山东省烟台市招远第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

山东省烟台市招远第一中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷

高一数学 注意事项：‎ ‎1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.‎ ‎2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上.‎ ‎3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1.设复数（i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的乘法运算可得到结果.‎ ‎【详解】复数，对应的点坐标为，在第一象限.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了，属于基础题．‎ ‎2.若向量，，与共线，则实数k的值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出与的坐标表示，然后再按照向量共线的条件列出方程求解即可.‎ ‎【详解】，，‎ 因为与共线，所以有，解之得：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.已知正三角形的边长为，那么的直观图的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出原图和直观图，然后求面积.‎ ‎【详解】如图，直观图的底边长度为原图形的底边长，高为原图形的高的一半乘以，故其直观图面积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了斜二测画法及平面直观图的面积，熟记作图原则是关键，属于基础题.‎ ‎4.在中，，，，则此三角形（ ）‎ A. 无解 B. 两解 C. 一解 D. 解的个数不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理列出关系式，把a，b，的值代入求出的值，即可做出判断．‎ ‎【详解】∵在中，，，，‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ 又∵，‎ ‎∴此三角形有两解．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角形解的情况，解题关键是能够熟练掌握正弦定理，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.‎ ‎5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出圆柱的底面圆的半径，再求圆柱的表面积.‎ ‎【详解】由题得圆柱的底面圆的半径为，‎ 所以圆柱的侧面积为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查球的内接圆柱问题，考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象观察能力，关键在于求出圆柱的底面圆的半径，属于中档题.‎ ‎6.在平行四边形中，点N为对角线上靠近A点的三等分点，连结并延长交于M，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再把代入化简即得解.‎ ‎【详解】‎ 如图，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查数乘向量和向量的减法法则，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（ ）‎ A. 17斛 B. 25斛 C. 41斛 D. 58斛 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．‎ ‎【详解】解：设圆锥的底面半径为，则，‎ 解得，‎ 故米堆的体积为，‎ 斛米体积约为1.62立方尺，‎ ‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查锥体的体积的计算，属于基础题．‎ ‎8.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知，，，，，则的长为（ ）‎ A. B. ‎5 ‎C. D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在中，由正弦定理求出，再根据诱导公式求出，最后在中，由余弦定理计算可得；‎ ‎【详解】解：在中，由正弦定理可得，即 所以，又因为，所以 在中，由余弦定理可得 即 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，属于基础题.‎ 二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.在复平面内，下列说法正确的是（ ）‎ A. 若复数（i为虚数单位），则 B. 若复数z满足，则 C. 若复数，则z为纯虚数的充要条件是 D. 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆 ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算及相关概念一一判断可得；‎ ‎【详解】解：对于A：，，，所以，故A正确；‎ 对于B：设，，所以，若，则，则或或，当时，故B错误；‎ 复数，则z为纯虚数的充要条件是且，故C错误；‎ 若复数z满足，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，故D正确；‎ 故选：AD ‎【点睛】本题考查复数的运算及相关概念的理解，属于基础题.‎ ‎10.下列叙述错误的是（ ）‎ A. 已知直线和平面，若点，点且，，则 B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C. 