ ‎（Ⅰ）数列{an}和{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn=，设数列{cn}的前n项和Tn，证明：Tn＜2．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由a2=2，S5=15，得，解得a1，d即可得出an．对任意n∈N+满足bn+1=2bn+1．变形为bn+1+1=2（bn+1），利用等比数列的通项公式即可得出bn．‎ ‎（II）cn==，利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{an}的公差为d，由a2=2，S5=15，得，解得a1=d=1，‎ ‎∴an=1+（n﹣1）=n．‎ ‎∵对任意n∈N+满足bn+1=2bn+1．∴bn+1+1=2（bn+1），‎ ‎∴数列{bn+1}为等比数列，公比为2．‎ ‎∴，∴．‎ ‎（II）证明：cn==，‎ 则数列{cn}的前n项和，‎ ‎∴，‎ 两式相减得，=+…+﹣=﹣，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•甘井子区校级期中）已知函数f（x）=sinx﹣xcosx．‎ ‎（I）讨论f（x）在（0，2π）上的单调性；‎ ‎（II）若关于x的方程f（x）﹣x2+2πx﹣m=0在（0，2π）有两个根，求实数m的取值范围．‎ ‎（III）求证：当x∈（0，）时，f（x）＜x3．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．‎ ‎【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；‎ ‎（Ⅱ）设h（x）=x2﹣2πx+m=（x﹣π）2+m﹣π2，根据二次函数的性质求出m的范围即可；‎ ‎（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣x3，求出函数的导数，根据函数的单调性求出g（x）＜0，从而证出结论即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=cosx﹣（cosx﹣xsinx）=xsinx，‎ ‎（Ⅰ）f'（x）＞0⇒x∈（0，π），f'（x）＜0⇒‎ x∈（π，2π）f（x）的递增区间（0，π），递减区间（π，2π）；‎ ‎（II） f（x）=x2﹣2πx+m，‎ 设h（x）=x2﹣2πx+m=（x﹣π）2+m﹣π2，‎ 由，解得，0＜m＜π2+π；‎ ‎（III）令g（x）=f（x）﹣x3，‎ 则g′（x）=x（sinx﹣x），‎ 当x∈（0，）时，设t（x）=sinx﹣x，则t′（x）=cosx﹣1＜0，‎ 所以t（x）在x∈（0，）单调递减，t（x）=sinx﹣x＜t（0）=0，‎ 即sinx＜x，所以g′（x）＜0，‎ 所以g（x）在（0，）上单调递减，所以g（x）＜g（0）=0，‎ 所以f（x）＜x3．‎ ‎【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．‎