河南省平顶山市2020届高三数学（理）5月联考试题（Word版附答案）
河南省平顶山市 2020 届高三 5 月联考数学(理)试卷
数学(理科)
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.已知全集 U＝R，集合 A＝{x|－2
2016 D.S2019≥2019
11.函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<
2
)的图象如图所示，先将函数 f(x)图象上所有点的横坐标
变为原来的 6 倍，纵坐标不变，再将所得函数的图象向左平移 7
2
个单位长度，得到函数 g(x)
的图象，则下列结论正确的是
A.函数 g(x)是奇函数 B.函数 g(x)在区间[－2π，0]上单调递增
C.函数 g(x)图象关于(3π，0)对称 D.函数 g(x)图象关于直线 x＝－3π对称
12.定义在[0，＋∞)上的函数 f(x)满足：f(x)＋f'(x)＝ x
x
e
，f( 1
2
)＝ 1
2e
。其中 f'(x)表示 f(x)的
导函数，若存在正数 a，使得 f(
2
4
x x )≥ 1
8
a
a e
成立，则实数 x 的取值范围是
A.[－1，2] B.(－∞，－1]∪[2，＋∞) C.[－1，0]∪[1，2] D.[－2，－1]∪[1，
2]
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知向量 a＝(－2，1)，b＝(4，3)，c＝(－1，λ)，若(a＋b)//c，则λ＝ 。
14.二项式( 1 3
2
x
x
)6 的展开式中的常数项是 。(用数字作答)
15.在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝120°且 AB＝AC＝3，BB1＝4，则此三棱柱外接球
的表面积为 。
16.已知椭圆 C：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 F1，F2，且椭圆 C 与双曲线 C'：
2
2
2
2 1x ya
共焦点，若椭圆 C 与双曲线 C'的一个交点 M 满足|MF1|·|MF2|＝2，则△MF1F2
的面积是 。
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(本小题满分 12 分)
在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 cos
cos 2
B C a
C b c
。
(1)求角 A 的大小；
(2)若 a＝4 3 ，b＝4 2 ，求△ABC 的面积。
18.(本小题满分 12 分)
现有一种水上闯关游戏，共设有 3 个关口，如果在规定的时间内闯过了这 3 个关口，那么闯
关成功，否则闯关失败，结束游戏。假定小张、小王、小李闯过任何一个关口的概率分别为 2
3
，
1
2
， 1
2
，且各关口能否顺利闯过相互独立。
(1)求小张、小王、小李分别闯关成功的概率；
(2)记小张、小王、小李三人中闯关成功的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望。
19.(本小题满分 12 分)
如图，四边形 ABCD 为正方形，PA//CE，AB＝CE＝ 1
2
PA，PA⊥平面 ABCD。
(1)证明：PE⊥平面 DBE；
(2)求二面角 B－PD－E 的正弦值的大小。
20.(本小题满分 12 分)
已知抛物线 C：y2＝4x 的焦点为 F，过点 P(2，0)的直线 l 交抛物线 C 于 A(x1，y1)和 B(x2，y2)
两点。
(1)当 x1＋x2＝8 时，求直线 l 的方程；
(2)若过点 P(2，0)且垂直于直线 l 的直线 l'与抛物线 C 交于 M，N 两点，记△ABF 与△MNF
的面积分别为 S1 与 S2，求 S1S2 的最小值。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 g(x)＝ex－ax2－ax(a∈R)，h(x)＝ex－2x－lnx。
(1)若 f(x)＝h(x)－g(x)。
①讨论函数 f(x)的单调性；
②若函数 f(x)有两个不同的零点，求实数 a 的取值范围。
(2)已知 a>0，函数 g(x)恰有两个不同的极值点 x1，x2，证明：x1＋x2|x＋1|的解集；
(2)若关于 x 的不等式 f(x)≥mx＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围。