若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交 D. 若直线和不平行，且，，，则l至少与，中的一条相交 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线线关系、线面关系性质定理及判定定理判断可得；‎ ‎【详解】解：由公理一，可知A正确；‎ 若三条直线相交于一点，则三条直线不能唯一确定一个平面，故B错误；‎ 若直线不平行于平面，且，则与平面相交，设交点为，则平面中所有过点的直线均与直线相交，故C错误；‎ 若直线和不平行，且，，，‎ 所以直线和异面 与共面，与共面，‎ 可以与平行或相交，可以与平行或相交，‎ 但是一定不能同时平行，若两条直线与同时平行，‎ 则和平行，与两条直线是异面直线矛盾，‎ 至少与和中的一条相交，故D正确；‎ 故选：BC．‎ ‎【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，本题解题的关键是理解两条直线在空间中所有的关系就只有三种，属于中档题．‎ ‎11.下列结论正确的是（ ）‎ A. 在中，若，则 B. 在锐角三角形中，不等式恒成立 C. 在中，若，，则为等腰直角三角形 D. 在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项A，利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A正确；对选项B ‎，利用余弦定理，即可判断B正确，对选项C，首先根据余弦定理得到，利用正弦定理边化角公式得到，再化简即可判断选项C正确.对选项D，首先利用面积公式得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理即可判断D错误.‎ ‎【详解】对选项A，在中，由，‎ 故A正确.‎ 对选项B，若，则，‎ 又因为，所以为锐角，符合为锐角三角形，故B正确.‎ 对选项C，，整理得：.‎ 因为，所以，即.‎ 所以，即，‎ ‎，‎ 即，又，所以.‎ 故，则为等腰直角三角形，故C正确.‎ 对选项D，，解得.‎ ‎，‎ 所以.‎ 又因为，，故D错误.‎ 故选：ABC ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的综合应用，熟练掌握公式为解题的关键，属于中档题.‎ ‎12.在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. 若，则是在的投影向量 D. 若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为 ‎【答案】BCD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项A，B，利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C，首先根据已知得到为的平分线，即，再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D，首先根据三点共线，设，，再根据已知得到，从而得到，即可判断选项D正确.‎ ‎【详解】如图所示：‎ 对选项A，，故A错误.‎ 对选项B，‎ ‎，故B正确.‎ 对选项C，，，分别表示平行于，，的单位向量，‎ 由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量.‎ 因为，所以为的平分线，‎ 又因为为的中线，所以，如图所示：‎ 在的投影为，‎ 所以是在的投影向量，故选项C正确.‎ 对选项D，如图所示：‎ 因为在上，即三点共线，‎ 设，.‎ 又因为，所以.‎ 因为，则，.‎ 令，‎ 当时，取得最大值为.故选项D正确.‎ 故选：BCD ‎【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知复数（i为虚数单位），则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简，求出的共轭复数，再求模长即可.‎ ‎【详解】，‎ ‎，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的模长，同时考查复数的四则运算和共轭复数，属于简单题.‎ ‎14.已知向量，夹角为30°，，，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合平面向量数量积的定义可得，再利用计算即可得解.‎ ‎【详解】向量，夹角为30°，，,‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，熟练掌握平面向量数量积的定义及是解题关键，属于基础题.‎ ‎15.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，且，则的值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合正弦定理、余弦定理可转化条件为、，求得后代入运算即可得解.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，由可得，‎ 又，，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理与余弦定理的综合应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，熟记公式，合理运用是解题的关键，属于中档题.‎ ‎16.已知一个高为的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为的等边三角形，则三棱锥的表面积为______，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，取的中点，连接、，设的中心为，连接，由题意结合正三棱锥的几何特征可得、，进而可求得的三棱锥的表面积和体积，由等体积法即可求得三棱锥内切球的半径，即可得解.