2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练28　平面向量的数量积与平面向量应用举例

2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练28　平面向量的数量积与平面向量应用举例

课时分层训练(二十八)　平面向量的数量积与平面向量应用举例 ‎(对应学生用书第252页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．在边长为1的等边△ABC中，设＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝(　　)‎ A．－　　　　　　 B．0‎ C. D．3‎ A　[依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.]‎ ‎2．已知＝(2,1)，点C(－1,0)，D(4,5)，则向量在方向上的投影为 (　　)‎ A．－ B．－3 C. D．3 C　[因为点C(－1,0)，D(4,5)，所以CD＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影为 ‎||cos〈，〉＝＝＝.]‎ ‎3．(2018·海口调研)若向量a＝(2，－1)，b＝(3－x,2)，c＝(4，x)满足(6a－b)·c＝8，则x等于(　　)‎ A．4　　 B．5 C．6　　　　D．7‎ D　[因为6a－b＝(9＋x，－8)，所以(6a－b)·c＝36＋4x－8x＝8，解得x＝7，故选D.]‎ ‎4．已知O为坐标原点，向量＝(3sin α，cos α)，＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈，且⊥，则tan α的值为(　　) ‎ ‎【导学号：79140158】‎ A．－ B．－ C． D． A　[由题意知6sin2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin2α＋5sin αcos α－4cos2α＝0，上述等式两边同时除以cos2α，得6tan2α＋5tan α－4＝0，由于α∈，‎ 则tan α<0，解得tan α＝－，故选A.]‎ ‎5．(2016·山东高考)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A．4 B．－4‎ C. D．－ B　[∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，‎ 即tm·n＋|n|2＝0，‎ ‎∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.‎ 又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，‎ 解得t＝－4.故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ ‎－2　[∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，‎ ‎∴a·b＝0.‎ 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.]‎ ‎7．(2018·合肥一检)若非零向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)⊥(3a－b)，则a与b夹角的余弦值为________．‎ 　[由(a＋b)⊥(3a－b)可得(a＋b)·(3a－b)＝0，又|a|＝1，|b|＝2，则可得a·b＝，设a，b的夹角为θ，θ∈[0，π]，则cos θ＝＝.]‎ ‎8．已知向量a＝，＝a－b，＝a＋b，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积为________. ‎ ‎【导学号：79140159】‎ ‎1　[由题意得，|a|＝1，又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，所以⊥，||＝||.由⊥得(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，‎ 由||＝||得|a－b|＝|a＋b|，所以a·b＝0.‎ 所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＝2，‎ 所以||＝||＝，故S△OAB＝××＝1.]‎ 三、解答题 ‎9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.‎ ‎(1)计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；‎ ‎(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)．‎ ‎[解]　由已知得，a·b＝4×8×＝－16.‎ ‎(1)①∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.‎ ‎②∵|4a－2b|2＝16a2－16a·b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，‎ ‎∴|4a－2b|＝16.‎ ‎(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0，‎ ‎∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，‎ 即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.‎ 即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．‎ ‎10.如图432，已知O为坐标原点，向量＝(3cos x,3sin x)，＝(3cos x，sin x)，＝(，0)，x∈.‎ 图432‎ ‎(1)求证：(－)⊥；‎ ‎(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．‎ ‎[解]　(1)证明：－＝(0,2sin x)，‎ ‎∴(－)·＝0×＋2sin x×0＝0，‎ ‎∴(－)⊥.‎ ‎(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，‎ ‎∴(2sin x)2＝(3cos x－)2＋sin2x，‎ 整理得2cos2x－cos x＝0，‎ 解得cos x＝0，或cos x＝.‎ ‎∵x∈，∴cos x＝，x＝.‎ B组　能力提升 ‎11．(2018·广州综合测试(二))已知两点A(－1,1)，B(3,5)，点C在曲线y＝2x2上运动，则·的最小值为(　　)‎ A．2 B． C．－2 D．－ D　[设C(x0,2x)，因为＝(4,4)，＝(x0＋1,2x－1)，所以·＝8x＋4x0＝8－≥－，即·的最小值为－，故选D.]‎ ‎12．(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)‎ A．－2 B．－ C．－ D．－1‎ B　[法一：(解析法)‎ ‎(1)建立坐标系如图(1)所示，则A，B，C三点的坐标分别为A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)．‎ 设P点的坐标为(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，‎ ‎∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.‎ 当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.‎ 故选B.‎ 法二：(几何法)‎ ‎(2)如图(2)所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.‎ 要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2||||，问题转化为求||||的最大值．‎ 又||＋||＝||＝2×＝，‎ ‎∴||||≤＝＝，‎ ‎∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.‎ 故选B.]‎ ‎13．(2017·山东高考)已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．‎ 　[由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，‎ ‎|e1－e2|＝ ‎＝＝＝2.‎ 同理|e1＋λe2|＝.‎ 所以cos 60°＝ ‎＝＝＝，‎ 解得λ＝.]‎ ‎14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－c)·＝c·.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若|－|＝，求△ABC面积的最大值. ‎ ‎【导学号：79140160】‎ ‎[解]　(1)由题意得(a－c)cos B＝bcos C.‎ 根据正弦定理得(sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，‎ 所以sin Acos B＝sin(C＋B)，‎ 即sin Acos B＝sin A，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，‎ 所以cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)因为|－|＝，所以||＝，‎ 即b＝，根据余弦定理及基本不等式得6＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝(2－)ac(当且仅当a＝c时取等号)，‎ 即ac≤3(2＋)，‎ 故△ABC的面积S＝acsin B≤，‎ 即△ABC的面积的最大值为.‎