数学理卷·2018届江西省赣州市崇义中学高二上学期第三次月考（2016-12）

数学理卷·2018届江西省赣州市崇义中学高二上学期第三次月考（2016-12）

崇义中学 2016 年下学期高二理科第三次月考 数学试题 本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 试卷满分：150 分 考试时量：120 分钟 考试时间：2016 年 12 月 一、选择题（本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1、设命题 p ： 2, 2nn N n   ，则 p 为（ ） A、 2, 2nn N n   B、 2, 2nn N n   C、 2, 2nn N n   D、 2, =2nn N n  2、下列命题是真命题的为（ ） A、若 x y ,则 2 2x y B、若 2 1x  ,则 1x  C、若 x y ,则 x y D、若 1 1 x y  ,则 x y 3、若 ,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“ l m ”是“ / /l  的 （ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 4、将容量为 n 的样本中的数据分成 6 组. 绘制频率分步直方图.若第一组至第六组数据的频 率 之比为 2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于 27，则 n 等于( ) A、50 B、55 C、60 D、70 5、如图，在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，若 1AB AA 4  ，点 D 是 1AA 的中点，则点 1A 到平面 1DBC 的距离是（ ） A、 2 B、 2 2 C、 2 3 D、 2 4 6、已知正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2AA AB ，E 为 1AA 中点，则异面直线 BE 与 1CD 所成的角的余弦值为（ ） A、 10 10 B、 1 5 C、 3 5 D、 3 10 10 7 、 过 球 面 上 三 点 , ,A B C 的 截 面 和 球 心 的 距 离 是 球 半 径 的 一 半 ， 且 6, 8, 10AB BC AC   ， 则球的表面积是（ ） A、100 B、300 C、100 3  D、 400 3  8、阅读如下程序框图，如果输出 4i ，那么空白的判断框中应填入的条件是（ ） A、 8s B、 9s C、 10s D、 11s 9、甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才所想的数字， 把乙猜的数字记为b ，其中  , 1,2,3,4,5,6a b ，若 1a b  ，就称甲乙“心相近”． 现任意找两人玩这个游戏,则他们“心相近”的概率为（ ） A、 1 9 B、 2 9 C、 7 18 D、 4 9 10、点 ,A F 分别是椭圆 2 2 : 116 12 x yC   的左顶点和右焦点, 点 P 在椭圆 C 上, 且 PF AF ,则 AFP 的面积为（ ） A、 6 B、 12 C、 9 D、18 11、如图，已知直线l ： ( 1)( 0)y k x k   与抛物线 2: 4C y x 相交于 A、B 两点， 且 A、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是 M 、 N ，若| | 2 | |AM BN ， 则 k 的值是（ ） A、 1 3 B、 2 3 C、 2 23 D、 2 2 12、已知椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的左、右焦点分别为 1 2( ,0), ( ,0)F c F c ，若 椭圆上存在点 P 使 1 2 2 1sin sin a c PF F PF F   成立，则椭圆 C 离心率的范围是（ ） A、 ( 2 1,1) B、 (0, 2 1) C、 2( 2 1, )2  D、 3 2,3 2       二、填空题：（本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13、已知向量    2, 1,2 , 4,2,a b m     ，若 a b  ，则 m = . 14、抛物线的顶点在原点，准线方程为 2x   ，则抛物线的方程是 . 15、已知 1 2,F F 是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的两个焦点， P 为椭圆C 上一点，且 1 2 60F PF   ，若 1 2PF F 的面积为 3 3 ，则b  ____________. 