‎ ‎【详解】由题意，三棱锥如图所示：‎ 取的中点，连接、，‎ 由正三角形的性质可得的中心在线段上，且，‎ 连接，则即为该三棱锥的高，即， ‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以三棱锥的表面积；‎ 所以该三棱锥的体积,‎ 当球与三棱锥内切时，体积最大，‎ 设三棱锥的内切球的半径为，‎ 则，解得，‎ 则.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了正三棱锥几何特征的应用以及几何体内切球半径的求解，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图，正方体中，E，F分别为，的中点.‎ ‎（1）求证：E，F，B，D四点共面；‎ ‎（2）若，，与平面交于点R，求证：P，Q，R三点共线.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接，由正方体的几何特征及平面几何的知识可得，由平面的基本性质即可得证；‎ ‎（2）由题意可得是平面与平面的交线，由平面的基本性质即可得证.‎ ‎【详解】（1）证明：连接，如图：‎ 在正方体中，分别为的中点，‎ 是的中位线，，‎ 又因为，，‎ 四点共面；‎ ‎（2）证明：在正方体中，，，‎ 是平面与平面的交线，‎ 又因为交平面于点，‎ 是平面与平面的一个公共点.‎ 两平面相交的所有公共点都在这两个平面的交线上，‎ 三点共线.‎ ‎【点睛】本题考查了利用平面的基本性质证明点共面及点共线问题，考查了空间思维能力与逻辑推理能力，属于基础题.‎ ‎18.已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和b是关于x方程的两个根.‎ ‎（1）求实数a，b的值；‎ ‎（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积 ‎【答案】（1），（2）点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界；面积为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据复数的分类求解，然后由韦达定理可求得；‎ ‎（2）根据模的几何意义说明结论．‎ ‎【详解】解：（1）因为为纯虚数，‎ 所以，即，‎ 解得，‎ 此时，由韦达定理得，‎ ‎.‎ ‎（2）复数满足，即，‎ 不等式解集是圆的外部（包括边界）所有点组成的集合，‎ 不等式的解集是圆的内部（包括边界）所有点组成的集合，‎ 所以所求点的集合是以原点为圆心，以和为半径的两个圆所夹的圆环，包括边界.‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查复数的分类、韦达定理，考查复数模的几何意义，属于基础题．‎ ‎19.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若，，求a.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由余弦定理可求得；‎ ‎（2）由正弦定理化边为角，再由诱导公式和两角和正弦公式变形可求得，然后由正弦定理求得边．‎ ‎【详解】解：（1）因为，‎ 所以，‎ 因为，所以；‎ ‎（2）因为，‎ 由正弦定理可得，‎ 故，‎ ‎ ‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 由正弦定理可得，.‎ ‎【点睛】本题考查余弦定理、正弦定理，掌握正弦定理的边角转换是解题关键．‎ ‎20.如图，在三棱锥中，高，，，.‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求三棱锥的表面积.‎ ‎【答案】（1）2（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由体积公式直接计算；‎ ‎（2）题中有两两垂直，面积易得，然后求出三边长，得等腰三角形，求出底边上的高可得面积．‎ ‎【详解】解：（1）因为是高，，，，‎ 所以；‎ ‎（2）因为是高，平面，平面，所以，同理，‎ ‎，，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 是等腰三角形，，，‎ 所以，‎ 所以三棱锥的表面积为.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥的体积与表面积，根据体积公式直接计算体积，根据表面积的定义计算出各个面的面积后相加即得表面积．属于基础题．‎ ‎21.如图，四边形中，.‎ ‎(1)用，表示；‎ ‎(2)若，点在上，，点在上，，，求.‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以根据向量的三角形法则得出，然后根据即可得出结果；‎ ‎(2)本题首先可以根据题意得出以及，然后在中得出与，在中得出以及，再然后可以根据得出，最后在中得出并通过即可得出结果.‎ ‎【详解】(1)因为，‎ 所以；‎ ‎(2)因为，，，‎ 所以，，‎ 在中，，，‎ 故，，‎ 在中，，，‎ 故，，，‎ 因为，所以，，‎ 在中，，，，‎ 所以，，‎ 因为，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的三角形法则、等腰三角形性质的应用以及三角函数的诱导公式，考查通过向量的三角形法则的运用展示向量之间的关系，考查的诱导公式为，考查推理能力与计算能力，是中档题.‎ ‎22.如图，在平面四边形中，，，.‎ ‎（1）若，，求的长；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中求得，在中由线段关系求得，即可在中应用余弦定理求得的长；‎ ‎（2）设，由正弦定理表示出与的关系，结合同角三角函数关系式，即可求得的值.‎ ‎【详解】（1）在中，.‎ 在中，，所以，‎ 所以.‎ 在中，由余弦定理得，‎ 所以.‎ ‎（2）设，则，，‎ 在中，由正弦定理得，‎ 化简得，‎ 代入，得，‎ 又为锐角，所以，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，根据几何关系求线段或三角函数值，同角三角函数关系式的应用，属于基础题.‎