天津高三数学理科试题精选分类汇编8：解析几何

天津高三数学理科试题精选分类汇编8：解析几何

最新 2013 届天津高三数学理科试题精选分类汇编 8：解析几何 一、选择题 1. ．（天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）若直线 ： 与直线 ： 平行 ，则 的值为 （　　） A．1 B．1 或 2 C．-2 D．1 或-2 2.．（天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）倾斜角为 135°，在 轴上的截距为 的直线 方 程 是 （　　 ） A． B． C． D． 3. ．（天津市和平区 2013 届高三第一次质量调查理科数学）若抛物线 y2=ax 上恒有关于直线 x+y-1=0 对 称的两点 A，B，则 a 的取值范围是 （　　） A．( ，0) B．(0， ) C．(0， ) D． 4. ．（天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）己知抛物线方程为 ( ),焦点为 , 是坐标原点, 是抛物线上的一点, 与 轴正方向的夹角为 60°, 若 的 面 积 为 , 则 的 值 为 （　　 ） A．2 B． C．2 或 D．2 或 5. ．（ 2012-2013-2 天 津 一 中 高 三 年 级 数 学 第 四 次 月 考 检 测 试 卷 （ 理 ）） 已 知 椭 圆 的离心率为 .双曲线 的渐近线与椭圆 有四个交点， 以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 的方程为 （　　） A． B． C． D． 6. ．（天 津 市 滨 海 新 区 五 所 重 点 学 校 2013 届 高 三 联 考 试 题 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 双 曲 线 的左右焦点分别为 ,在双曲线右支 1l 2 8 0ax y+ − = 2l ( 1) 4 0x a y+ + + = a y 1− 01 =+− yx 01 =−− yx 01 =−+ yx 01 =++ yx 4 3 − 3 4 4 3 40 3( , ) ( , )−∞ +∞ 2 =2y px >0p F O A FA x OAF∆ 3 p 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1 2,F F 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 3 2 2 2 1x y− = C C 2 2 18 2 x y+ = 2 2 112 6 x y+ = 2 2 116 4 x y+ = 2 2 120 5 x y+ = 上存在一点 满足 且 ,那么双曲线的离心率是 （　　） A． B． C． D． 7.．（天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）设 F 是抛物线 的 焦点，点 A 是抛物线与双曲线 =1 的一条渐近线的一个公共点，且 轴，则双曲线的离心率为 （　　） A．2 B． C． D． 二、填空题 8. ．（天 津 耀 华 中 学 2013 届 高 三 年 级 第 三 次 月 考 理 科 数 学 试 卷 ） 若 ⊙ 与 ⊙ 相交于 A、B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是____________________； 9.．（天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷）已知双曲线 的左右 焦点为 ,P 为双曲线右支上的任意一点,若 的最小值为 8a,则双曲线的离心率的取 值范围是_________. 10.．（天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题）已知抛物线的参数方程为 ( 为参数),焦点为 ,准线为 , 为抛物线上一点, , 为垂足,如果直线 的斜率为 ,那么 _________ . 三、解答题 11.．（天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）已知中心在坐标原点, 焦点在 轴上的椭圆过点 ,且它的离心率 . (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)与圆 相切的直线 交椭圆于 两点,若椭圆上一点 满 足 ,求实数 的取值范围. P 1 2PF PF⊥ 1 2 6PF F π∠ = 2 3 3 1+ 5 1+ )0(2: 2 1 >= ppxyC 2 2 2 2 2 : b y a xC − )0,0( >> ba xAF ⊥ 3 2 5 5 5: 22 1 =+ yxO )(20)(: 22 2 RmymxO ∈=+− )0,0(12 2 2 2 >>=− bab y a x 21, FF || || 2 2 1 PF PF    = = ty tx 8 8 2 t F l P lPA ⊥ A AF 3− =PF x (2, 3)P 2 1=e 2 2( 1) 1x y− + = tkxyl +=： NM， C OCONOM λ=+ λ 12.．