16、下列有关命题的说法正确的序号是_______． ①棱锥的所有面可能都是直角三角形；②若 / /m  ， m n ，则 n  ③若 ba  ，则 ),,(22 Rcbabcac  ”的逆否命题为真命题； ④ p ：方程 2 1 0x mx   有两个不等的负实根； q ： 3m ,则 p 的充分不必要条件为 q ⑤“若 2 3 2 0x x   ，则 1 2x x 或 ”的逆否命题为：“若 1 2x x 且 ，则 2 3 2 0x x   ” 三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分） 17（本小题满分 10 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧 棱 1AA  底面 ABC ，底面 ABC 为等边三角 形， ,E F 分别是 1,BC CC 的中点． 求证：（1） / /EF 平面 1 1A BC ； （2）平面 AEF  平面 1 1BCC B . 18（本小题满分 12 分） 已知命题 p ： 1)34( 2 x ；命题 q ： 0)1()12(2  aaxax ，若 p 是 q 的必要不 充分条件，求实数 a 的取值范围. 19（本小题满分 12 分） 设关于 x 的一元二次方程 2 22 0x ax b   . （1）若 a 是从 0 、1、 2 、3四个数中任取的一个数，b 是从 0 、1、 2 三个数中任取的一 个数，求上述方程有实根的概率； （2）若 a 是从区间 0,3 任取的一个数，b 是从区间 0,2 任取的一个数，求上述方程有实 根的概率. 20（本小题满分 12 分）已知抛物线 2: 4C y x 与直线 2 4y x  交于 A B, 两点. (Ⅰ)求弦 AB 的长度； (Ⅱ)若点 P 在抛物线 C 上，且 ABP 的面积为12 ，求点 P 的坐标. 21 （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 如 图 , 三 棱 柱 1 1 1ABC A BC 中, 1 1 2AB AC AA BC    , 0 1 1 60AA C  , 平面 1ABC  平面 1 1AAC C ， 1AC 与 1AC 相交于点 D . （1）求证： 1BD AC ；（2）求二面角 1C AB C  的余弦值. 22（本小题满分 12 分）设 )0(1),(),,( 2 2 2 2 2211  ba b x a yyxByxA 是椭圆 上的两点， 已知向量 1 1( , )x y b a m ， 2 2( , )x y b a n ,若 0 nm 且椭圆的离心率 ,2 3e 短轴长为 2， O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若直线 AB 过椭圆的焦点 (0, )F c ，（ c 为半焦距），求直线 AB 的斜率 k 的值； （Ⅲ）试问： AOB 的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由 崇义中学 2016 年下学期高二理科第三次月考数学试题 参考答案 一、选择题 1-5 CDBCA 6-10 DDBDC 11-12 CA 5 解：利用等体积法进行转换，则 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A -DBC C -DBA 1 1 A -DBC DBC A DBC V V C DBA 2 3 4 1V =4 2 3 8 3 h S h 4 2 2 3 2 h 2              到平面 的距离h,即 而点 到平面 的距离为 ，底面积为 7 试题分析：根据题意 ABC 是直角三角形，且斜边上的中线为5，又因为球心的射影为斜 边的 中点，设球的半径为 r ，则有 222 5)2(  rr ， 3 1002 r ，  3 4004 2  rS球 ，故 选 D． 10 试题分析：因为 ,A F 分别是椭圆 2 2 : 116 12 x yC   的左顶点和右焦点, 点 P 在椭圆 C 上, 且 PF AF ， 所以， AFP 为直角三角形， 2x  时，可得 12 34y   ，即 3PF  ，又 因为 4 2 6AF    ，所以 AFP 面积为 1 1 6 3 92 2S AF PF       ，故选 C． 考点：1、椭圆的标准方程及几何性质；2、三角形面积公式． 11 试题分析：设 ( , )B x y ，直线 ( 1)y k x  过定点 ( 1,0) 在抛物线的上， 则由 2AM BN 得 (2 1,2 )A x y ，所以 2 2 4 4 4(2 1) y x y x     ， 解得 1 2 2 x y     ， 2 0 2 2 1 3( 1)2 k     ． 二、填空题： 13、 5 14、 2 8y x 15、3 16、 ① 三、解答题： 17、试题解析：（1）因为 ,E F 分别为 1,BC CC 的中点，所以 1/ /EF BC . 又因为 1BC  平面 1 1A BC ， EF  平面 1 1A BC ，所以 / /EF 平面 1 1A BC . （2）因为三棱柱 1 1 1ABC A B C 是直三棱柱， 所以 1BB  平面 ABC ，又 AE  平面 ABC ，所以 1AE BB . 又因为 ABC 为正三角形， E 为 BC 的中点，所以 AE BC . 又 1BB BC B ，所以 AE  平面 1 1BCC B . 又 AE  平面 AEF ，所以平面 AEF  平面 1 1BCC B . 