高考数学一轮复习第十章平面解析几何10-6双曲线练习理北师大版

高考数学一轮复习第十章平面解析几何10-6双曲线练习理北师大版

‎10.6 双曲线 核心考点·精准研析 考点一　双曲线的定义及标准方程 ‎ ‎1.已知定点F1(-2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是 (　　)‎ A.椭圆　 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 ‎2.已知圆C1:(x+3)2+y2=1,C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (　　)‎ A.x2-=1　 B.-y2=1‎ C.x2-=1(x≤-1)　 D.x2-=1(x≥1)‎ ‎3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为 (　　)‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ ‎4.(2020·唐山模拟)P是双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________. ‎ - 14 -‎ ‎5.若双曲线的渐近线方程为y=±x,且经过点(4,),则双曲线的方程为________. 【解析】1.选B.如图,连接ON,由题意可得|ON|=1,且N为MF1的中点,又O为F1F2的中点,所以|MF2|=2.因为点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,由垂直平分线的性质可得|PM|=|PF1|,‎ 所以||PF2|-|PF1||=||PF2|-|PM||=|MF2|=2<|F1F2|,所以由双曲线的定义可得,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.‎ ‎2.选C.设圆M的半径为r,由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,得|MC1|=1+r, |MC2|=3+r,|MC2|-|MC1|=2<6,所以点M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,a=1,又c=3,则b2=c2-a2=8,所以点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).‎ ‎3.选C.因为以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5,=,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以此双曲线的方程为-=1.‎ ‎4.(利用定义解三角形)如图所示,内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|,|MB|,|MC|,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质有|CF1|= |AF1|,‎ ‎|AF2|= |BF2|,|PC|=|PB|,‎ 所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,‎ 又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,‎ ‎|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以M的横坐标为a.‎ - 14 -‎ 答案:a ‎5.方法一:因为双曲线的渐近线方程为y=±x,‎ 所以可设双曲线的方程为x2-4y2=λ(λ≠0).‎ 因为双曲线过点(4,),所以λ=16-4×()2=4,所以双曲线的标准方程为-y2=1.‎ 方法二:因为渐近线y=x过点(4,2),而<2,‎ 所以点(4,)在渐近线y=x的下方,在y=-x的上方(如图).‎ 所以双曲线的焦点在x轴上,故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).‎ 由已知条件可得 解得 ‎ 所以双曲线的标准方程为-y2=1.‎ 答案:-y2=1‎ ‎1.双曲线定义的应用 - 14 -‎ ‎(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线还是双曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.‎ ‎(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用平方的方法,建立|PF1|与|PF2|的关系.‎ ‎2.求双曲线标准方程的方法 ‎(1)定义法 根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:‎ ‎①c2=a2+b2;‎ ‎②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.‎ ‎(2)待定系数法 ‎①一般步骤 ‎②常用设法 ‎(ⅰ)与双曲线-=1共渐近线的方程可设为-=λ(λ≠0);‎ ‎(ⅱ)若双曲线的渐近线方程为y=±x,则双曲线的方程可设为-=λ(λ≠0);‎ ‎(ⅲ)若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为+=1(mn<0)或mx2+ny2=1(mn<0).‎ ‎【秒杀绝招】‎ - 14 -‎ 求双曲线的标准方程时,若已知渐近线方程为y=±x,但不知道焦点所在坐标轴,可直接设-=λ(λ≠0).例如第5题.‎ 考点二　直线与双曲线的位置关系 ‎ ‎【典例】1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线与圆(x-a)2+y2=a2的位置关系是 (　　)‎ A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 ‎2.已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点 ‎(1)求双曲线C2的方程.‎ ‎(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 一看到①直线与圆的位置关系问题,即联想到利用弦心距与半径的大小关系判别;②出现双曲线离心率为时,一定为等轴双曲线,渐近线方程为y=±x ‎2‎ 当题目中出现数量积时,首选方法是联立方程,利用根与系数的关系表示数量积,进而可求出参数范围 ‎【解析】1.选C.因为一条渐近线方程为ay-bx=0,又离心率为=,所以a=b,所以一条渐近线方程为y-x=0,由(x-a)2+y2=a2知圆心为(a,0),半径为a,圆心到直线的距离d==a>a,所以直线与圆相离.‎ - 14 -‎ ‎2.(1)设双曲线C2的方程为-=1(a>0,b>0),则a2=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1.‎ 故C2的方程为-y2=1.‎ ‎(2)将y=kx+代入-y2=1,‎ 得(1-3k2)x2-6kx-9=0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得 ‎ ‎ 所以k2≠且k2<1.①‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1+x2=,x1x2=-.