（天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））椭圆 E: + =1(a>b>0)离心率为 ,且过 P( , ). (1)求椭圆 E 的方程; (2)已知直线 l 过点 M(- ,0),且与开口朝上,顶点在原点的抛物线 C 切于第二象限的一点 N,直 线 l 与椭圆 E 交于 A,B 两点,与 y 轴交与 D 点,若 = , = ,且 + = ,求抛物线 C 的标准方程. 2 2 a x 2 2 b y 2 3 6 2 2 2 1 → AD λ → AN → BD µ → BN λ µ 2 5 O x y M N 13.．（天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴的距离的差都是 1. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 ﹤0? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 14.．（天津南开中学 2013 届高三第四次月考数学理试卷）设点 P 是曲线 C: 上的动点, 点 P 到点(0,1)的距离和它到焦点 F 的距离之和的最小值为 (1)求曲线 C 的方程 (2)若点 P 的横坐标为 1,过 P 作斜率为 的直线交 C 与另一点 Q,交 x 轴于点 M,过点 Q 且 与 PQ 垂直的直线与 C 交于另一点 N,问是否存在实数 k,使得直线 MN 与曲线 C 相切?若存在,求 出 k 的值,若不存在,说明理由. 15.．（2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））已知椭圆 的离心率为 ，直线 过点 ， ，且与椭圆 相切于点 .（Ⅰ）求椭圆 的方程；（Ⅱ）是否存在过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 、 ，使得 ?若存在，试求出直线 的方程；若不存在,请说明理 )0(22 >= ppyx 4 5 )0( ≠kk 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2 l (4,0)A (0,2)B C P C (4,0)A m C M N 236 35AP AM AN= ⋅ m FA FB⋅  由. 16. ．（天 津 市 滨 海 新 区 五 所 重 点 学 校 2013 届 高 三 联 考 试 题 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 设 椭 圆 的左、右焦点分别为 , 上顶点为 ,在 轴负半轴上有一点 ,满足 ,且 . (Ⅰ)求椭圆 的离心率; (Ⅱ) 是过 三点的圆上的点, 到直线 的最大距离等于 椭圆长轴的长,求椭圆 的方程; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过右焦点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点,线段 的中垂线 与 轴相交于点 ,求实数 的取值范围. 17.．（天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题）已知双曲线的中心在原点,对称轴为 )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC 1 2,F F A x B 1 1 2BF F F=  2AFAB ⊥ C D 2FBA 、、 D 033: =−− yxl C 2F k l C NM、 MN x )0,(mP m 1F 2F x y A OB 坐标轴,一条渐近线方程为 ,右焦点 ,双曲线的实轴为 , 为双曲线上一点 (不同于 ),直线 , 分别与直线 交于 两点 (1)求双曲线的方程; (2) 是否为定值,若为定值,求出该值;若不为定值,说明理由. 18.．（天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分 13 分）如图 F1、F2 为椭 圆 的 左 、 右 焦 点 ， D 、 E 是 椭 圆 的 两 个 顶 点 ， 椭 圆 的 离 心 率 ， .若点 在椭圆 C 上，则点 称为点 M 的一个“椭点”，直线 l 与椭圆交于 A、B 两点，A、B 两点的“椭点”分别为 P、Q. （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）问是否存在过左焦点 F1 的直线 l，使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该 直线的方程；若不存在，请说明理由. xy 3 4= )0,5(F 21 AA P 21, AA PA1 PA2 5 9: =xl NM , FNFM ⋅ 1: 2 2 2 2 =+ b y a xC 2 3=e 2 312 −=∆DEFS ),( 00 yxM ),( 00 b y a xN 最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 8：解析几何参考答案 一、选择题 1. 