高考数学复习专题练习第3讲 数学归纳法

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高考数学复习专题练习第3讲 数学归纳法

第3讲 数学归纳法 一、选择题 ‎ ‎1.用数学归纳法证明不等式1+++…+>(n∈N*)成立,其初始值至少应取 (  ). ‎ A.7 B.‎8 ‎ C.9 D.10‎ 解析 左边=1+++…+==2-,代入验证可知n的最小值是8.‎ 答案 B ‎2.用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时,xn+yn能被x+y整除”,在第二步时,正确的证法是 (  ).‎ A.假设n=k(k∈N+),证明n=k+1命题成立 B.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+1命题成立 C.假设n=2k+1(k∈N+),证明n=k+1命题成立 D.假设n=k(k是正奇数),证明n=k+2命题成立 解析 A、B、C中,k+1不一定表示奇数,只有D中k为奇数,k+2为奇数.‎ 答案 D ‎3.用数学归纳法证明1-+-+…+-=++…+,则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上 (  ).‎ A. B.- C.- D.+ 解析 ∵当n=k时,左侧=1-+-+…+-,当n=k+1时,‎ 左侧=1-+-+…+-+-.‎ 答案 C ‎4.对于不等式1,n∈N*),求证:S2n>1+(n≥2,n∈N*).‎ 证明 (1)当n=2时,S2n=S4=1+++=>1+,即n=2时命题成立;‎ ‎(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时命题成立,即S2k=1+++…+>1+,‎ 则当n=k+1时,S2k+1=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,‎ 故当n=k+1时,命题成立.‎ 由(1)和(2)可知,对n≥2,n∈N*.不等式S2n>1+都成立.‎ ‎12.已知数列{an}:a1=1,a2=2,a3=r,an+3=an+2(n∈N*),与数列{bn}:b1=1,b2=0,b3=-1,b4=0,bn+4=bn(n∈N*).记Tn=b‎1a1+b‎2a2+b‎3a3+…+bnan.‎ ‎(1)若a1+a2+a3+…+a12=64,求r的值;‎ ‎(2)求证:T12n=-4n(n∈N*).‎ ‎(1)解 a1+a2+a3+…+a12=1+2+r+3+4+(r+2)+5+6+(r+4)+7+8+(r+6)=48+4r.‎ ‎∵48+4r=64,∴r=4.‎ ‎(2)证明 用数学归纳法证明:当n∈N*时,T12n=-4n.‎ ‎①当n=1时,T12=a1-a3+a5-a7+a9-a11=-4,故等式成立.‎ ‎②假设n=k时等式成立,即T12k=-4k,那么当n=k+1时,‎ T12(k+1)=T12k+a12k+1-a12k+3+a12k+5-a12k+7+a12k+9-a12k+11=-4k+(8k+1)-(8k+r)+(8k+4)-(8k+5)+(8k+r+4)-(8k+8)=-4k-4=-4(k+1),等式也成立.‎ 根据①和②可以断定:当n∈N*时,T12n=-4n.‎ ‎13.设数列{an}满足a1=3,an+1=a-2nan+2,n=1,2,3,…‎ ‎(1)求a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式(不需证明);‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和,试求使得Sn<2n成立的最小正整数n,并给出证明.‎ 解 (1)a2=5,a3=7,a4=9,猜想an=2n+1.‎ ‎(2)Sn==n2+2n,使得Sn<2n成立的最小正整数n=6.‎ 下证:n≥6(n∈N*)时都有2n>n2+2n.‎ ‎①n=6时,26>62+2×6,即64>48成立;‎ ‎②假设n=k(k≥6,k∈N*)时,2k>k2+2k成立,那么2k+1=2·2k>2(k2+2k)=k2+2k+k2+2k>k2+2k+3+2k=(k+1)2+2(k+1),即n=k+1时,不等式成立;‎ 由①、②可得,对于所有的n≥6(n∈N*)‎ 都有2n>n2+2n成立.‎ ‎14.数列{xn}满足x1=0,xn+1=-x+xn+c(n∈N*).‎ ‎(1)证明:{xn}是递减数列的充分必要条件是c<0;‎ ‎(2)求c的取值范围,使{xn}是递增数列.‎ ‎(1)证明 先证充分性,若c<0,由于xn+1=-x+xn+c≤xn+c0,即xn<1-.‎ 由②式和xn≥0还可得,对任意n≥1都有-xn+1≤(1-)(-xn).③‎ 反复运用③式,得 -xn≤(1-)n-1(-x1)<(1-)n-1,‎ xn<1-和 -xn<(1-)n-1两式相加,知 ‎2-1<(1-)n-1对任意n≥1成立.‎ 根据指数函数y=(1-)n的性质,得 ‎2-1≤0,c≤,故00,即证xn<对任意n≥1成立.‎ 下面用数学归纳法证明当0xn,即{xn}是递增数列.‎ 由①②知,使得数列{xn}单调递增的c的范围是.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档