高中数学必修2第三章 章末检测

高中数学必修2第三章 章末检测

章末检测 一、选择题 ‎1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则直线l的倾斜角为(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．135°‎ 答案　D 解析　由题意可知，直线l的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l的倾斜角为135°.‎ ‎2．已知点A(0,4)，B(4,0)在直线l上，则l的方程为(　　)‎ A．x＋y－4＝0 B．x－y－4＝0‎ C．x＋y＋4＝0 D．x－y＋4＝0‎ 答案　A 解析　由截距式方程可得l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0.‎ ‎3．点(1,1)到直线x＋y－1＝0的距离为(　　)‎ A．1 B．2 C. D. 答案　C 解析　由点到直线的距离公式得d＝＝.‎ ‎4．已知直线l1：ax－y－2＝0和直线l2：(a＋2)x－y＋1＝0互相垂直，则实数a的值为(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．2‎ 答案　A 解析　l1的斜率为a，l2的斜率为a＋2，‎ ‎∵l1⊥l2，∴a(a＋2)＝－1.‎ ‎∴a2＋2a＋1＝0即a＝－1.‎ ‎5．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为(　　)‎ A．4和3 B．－4和3‎ C．－4和－3 D．4和－3‎ 答案　C 解析　由题意知：－＝－，即3m＝4n，且有－＝，∴n＝－3，m＝－4.‎ ‎6．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为(　　)‎ A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y－5＝0‎ C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0‎ 答案　A 解析　设所求直线上的任一点为(x，y)，则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，所以3x＋4y＋5＝0.‎ ‎7．两点A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a，b的值分别为(　　)‎ A．－1,2 B．4，－2‎ C．2,4 D．4,2‎ 答案　D 解析　A、B关于直线4x＋3y＝11对称，则kAB＝，‎ 即＝，①‎ 且AB中点在已知直线上，代入得 ‎2(b＋2)＋3＝11，②‎ 解①②组成的方程组得故选D.‎ ‎8. 如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)‎ A．2 B．6‎ C．3 D．2 答案　A 解析　由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)‎ ‎，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|＝2.‎ ‎9．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过的定点是(　　)‎ A．(2,3) B．(－2,3)‎ C. D．(－2,0)‎ 答案　B 解析　将直线方程变为：a(x＋2)＋(－x－y＋1)＝0，则直线恒过两直线x＋2＝0与－x－y＋1＝0的交点，‎ 解方程组得 即直线过定点(－2,3)．‎ ‎10．已知点M(1,0)和N(－1,0)，直线2x＋y＝b与线段MN相交，则b的取值范围为(　　)‎ A．[－2,2] B．[－1,1]‎ C. D．[0,2]‎ 答案　A 解析　直线可化成y＝－2x＋b，当直线过点M时，可得b＝2；当直线过点N时，可得b＝－2.所以要使直线与线段MN相交，b的取值范围为[－2,2]．‎ 二、填空题 ‎11．过点(1,3)且在x轴的截距为2的直线方程是________．‎ 答案　3x＋y－6＝0‎ 解析　由题意设所求直线的方程为＋＝1，‎ 又点(1,3)满足该方程，故＋＝1，‎ ‎∴b＝6.‎ 即所求直线的方程为＋＝1，‎ 化为一般式得3x＋y－6＝0.‎ ‎12．经过两条直线2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线方程为________．‎ 答案　2x＋3y－2＝0‎ 解析　由方程组得交点A(－2,2)，因为所求直线垂直于直线3x－2y＋4＝0，故所求直线的斜率k＝－，由点斜式得所求直线方程为y－2＝－(x＋2)，即2x＋3y－2＝0.‎ ‎13．已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为 ‎(1，－1)，那么直线l的斜率为________．‎ 答案　－ 解析　设P(x,1)，则Q(2－x，－3)，将Q坐标代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0.‎ ‎∴x＝－2，∴P(－2,1)，‎ ‎∴kl＝－.‎ ‎14．在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．‎ 答案　(2,4)‎ 解析　设平面上任一点M，因为|MA|＋|MC|≥|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|＋|MD|≥|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，则点M为所求．‎ 又kAC＝＝2，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，‎ 即2x－y＝0.①‎ 又kBD＝＝－1，‎ ‎∴直线BD的方程为y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.②‎ 由①②得∴∴M(2,4)．‎ 三、解答题 ‎15．已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2‎ ‎(1)相交；(2)平行；(3)重合．‎ 解　当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.‎ 当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，‎ ‎∴l1与l2相交．‎ 当m≠0且m≠2时，由＝得m＝－1或m＝3，由＝，得m＝3.‎ 故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．‎ ‎(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2.‎ ‎(3)当m＝3时，l1与l2重合．‎ ‎16．直线l经过两直线l1：2x－y＋4＝0与l2：x－y＋5＝0的交点，且与直线x－2y－6＝0垂直．‎ ‎(1)求直线l的方程；‎ ‎(2)若点P(a,1)到直线l的距离为，求实数a的值．‎ 解　(1)由得交点为(1,6)，‎ 又直线l垂直于直线x－2y－6＝0，‎ 所以直线l的斜率为k＝－2.‎ 故直线l的方程为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.‎ ‎(2)由于P(a,1)到直线l的距离等于，‎ 则＝，解得a＝1或a＝6.‎ ‎17．(1)已知直线y＝x－1的倾斜角为α，另一直线l的倾斜角β＝2α，且过点M(2，－1)，求l的方程；‎ ‎(2)已知直线l过点P(－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l的方程．‎ 解　(1)∵已知直线的斜率为，即tan α＝，‎ ‎∴α＝30°.∴直线l的斜率k＝tan 2α＝tan 60°＝.‎ 又l过点(2，－1)，∴l的方程为y－(－1)＝(x－2)，即x－y－2－1＝0.‎ ‎(2)显然，直线l与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设l的斜率为k，则k≠0，则l的方程为y－3＝k(x＋2)．‎ 令x＝0，得y＝2k＋3；‎ 令y＝0，得x＝－－2.‎ 于是直线与两坐标轴围成的三角形面积为|(2k＋3)·(－－2)|＝4，即(2k＋3)(＋2)＝±8，‎ 解得k＝－或k＝－.‎ ‎∴l的方程为y－3＝－(x＋2)，或y－3＝－(x＋2)．‎ 即x＋2y－4＝0或9x＋2y＋12＝0.‎ ‎18．已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－4x＋2y＋1＝0和l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：‎ ‎①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶，若能，求出P点的坐标；若不能，说明理由．‎ 解　(1)∵l2为2x－y－＝0，‎ ‎∴l1与l2的距离为d＝＝.‎ ‎∵a>0，∴a＝3.‎ ‎(2)设点P(x0，y0)满足②，则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上且＝·，‎ 即c＝或c＝，∴有2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0.若点P满足条件③，由点到直线的距离公式有：‎ ＝·，‎ 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，‎ ‎∴x0－2y0＋4＝0，或3x0＋2＝0.‎ ‎∵P点在第一象限，∴3x0＋2＝0不可能．‎ 联立方程 解得(舍去)‎ 由得 ‎∴P(，)即为同时满足条件的点．‎