18、 设 ， 易知 ． 由 是 的必要不充分条件，从而 是 的充分不必要条件，即 ， ，故所求实数 的取值范围是 ． 19、试题解析：设事件 A 为“方程 2 22 0x ax b   有实根”， 当 0a  ， 0b  时，方程 2 22 0x ax b   有实根的充要条件为 a b . （1）基本事件共12 个： 0,0 、 0,1 、  0,2 、 1,0 、 1,1 、 1,2 、  2,0 、  2,1 、 2,3 、  3,0 、 3,1 、 3,2 ， 其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件 A 中包含9个基本事件， 故事件 A 发生的概率为   9 3 12 4P A   ； （2）试验的全部结束所构成的区域为   , 0 3,0 2a b a b    ， 构成事件 A 的区域为   , 0 3,0 2,a b a b a b     ， 所以所求的概率为 P 213 2 2 22 3 2 3      . 20、【解析】 (Ⅰ)设 A（x1,y1)、B(x2,y2), 由 2 2 4 4 y x y x     得 x2-5x+4=0,Δ>0. 又由韦达定理有 x1+x2=5,x1x2= 4 , ∴|AB|= 2 1 21 2 | |x x  = 2 2 1 2 1 21 2 ( ) 4 5 25 16 3 5,x x x x        法二：解方程得：x=1 或 4，∴A、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4） ∴|AB|= 2 2(4 1) (4 2) 3 5,    (Ⅱ)设点 2 ( , )4 o o yP y ,设点 P 到 AB 的距离为 d,则 2 42 5 o o y y d    ,∴S△PAB= 2 1 · 53 · 2 42 5 o o y y  =12，∴ 2 4 82 o o y y   . ∴ 2 4 82 o o y y    ，解得 6oy  或 4oy   ∴P 点为（9，6）或（4，-4）. 21、解析：（1）已知侧面 1 1AAC C 是菱形， D 是 1AC 的中点，∵ 1BA BC ，∴ 1BD AC ∵平面 1ABC  平面 1 1AAC C ，且 BD  平面 1ABC ，平面 1ABC 平面 1 1AAC C 1AC ， ∴ BD  平面 1 1AAC C ， 1BD AC . （2）如图，以 D 为原点，以 D A ， D B ， D C 所在直线分别为 x 轴， z 轴， y 轴建立 空间直角坐标系，由已知可得 1 2AC  ， 1AD  ， 1 3BD A D DC   ， 6BC  ∴ (0, 0, 0)D ， (1, 0, 0)A ， (0,0, 3)B ， 1( 1,0,0)C  ， (0, 3,0)C ， 设平面 A B C 的一个法向量是 ( , , )m x y z ， ( 1,0, 3)AB   ， (0, 3, 3)BC   由 0A B m   ， 0B C m   , 得 3 0 3 3 0 x z y z      ，可得 ( 3,1,1)m  ∵平面 1ABC  平面 1 1AAC C ， 1 1AC AC ，∴CD  平面 1ABC ， ∴平面 1ABC 的一个法向量是 (0,1,0)DC  , ∴ 5cos , 5 m DCm DC m DC        ，即二面角 1C AB C  的余弦值是 5 5 . 22、试题解析：（Ⅰ） 2 2 32 2. 1, 2,c 32 c a bb b e aa a         椭圆的方程为 14 2 2  xy ………3 分 （Ⅱ）由题意，设 AB 的方程为 3 kxy 所以   01324 14 3 22 2 2       kxxk xy kxy 所以 4 1,4 32 221221  kxxk kxx ，由已知 0 nm 得：      4 3 4 3 41334 1 2121 2 21212 21 2 21        xxkxxkkxkxxxa yy b xx 2 2 2 4 1 3 2 3 3( ) 0, 24 4 4 4 4 k k k kk k           解得 ………7 分 （Ⅲ）（1）当直线 AB 斜率不存在时，即 1 2 1 2,x x y y   ,由 0 nm 2 2 2 21 1 1 10 44 yx y x    又 1 1( , )A x y 在椭圆上，所以 2,2 214 4 11 2 12 1  yxxx 1 1 2 1 1 1 1 2 12 2s x y y x y    ． 所以三角形的面积为定值．………9 分 （2）当直线 AB 斜率存在时：设 AB 的方程为 y=kx+b 4 2042)4( 14 221 222 2 2        k kbxxbkbxxk xy bkxy 得到 ， 4 4 2 2 21   k bxx :04 ))((04 21 21 21 21 代入整理得 bkxbkxxxyyxx 2 22 4b k  2 2 2 1 2 1 2 22 1 1 | | 4 4 16| | ( ) 42 2 41 b b k bS AB b x x x x kk        1||2 4 2  b b 所以三角形的面积为定值．………12 分