‎ 所以x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+)(kx2+)‎ ‎=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2=.‎ 又由·>2,得x1x2+y1y2>2,‎ 所以>2,即>0,‎ 解得0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.‎ ‎(1)求双曲线的方程.‎ ‎(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t(O为坐标原点),求t的值及点D的坐标.‎ ‎【解析】(1)由题意知a=2,‎ 因为一条渐近线为y=x,即bx-ay=0,‎ - 14 -‎ 所以由焦点到渐近线的距离为,得=.‎ 又因为c2=a2+b2,所以b2=3,‎ 所以双曲线的方程为-=1.‎ ‎(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0)(x0>0),‎ 则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.‎ 将直线方程y=x-2代入双曲线方程-=1得x2-16x+84=0,‎ 则x1+x2=16,y1+y2=(x1+x2)-4=12.‎ 所以解得 所以t=4,点D的坐标为(4,3).‎ 考点三　双曲线的几何性质 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)考查双曲线的离心率、最值问题、范围问题、渐近线问题.‎ ‎(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、分类讨论及化归与转化等思想方法.‎ ‎2.怎么考:结合双曲线定义及焦点三角形等考查离心率及渐近线方程.‎ ‎3.新趋势:双曲线的离心率及渐近线仍是考查的重点.‎ 学 霸 好 方 ‎1.离心率的求解:借助条件建立a,b,c之间的关系或利用特殊值法求解.‎ ‎2.渐近线的求解:将标准形式中右侧常数变为0,整理即得.(牢记焦点到渐近线的距离)‎ ‎3.交汇问题: 与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域.‎ - 14 -‎ 法 双曲线的离心率 ‎【典例】(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为 (　　)‎ A. B. C.2 D.‎ ‎【解析】选A.以OF为直径的圆的方程为+y2=,则弦PQ所在的直线方程为x=,|PQ|=,根据|PQ|=|OF|可得=,即(a-b)2=0,得a=b,故c=a,所以e=.‎ 双曲线的渐近线 ‎ ‎【典例】(2020·德州模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为 (　　)‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎【解析】选A.依题意椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=(a>0,b>0)即-=1(a>0,b>0)的焦点相同,可得:a2-b2=a2+b2,即a2=3b2,‎ - 14 -‎ 所以=,可得=,‎ 所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.‎ 如何求双曲线的渐近线方程?‎ 提示:(1)求双曲线中的a,b的值,进而得出双曲线的渐近线方程.‎ ‎(2)求a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.‎ ‎(3)令双曲线标准方程右侧为0,将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.‎ 与双曲线有关的范围问题 ‎ ‎【典例】1.已知点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点.若△ABF2是锐角三角形,则该椭圆的离心率e的取值范围是 (　　)‎ A.(0,-1)　 B.(-1,1)‎ C.(0,-1)　 D.(-1,1)‎ ‎2.已知直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1的右支交于不同两点,则k的取值范围是________. ‎ ‎【解析】1.选B.由题意得F1(-c,0),F2(c,0),A,B.因为△ABF2是锐角三角形,所以∠AF2F1<45°,所以tan∠AF2F1<1,即<1.整理,得b2<2ac,所以a2-c2<2ac.两边同时除以a2‎ - 14 -‎ 并整理,得e2+2e-1>0,解得e>-1或e<--1(舍去).又因为00,b>0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P,Q,若|PQ|=2|QF|,∠PQF=60°,则该双曲线的离心率为 ‎(　　)‎ A. B.1+‎ C.2+ D.4+2‎ ‎【解析】选B.∠PQF=60°,因为|PQ|=2|QF|,所以∠PFQ=90°,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q,由对称性可知,四边形F1PFQ为矩形,|F1F|=2|QF|,|QF1|=‎ ‎|QF|,所以e====+1.‎ ‎1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,右焦点到一条渐近线的距离为,则此双曲线的焦距等于 (　　)‎ A.　 B.2　 C.3　 D.6‎ ‎【解析】选B.由题意得,焦点F(c,0)到渐近线bx+ay=0的距离d==b=,又=,c2=a2+b2,所以c=,所以该双曲线的焦距为2.‎ ‎2.(2020·池州模拟)双曲线C:-=1的左焦点为F,右顶点为A,虚轴的一个端点为B,若△ABF为等腰三角形,则双曲线C的离心率是(　　)‎ A. B. C.或 D.1+‎ ‎【解析】选D.由于△ABF为等腰三角形,故FB=a+c,OF=c,OB=b,直角三角形OFB中,由勾股定理得b2+c2=,即c2-2ac-2a2=0,两边除以a2得e2-2e-2=0,解得e=1+(负根舍去).‎ - 14 -‎ ‎1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的顶点到渐近线的距离为,焦点到渐近线的距离为,则该双曲线的方程为 (　　)‎ A.-=1　 B.-=1‎ C.-=1　 D.-=1‎ ‎【解析】选B.由双曲线的对称性可得两个焦点,顶点到两条渐近线的距离相等,所以任意取一个焦点和顶点即可.因为双曲线的渐近线方程为y=x,所以=,即ab=c,=,即b=,又因为c2=a2+b2,所以解得a2=4,b2=5,即方程为-=1.‎ ‎2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),O为坐标原点,P,Q为双曲线的渐近线上的两点,若四边形PFQO是面积为c2的菱形,则该渐近线方程为 ‎(　　)‎ A.y=±2x B.y=±x C.y=±4x D.y=±x ‎【解析】选A.如图所示,F(-c,0),PQ⊥OF,设P(x,y),则菱形PFQO的面积为2× ×c×y=c2,所以y=c,故tan∠POF==2,即渐近线OP的方程为y=-2x,故双曲线的渐近线方程为y=±2x.‎ - 14 -‎ - 14 -‎