高中数学第一章导数及其应用1_7定积分的简单应用学案新人教A版选修2_2
定积分的简单应用
[思考 1] 如图①②③是由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a
a)所围成的
平面图形，如何利用定积分求图形的面积 S?
名师指津：图④中 S＝错误![f(x)－g(x)]dx；图⑤中 S＝错误![f(x)－g(x)]dx.
讲一讲
1．计算曲线 y＝x2－2x＋3 与直线 y＝x＋3 所围成图形的面积．(链接教材 P56－例 1)
[尝试解答] 由
y＝x＋3，
y＝x2－2x＋3，
解得 x＝0 或 x＝3.如图．
因此所求图形的面积为
S＝错误!(x＋3)dx－错误!(x2－2x＋3)dx
＝错误![(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝错误!(－x2＋3x)dx
＝
－1
3
x3＋3
2
x2
3
0
＝9
2
.
求不分割型图形面积的一般步骤如下：
同时，要注意被积函数是图形上边界对应的函数与下边界对应的函数的差．否则，有可
能得面积是负的．
练一练
1．求曲线 y＝ex，y＝e－x 及 x＝1 所围成的图形面积．
解：
作图，并由
y＝ex，
y＝e－x，
解得交点(0,1)．所求面积为错误!(ex－e－x)dx
＝(ex＋e－x)|1
0＝e＋1
e
－2.
[思考] 下图是由三条曲线 y＝f(x)、y＝g(x)和 y＝h(x)围成的图形，且在[a，c]上，
f(x)≥g(x)，在[c，b]上，f(x)≥h(x)．
还能用[讲 1]的方法求该图形的面积吗？如果不能，该如何求解？
名师指津：不能．S＝错误![f(x)－g(x)]dx＋错误![f(x)－h(x)]dx.
讲一讲
2．(链接教材 P57－例 2)求曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－1
3
x 所围成的图形的面积．
[尝试解答] 画出草图，如图所示．
解方程组 y＝ x，
x＋y＝2，
y＝ x，
y＝－1
3
x，
及
x＋y＝2，
y＝－1
3
x， 得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
＝错误!
x＋1
3
x
dx＋错误!
2－2
3
x
dx
＝
2
3
x3
2
＋1
6
x2
|1
0＋
2x－1
3
x2
|3
1
＝2
3
＋1
6
＋6－1
3
×9－2＋1
3
＝13
6
.
法二：若选y 为积分变量，则三个函数分别为 x＝y2，
x＝2－y，x＝－3y.
因为它们的交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)．
＝－(－2＋1)＋2－1
2
－1
3
＝13
6
.
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间内位于上方和下方的曲
线有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然
后对各个区间分别求面积进而求和，在每个区间上被积函数均是由上减下．若积分变量选取
x 运算较为复杂，可以选 y 为积分变量，被积函数改为 y 的函数，同时更改积分的上下限．
练一练
2．求曲线 xy＝1 及直线 y＝x，y＝3 所围成图形的面积．
解：如图所示，由
xy＝1，
y＝x，
得 A 点坐标为(1,1)；由
xy＝1，
y＝3，
得 B 点坐标为
1
3
，3
；
由
y＝x，
y＝3，
得 C 点坐标为(3,3)．
法一：以 x 为积分变量，所求阴影部分的面积为
＝2－ln 3＋2
＝4－ln 3.
法二：以 y 为积分变量，所求阴影部分的面积为
S＝错误!
y－1
y dy＝
1
2
y2－ln y |3
1
＝4－ln 3.
[思考] 若做变速直线运动的物体的速度函数为 v＝v(t)(v(t)≥0)，则它在 t＝a 到 t
＝b(b>a)的时间段内所经过的路程 s 是多少？
提示：s＝错误!v(t)dt.
讲一讲
3．(链接教材 P58－例 3)有一动点 P 沿 x 轴运动，在时间 t 时的速度为 v(t)＝8t－2t2(速
度的正方向与 x 轴正方向一致)．求：
(1)P 从原点出发，当 t＝6 时，求点 P 移动的路程和离开原点的位移；
(2)P 从原点出发，经过时间 t 后又返回原点时的 t 值．
[尝试解答] (1)由 v(t)＝8t－2t2≥0 得 0≤t≤4，
即当 0≤t≤4 时，P 点向 x 轴正方向运动，
当 t>4 时，P 点向 x 轴负方向运动．
故 t＝6 时，点 P 移动的路 程
＝
4t2－2
3
t3
|4
0－
4t2－2
3
t3
|6
4＝128
3
.