【答案】A 【解析】直线 的方程为 ，若 ，则两直线不平行，所以 ，要使两直线平 行，则有 ，由 ，解得 或 。当 时， ，所 以不满足条件，所以 ，选 A. 2. 【答案】D 【 解 析 】 直 线 的 斜 率 为 ， 所 以 满 足 条 件 的 直 线 方 程 为 ， 即 ，选 D. 3. C 4. A 5. D 6. 【 答 案 】 C 因 为 且 ， 所 以 , 又 ， 所 以 ， 即 双 曲 线 的 离 心 率 为 ，选 C. 7. 【答案】D 解：由题意知 ，不妨取双曲线的渐近线为 ，由 得 .因为 ，所以 ，即 ，解得 ，即 ，所以 ， 即 ，所以离心率 ，选 D. 二、填空题 8. 【答案】4 解 ： 由 题 知 ， 且 ， 又 ， 所 以 有 ，所以 . 1l 42 ay x= − + 1a = − 1a ≠ − 2 8 21 1 4 a a −= ≠ = −+ 2 1 1 a a = + 1a = 2a = − 2a = − 21 a = − 1a = tan135 1k = = − 1y x= − − 1 0x y+ + = ( ,0)2 pF by xa = 2 2 by xa y px  =  = 2 2 2pax b = xAF ⊥ 2A px = 2 2 2 2 pa px b = = 2 24b a= 2 2 2 24b a c a= = − 2 25c a= 2 5e = 5e = )0,(),0,0( 21 mOO 53||5 << m 21 AOAO ⊥ 525)52()5( 222 ±=⇒=+= mm 45 2052 =⋅⋅=AB 1 2PF PF⊥ 1 2 6PF F π∠ = 2 1, 3PF c PF c= = 1 2 3 2PF PF c c a− = − = 2 2( 3 1) 3 1 ( 3 1)( 3 1) c a += = = + − + 3 1+ 9. 10. 【答案】8 解 : 消 去 参 数 得 抛 物 线 的 方 程 为 . 焦 点 , 准 线 方 程 为 . 由 题 意 可 设 ,则 ,所以 .因为 ,所以 ,代入抛 物线 ,得 .,所以 . 三、解答题 11.解:(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为 由已知得: 解得 所以椭圆的标准方程为: (Ⅱ) 因为直线 : 与圆 相切 所以, 把 代入 并整理得: ┈7 分 设 ,则有 因为, , 所以, 又因为点 在椭圆上, 所以, ]3,1( 2 8y x= (2,0)F 2x = − ( 2, )A m− 0 32 2 4AF m mk −= = − = −− − 4 3m = lPA ⊥ 4 3Py = 2 8y x= 6Px = 6 ( 2) 8PF PA= = − − = )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 2 2 2 2 2 4 3 1 1 2 a b c a c a b  + =  =   = −  2 2 8 6 a b  = = 2 2 18 6 x y+ = l y kx t= + 2 2( 1) 1x y− + = 2 2 11 2 ( 0) 1 t k tk ttk + −= ⇒ = ≠ + tkxy += 2 2 18 6 x y+ = 2 2 2(3 4 ) 8 (4 24) 0k x ktx t+ + + − = ),(,),( 2211 yxNyxM 221 43 8 k ktxx +−=+ 2212121 43 62)( k ttxxktkxtkxyy +=++=+++=+ ),( 2121 yyxxOC ++=λ       ++ − λλ )43( 6,)43( 8 22 k t k ktC C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 6 1(3 4 ) (3 4 ) k t t k kλ λ+ =+ + 因为 所以 所以 ,所以 的取值范围为 12. 【解析】 解. (1) 点 P( , )在椭圆 上 (2)设 的方程为 直线与抛物线 C 切点为 , 解得 , , 代入椭圆方程并整理得: 则 方程(1)的两个根, 由 , , , 2 2 2 2 2 2 2 2 1 13 4 ( ) ( ) 1 t k t t λ⇒ = =+ + + 02 >t 11)1()1( 2 2 2 >++ tt 20 2λ< < λ ( 2 , 0) (0, 2 )−  ANAD λ= BNBD µ= 1 1 1 x x +=λ 2 2 1 x x +=µ 23 11- 22 2 be e a ba = = = ∴ = ， ， ， 2 2 2 2 14 x y b b + =代 入 椭 圆 方 程 得 ： ， 2 2 24 4 0x y b+ − =化为  6 2 2 E 2 2 26 2 4 0 2 8b b a+ − = ∴ = =， ， 2 2 18 2 x y∴ + =椭 圆 E方 程 为 ， 抛 物 线 C 2 0y ax a= >（ ）， 2 0 0( , )x ax 2 0 0 0 02 , 2 , 2 ( )y ax l ax l ax ax x x′ = ∴ = − 直 线 的 斜 率 为 的 方 程 为 y- 0 0 0 0 0 0 2 21 1( , 0), 2 ( ), ( , ) 02 2l