高考数学复习专题练习第3讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”
第3讲 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”
一、选择题
1．已知命题p：存在n∈N,2n>1 000，则綈p为( )
A．任意n∈N,2n≤1 000
B．任意n∈N,2n>1 000
C．存在n∈N,2n≤1 000
D．存在n∈N,2n<1 000
解析：由特称命题的否定为全称命题知，綈p为任意n∈N,2n≤1 000，故选A.
答案：A
2．命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是( )
A．所有能被2整除的整数都是奇数
B．所有不能被2整除的整数都不是奇数
C．存在一个能被2整除的整数是奇数
D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数
解析：命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.
答案：D
3．下列命题中的真命题是 ( )．
A．存在x∈R，使得sin x＋cos x＝
B．任意x∈(0，＋∞)，ex>x＋1
C．存在x∈(－∞，0)，2x<3x
D．任意x∈(0，π)，sin x>cos x
解析 因为sin x＋cos x＝sin≤<，故A错误；当x<0时，y＝2x的图像在y＝3x的图像上方，故C错误；因为x∈时有sin x
0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．∃x∈R，f(x)≤f(x0)
B．∃x∈R，f(x)≥f(x0)
C．∀x∈R，f(x)≤f(x0)
D．∀x∈R，f(x)≥f(x0)
解析：f′(x)＝2ax＋b，则f′(x0)＝0.∵a>0，易证f(x)在x＝x0处到得极小值，则∀x，有f(x)≥f(x0)，故选C.[来源:学,科,网Z,X,X,K]
答案：C
5．命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )
A．“p或q”是真命题 B．“p或q”是假命题
C．綈p为假命题 D．綈q为假命题
解析：∵当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝
综上可知，“p或q”是假命题，选B.
答案：B
6．已知命题p：“任意x∈[1，2]都有x2≥a”．命题q：“存在x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0成立”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为 ( )．
A．(－∞，－2] B．(－2，1)
C．(－∞，－2]∪{1} D．[1，＋∞)
解析 若p是真命题，即a≤(x2)min，x∈[1，2]，所以a≤1；若q是真命题，即x2＋2ax＋2－a＝0有解，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命题“p且q”是真命题，则p是真命题，q也是真命题，故有a≤－2或a＝1.
答案 C
二、填空题
7．给定下列几个命题：
①“x＝”是“sin x＝”的充分不必要条件；[来源:Z§xx§k.Com]
②若“p∨q”为真，则“p∧q”为真；
③等底等高的三角形是全等三角形的逆命题．
其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)
解析 ①中，若x＝，则sin x＝，
但sin x＝时，x＝＋2kπ或＋2kπ(k∈Z)．
故“x＝”是“sin x＝”的充分不必要条件，
故①为真命题；
②中，令p为假命题，q为真命题，
有“p∨q”为真命题，
而“p∧q”为假命题，
故②为假命题；
③为真命题．[来源XXK]
答案 ①③
8．存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值范围是________．
解析 要使x2－4bx＋3b<0成立，只要方程x2－4bx＋3b＝0有两个不相等的实根，即判别式Δ＝16b2－12b>0，解得b<0或b>.
答案 (－∞，0)∪
9．已知命题“任意x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析 由“任意x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知命题“任意x∈R，x2－5x＋a>0”为真命题，即不等式x2－5x＋a>0恒成立，故Δ＝25－4×
a<0，
解得a>，即a的取值范围为.
答案
10．下列结论：
①若命题p：存在x∈R，tan x＝；命题q：任意x∈R，x2－x＋1>0.则命题“p且綈q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．
解析 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，所以p且綈q为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
三、解答题
11．写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：任意x∈R，x2－x＋≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.
解 (1)綈p：存在x∈R，x2－x＋<0，假命题．
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
(3)綈r：任意x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
(4)綈s：任意x∈R，x3＋1≠0，假命题．
12．已知命题p：任意x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a
＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
解 由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．
p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命题p：a≤1；
q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x∈R使f(x)＝0，
只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，
所以命题q：a≥1或a≤－2.
由得a＝1或a≤－2
∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.
13．已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈时，函数f(x)＝x＋>恒成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．
解 由命题p为真知，0，
若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，
则p、q中必有一真一假，
当p真q假时，c的取值范围是0
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