当 t＝6 时，点 P 的位移为
即 4t2－2
3
t3＝0，
解得 t＝0 或 t＝6，
t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况，t＝6 是从原点出发，又返回原点所用的时
间．
做变速直线运动的物体，从时刻 t＝a 到时刻 t＝b(a0 时，若 00，所以 a＝2.
若 a>2，不符合题意．
综上，a＝－1 或 2.
题组 2 分割型图形面积的求解
5．如图，阴影部分是由曲线 y＝1
x
，y2＝x 与直线 x＝2，y＝0 围成，则其面积为________．
解析：S＝错误! xdx＋错误!
1
x
dx
＝2
3
＋ln 2.
答案：2
3
＋ln 2
6．求抛物线 y2＝2x 和直线 y＝－x＋4 所围成的图形的面积．
解：先求抛物线和直线的交点，解方程组
y2＝2x，
y＝－x＋4，
求出交点坐标为 A(2,2)和 B(8，－4)．
法一：选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为
S＝S1＋S2＝2错误! 2xdx＋错误!( 2x－x＋4)dx
法二：选 y 作积分变量，则 y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为
＝18.
题组 3 求变速直线运动的路程
7．一辆汽车以 v＝3t2 的速度行驶，这辆汽车从 t＝0 到 t＝3 这段时间内所行驶的路程
为( )
错误! B．1 C．3 D．27
8．A、B 两站相距 7.2 km，一辆电车从 A 站开往 B 站，电车开出 t s 后到达途中 C 点，
这一段的速度为 m/s，到 C 点的速度为 24 m/s，从 C 点到 B 点前的 D 点以等速行驶，从 D
点开始刹车，速度为(24－m/s，经 t s 后，在 B 点恰好停车，试求：
(1)A、C 间的距离；
(2)B、D 间的距离．
解：(1)设 A 到 C 的时间为 t1，
则＝24，t1＝20 (s)，
(2)设 D 到 B 的时间为 t2，
则 24－＝0，t2＝20(s)，
则|DB|＝∫20
0 (24－dt
＝(24t－︱20
0 ＝240(m)．
题组 4 求变力做功
9．做直线运动的质点在任意位置 x 处，所受力 F(x)＝1＋ex，则质点沿着与 F(x)相同
的方向，从点 x1＝0 处运动到点 x2＝1 处，力 F(x)所做的功是( )
A．1＋e B．e
错误! D．e－1
解析：选 B W＝错误!(1＋ex)dx＝(x＋ex)︱1
0＝e.
10．一物体在力 F(x)(单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向运动，力—位移曲线如图
所示．求该物体从 x＝0 处运动到 x＝4(单位：m)处力 F(x)做的功．
解：由力—位移曲线可知 F(x)＝
10，0≤x≤2，
3x＋4，2sin x.在
π
4
，5π
4 上，sin x>cos x.
8．已知函数 f(x)＝ex－1，直线 l1：x＝1，l2：y＝et－1(t 为常数，且 0≤t≤1)，直线
l1，l2 与函数 f(x)的图象围成的封闭图形，以及直线 l2，y 轴与函数 f(x)的图象围成的封闭
图形如图中阴影部分所示．求当 t 变化时，阴影部分的面积的最小值．
解：S1 ＋S2 ＝错误!(et －1－ex ＋1)dx＋错误!(ex －1－et ＋1)dx＝错误!(et －ex)dx＋
错误!(ex－et)dx＝(xet－ex)︱t
0＋(ex－xet)︱1
t＝(2t－3)et＋e＋1，取 g(t)＝(2t－3)et＋e＋
1(0≤t≤1)，令 g′(t)＝0，解得 t＝1
2
.当 t∈
0，1
2 时，g′(t)<0，g(t)是减函数；当
t∈
1
2
，1
时，g′(t)>0，g(t)是增函数，因此 g(t)的最小值为 g
1
2 ＝e＋1－2e1
2
＝( e－1)2.
故阴影部分面积的最小值为( e－1)2.
