【数学】2020届一轮复习江苏版12-3-1绝对值不等式学案

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习江苏版12-3-1绝对值不等式学案

‎§12.3　不等式选讲 第1课时　绝对值不等式 考情考向分析　本节考查热点为绝对值不等式的解法及证明．在高考中主要以解答题的形式考查，属于低档题．‎ ‎1．绝对值不等式的解法 ‎(1)含有绝对值的不等式|x|a的解集 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎2．含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若|x|>c的解集为R，则c≤0.(　×　)‎ ‎(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.(　√　)‎ ‎(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a>b>0时等号成立．(　×　)‎ ‎(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　×　)‎ ‎(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P6例3]不等式3≤|5－2x|<9的解集为__________．‎ 答案　(－2,1]∪[4,7)‎ 解析　由题意得 即 解得不等式的解集为(－2,1]∪ [4,7)．‎ ‎3．[P6例4]求不等式|x－1|－|x－5|<2的解集．‎ 解　①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2，‎ ‎∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；‎ ‎②当1－1时，f(x)＝ ‎∴f(x)min＝f(a)＝a＋1＝5，∴a＝4成立．‎ 综上，a＝4或a＝－6.‎ 方法二　当a＝－1时，f(x)min＝0，不符合题意；‎ 当a≠－1时，f(x)min＝f(a)＝|a＋1|＝5，‎ ‎∴a＝4或a＝－6.‎ ‎6．若存在实数x，使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是____________．‎ 答案　[－2,4]‎ 解析　∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，‎ ‎∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.‎ ‎7．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_______．‎ 答案　 解析　设y＝|2x－1|＋|x＋2|‎ ‎＝ 当x<－2时，y＝－3x－1>5；‎ 当－2≤x<时，5≥y＝－x＋3>；‎ 当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a＋2.‎ 解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，‎ 故实数a的取值范围为.‎ 题型一　绝对值不等式的解法 ‎1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；‎ ‎(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于 x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①‎ 当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；‎ 当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，‎ 从而－1≤x≤1；‎ 当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，‎ 从而11.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．‎ 解　(1)方法一　当a＝2时，由题意知|x－2|＋|x－4|≥4，利用几何意义可知不等式表示数轴上x的对应点到2与4对应点的距离之和大于等于4，又2和4之间的距离为2，即x在以2和4为标准分别向左或者向右平移1个单位长度的位置上．‎ 故不等式的解集为{x|x≤1或x≥5}．‎ 方法二　当a＝2时，‎ f(x)＋|x－4|＝ 当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，‎ 解得x≤1；‎ 当22时，由f(x)≥1，解得x>2，‎ 所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．‎ ‎(2)由f(x)≥x2－x＋m，得 m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.‎ 而|x＋1|－|x－2|－x2＋x ‎≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|‎ ‎＝－2＋≤，‎ 当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.‎ 故m的取值范围为.‎ ‎1．解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.‎ 解　方法一　如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．‎ 显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把点A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ 方法二　由原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5，‎ 可得或 或解得x≥2或x≤－3，‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ 方法三　将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.‎ 令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝ 作出函数的图象，如图所示，‎ 由图象可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，f(x)≥0，‎ ‎∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ ‎2．已知a≥2，x∈R.求证：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.‎ 证明　因为|m|＋|n|≥|m－n|，‎ 所以|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－(x－a)|‎ ‎＝|2a－1|.‎ 又a≥2，故|2a－1|≥3.‎ 所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3.‎ ‎3．若不等式log2(|x＋1|＋|x－2|－m)≥2恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解　由题意，知|x＋1|＋|x－2|－m≥4恒成立，‎ 即m≤(|x＋1|＋|x－2|－4)min.‎ 又因为|x＋1|＋|x－2|－4≥|(x＋1)－(x－2)|－4＝－1，‎ 当且仅当－1≤x≤2时等号成立．所以m≤－1.‎ 即实数m的取值范围为(－∞，－1]．‎ ‎4．对于任意实数a，b，已知|a－b|≤1，|2a－1|≤1，且恒有|4a－3b＋2|≤m，求实数m的取值范围．‎ 解　因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，‎ 所以|3a－3b|≤3，≤，‎ 所以|4a－3b＋2|＝ ‎≤|3a－3b|＋＋≤3＋＋＝6，‎ 即|4a－3b＋2|的最大值为6，‎ 所以m≥|4a－3b＋2|max＝6.‎ 即实数m的取值范围为[6，＋∞)．‎ ‎5．已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋a|，若对任意x∈R，不等式f(x)>a2－3恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解　∵对任意x∈R，不等式f(x)>a2－3恒成立，‎ ‎∴f(x)min>a2－3，‎ 又∵|x－a|＋|x＋a|≥ |x－a－(x＋a)|＝|2a|，‎ ‎∴|2a|>a2－3，‎ 即|a|2－2|a|－3<0，‎ 解得－1<|a|<3.‎ ‎∴－30.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，‎ 解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题意可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，‎ ‎△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题意得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎ ‎7．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a>0)．‎ ‎(1)当a＝4时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)当a＝4时，不等式为|2x＋1|－|x－1|≤2.‎ 当x<－时，－x－2≤2，解得－4≤x<－；‎ 当－≤x≤1时，3x≤2，解得－≤x≤；‎ 当x>1时，x≤0，此时x不存在，‎ ‎∴原不等式的解集为.‎ ‎(2)令f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，‎ 则f(x)＝ 故f(x)∈，即f(x)的最小值为－.‎ 若f(x)≤log2a有解，则log2a≥－，‎ 解得a≥，即a的取值范围是.‎ ‎8．设f(x)＝|ax－1|.‎ ‎(1)若f(x)≤2的解集为[－6,2]，求实数a的值；‎ ‎(2)当a＝2时，若存在x0∈R，使得不等式f(2x0＋1)－f(x0－1)≤7－3m成立，求实数m 的取值范围．‎ 解　(1)显然a≠0，当a>0时，解集为，‎ 则－＝－6，＝2，无解；‎ 当a<0时，解集为，‎ 令－＝2，＝－6，得a＝－.‎ 综上所述，a＝－.‎ ‎(2)当a＝2时，令h(x)＝f(2x＋1)－f(x－1)‎ ‎＝|4x＋1|－|2x－3|‎ ‎＝ 由此可知h(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，则当x＝－时，h(x)取得最小值－，由题意，知－≤7－3m，解得m≤，所以实数m的取值范围是.‎ ‎9．已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.‎ ‎(1)解　f(x)＝ 当x≤－时，由f(x)<2，得－2x<2，解得x>－1，‎ 即－10，b>0且a＋b＝1，‎ ‎∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9，‎ 当且仅当＝，‎ 即a＝，b＝时，＋取得最小值9.‎ ‎(2)∵对∀a，b∈(0，＋∞)，‎ ＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，‎ ‎∴|2x－1|－|x＋1|≤9.‎ 当x≤－1时，不等式化为2－x≤9，‎ 解得－7≤x≤－1；‎ 当－1
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