ax ax x N x ax x− ∴ − = − − ∴ < 直 线 过 在 第 二 象 限 , 0 1x = − ( 1, )N a∴ − l直 线 的 方 程 为 : 2y a x a= − − 2 2 2 2(1 16 ) 16 4 8 0 (1)a x a x a+ + + − =  1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y设 、 1 2x x、 是 2 2 1 2 1 22 2 4 8 16 1 16 1 16 a ax x x xa a − −= + =+ +则 ， 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 8 16 1 1 1 7 4 x x x x x x a x x x x x x a λ µ + + ++ = = =+ + + + + −+ ,解得 13.本题主要考查直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质等基础知识,同时考查推理运算的能力. 解:(I)设 P 是直线 C 上任意一点,那么点 P( )满足: 化简得 (II)设过点 M(m,0) 的直线 与曲线 C 的交点为 A( ),B( ) 设 的方程为 ,由 得 , . 于是 ① 又 ② 又 ,于是不等式②等价于 ③ 由①式,不等式③等价于 ④ 对任意实数 t, 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于 ,即 由此可知,存在正数 m,对于过点 M( ,0)且与曲线 C 有 A,B 两个交点的任一直线,都有 ,且 m 的取值范围是 5 2 λ µ+ = ∴ ， 2 2 8 16 5 7 4 2 a a + =− 3 30,6 6a a a= ± > ∴ =， 2 23 , 2 36y x x y∴ = =抛 物 线 C的 方 程 为 其 标 准 方 程 为 ),( yx yx, )0(1)1( 22 >=−+− xxyx )0(42 >= xxy )0( >m l 11, yx 22 , yx l mtyx +=    = += x42y mtyx 0442 =−− mtyy 0)(16 2 >+=∆ mt    −= =+ myy tyy 4 4 21 21 ),1(),,1( 2211 yxFByxFA −=−= 01)()1)(1(0 2121212121 <+++−=+−−⇔<⋅ yyxxxxyyxxFBFA 4 2yx = ⋅ 4 2 1y 01)44(4 2 2 2 1 21 2 2 <++−+ yyyyy 01]2)[(4 1 16 )( 21 2 2121 2 21 <+−+−+⇔ yyyyyyyy 22 416 tmm <+− 24t 0162 <+− mm 223223 +<<− m m 0<⋅ FBFA )223,223( +− 14.解:(1)依题意知 ,解得 ,所以曲线 C 的方程为 (2)由题意设直线 PQ 的方程为: ,则点 由 , ,得 , 所以直线 QN 的方程为 由 , 得 所以直线 MN 的斜率为 过点 N 的切线的斜率为 所以 ,解得 故存在实数 k= 使命题成立. 15. （Ⅰ）由题得过两点 ， 直线 的方程为 . 因为 ，所以 ， . 设椭圆方程为 ,………2 分 由 消去 得， .又因为直线 与椭圆 相切,所以 4 5 21 =+ p 2 1=p 2xy = 1)1( +−= xky      − 0,11 kM    = +−= 2 1)1( xy xky 012 =−+− kkxx ( )2)1(,1 −− kkQ )1(1)1( 2 +−−=−− kxkky    = +−−=−− 2 2 )1(1)1( xy kxkky 0)1(111 22 =−−+−+ kkxkx            −−−− 211,11 kkkkN k kk kkk kk kMN 22 11 1111 11      −− −=      −−     −−      −− =      −− kk 112      −−=      −− kkk kk 112 11 2 2 51±−=k 2 51±− (4,0)A (0,2)B l 2 4 0x y+ − = 1 2 c a = 2a c= 3b c= 2 2 2 2 14 3 x y c c + = 2 2 2 2 2 4 0, 1,4 3 x y x y c c + − = + = x 2 24 12 12 3 0y y c− + − = l C ………4 分 ………6 分 ………8 分 又直线 与椭圆 相切， 由 解得 ，所以 …………10 分 则 . 所以 . 又 所以 ，解得 .经检验成立. 所以直线 的方程为 .………14 分 16. 【解】(Ⅰ)连接 ,因为 , ,所以 , 即 ,故椭圆的离心率 (其他方法参考给分) (Ⅱ)由(1)知 得 于是 , , : 2 4 0l x y+ − = 2 2 : 14 3 x yC + = 2 2 2 4 0, 1,4 3 x y x y + − = + = 31, 2x y= = 3(1, )2P 2 45 4AP = 36 45 81 35 4 7AM AN⋅ = × = 2 2 2 2 1 1 2 2(4 ) (4 )AM AN x y x y⋅ = − + ⋅ − + 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2(4 ) (4 ) (4 ) (4 )x k x x k x= − + − ⋅ − + − 2 1 2( 1)(4 )(4 )k x x= + − − 2 1 2 1 2( 1)( 4( ) 16)k x x x x= + − + + 2 2 2 2 2 64 12 32( 1)( 4 16)3 4 3 4 k kk k k −= + − × ++ + 2 2 36( 1) .3 4k k = + + 2 2 36 81( 1) 3 4 7k k + =+ 2 4k = ± m 2 ( 4)4y x= ± − 1AF 2AFAB ⊥ 211 FFBF = 1 1 2AF F F= 2a c= 2 1=e ,2 1= a c ac 2 1= 2 1( ,0)2F a 3( ,0)2 aB − 的外接圆圆心为 ),半径 到直线 的最大距离等于 ,所以圆心到直线的距离为 , 所以 ,解得 所求椭圆方程为 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知 , : 代入消 得 因为 过点 ,所以 恒成立 设 , 则 , 中点 当 时, 为长轴,中点为原点,则 当 时 中垂线方程 . 令 , , , 可得 综上可知实数 的取值范围是 17. (1) (2) Rt ABC∆ 1 1( ,0)2F a− 2 1 | |2r F B a= = D 033: =−− yxl 2a a a a = −− 2 |32 1| 2, 1, 3a c b= ∴ = = 134 22 =+ yx )0,1(2F l )1( −= xky    =+ −= 134 )1( 22 yx xky y 01248)43( 2222 =−+−+ kxkxk l 2F 0∆ > ),( 11 yxM ),( 22 yxN 2 2 21 43 8 k kxx +=+ 1 2 1 2 2 6( 2) 3 4 ky y k x x k −+ = + − = + MN 2 2 2 4 3( , )3 4 3 4 k k k k − + + 0k = MN 0m = 0k ≠ MN 2 2 2 3 1 4( )3 4 3 4 k ky xk k k + = − −+ + 0y = 43 1 43 2 2 2 + =+=∴ k k km 2 3 0k > 2 1 4 4k + > 4 10 <<∴ m m 1[0, )4 2 2 19 16 x y− = 1 2 0 9( 3,0), (3,0), (5,0) ( , ), ( , )5A A F P x y M y− 设 1 1 0 24( 3, ), ( , )5A P x y A M y∴ = +  因为 三点共线 ,同理 18.解：（1）由题意得 ，故 ， ， 故 ，即 a=2，所以 b=1，c= ，故椭圆 C 的标准方程为 . （2）①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 联立 解得 或 ，不妨令 ， 所以对应的“椭点”坐标 .而 . 所以此时以 PQ 为直径的圆不过坐标原点. ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 联立 ，消去 y 得： 设 ，则这两点的“椭点”坐标分别为 ，由根与系数的 关系可得： ， 若使得以 PQ 为直径的圆经过坐标原点，则 OP⊥OQ， 1, ,A P M 0 0 24 24( 3) 05 5 15 yx y y y x ∴ + − = ∴ = + 9 24( , )5 5 15 yM x ∴ + 9 6( , )5 5 15 yN x − − 16 24 16 6( , ), ( , )5 5 15 5 5 15 y yFM FNx x ∴ = − = − −+ −   2 2 256 144 25 25 9 yFM FN x ⋅ = − ⋅ −   2 2 16 9 9 y x =− 0FM FN∴ ⋅ =  2 3== a ce abac 2 1,2 3 == 2 31)2 31(4 1 2)2 3(2 1)(2 1 2 2 −=−×=×−=×−×=∆ aaaabcaS DEF 42 =a 3 14 2 2 =+ yx 3−=x    =+ −= 14 3 2 2 yx x    = −= 2 1 3 y x    −= −= 2 1 3 y x )2 1,3(),2 1,3( −−− BA )2 1,2 3(),2 1,2 3( −−− QP 02 1 ≠=⋅OQOP )3( += xky    =+ += 14 )3( 2 2 yx xky 041238)14( 2222 =−+++ kxkxk ),(),,( 2211 yxByxA ),2(),,2( 2 2 1 1 yxQyxP 14 38 2 2 21 + −=+ k kxx 14 412 2 2 21 + −= k kxx 而 ，因此 ， 即 即 =0，解得 所以直线方程为 或 ),2(),,2( 2 2 1 1 yxOQyxOP == 0=⋅OQOP 0422 21 21 21 21 =+=+× yyxxyyxx 14 12 2 2 + − k k 2 2±=k 2 6 2 2 += xy 2 6 2 2 −−= xy