2015年5月南平市高中毕业班适应性考试文科数学含答案

2015年5月南平市高中毕业班适应性考试文科数学含答案

‎2015年南平市普通高中毕业班质量检查 文　科　数　学 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共5页．满分150分．‎ 考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.‎ ‎3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．‎ ‎4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ 样本数据x1，x2，…，xn的标准差 锥体体积公式 s= 　　V=Sh 其中为样本平均数 其中S为底面面积，h为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V=Sh ，‎ 其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径 ‎ 第Ⅰ卷（选择题　共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，≤≤，则 A． B． C． D． ‎ ‎2．在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．=‎ A． B． C．- D．-‎ ‎4．过点且与直线平行的直线方程是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．在中，“”是“”的 ‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ ‎≥‎ ‎≤‎ ‎≥‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．若变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为 A．-3 B．2 C．3 D．4‎ ‎7．若把函数的图象上的所有点向右平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 A. B. C. D. ‎ ‎8．已知向量，的夹角为，且，，则=‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎9．设数列是以3为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则=‎ A．15 B．60 C．63 D．72‎ ‎10．在三棱锥中，侧棱，，两两垂直，，，的 面积分别为，，，则该三棱锥外接球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎11．利用计算机产生0~3之间的均匀随机数、，则事件“”发生的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．在平面内，曲线上存在点，使点到点A（3，0），B（-3，0）的距离之和为10，则称曲线为“有用曲线”．以下曲线不是“有用曲线”的是 A．　 B．　 C．　 D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13. 一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 .‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎2‎ 第13题图 ‎ ‎ ‎14．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x的值 输出相应的y值，若要使输入的x值与输出的y 值相等，则这样的x值的个数是 . ‎ ‎15．已知P是抛物线上的一个动点，则P到 直线：和：的距离之和的最小值是 .‎ ‎16．关于函数，给出下列四个命题：‎ ① 该函数没有大于的零点； ‎ ② 该函数有无数个零点；‎ ③ 该函数在内有且只有一个零点； ‎ ④ 若是函数的零点，则．‎ 其中所有正确命题的序号是 . ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 学校开展阳光体育活动，对学生的锻练时间进行随机抽样调查，从中随机抽取男、女生各25名进行了问卷调查，得到了如下列联表：‎ 锻练时间 男生 女生 合计 少于1小时 ‎5‎ x 不少于1小时 y ‎10‎ 合 计 ‎(Ⅰ) 根据上表数据求x，y，并据此资料分析：有多大的把握可以认为“锻练时间与性别有关”?‎ ‎(Ⅱ) 从这50名学生中用分层抽样的方法抽取5人为样本，求从该样本中任取2人，‎ 至少有1人锻练时间少于1小时的概率.‎ ‎≥‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 已知正项等差数列的前项和为，若，且，，成等比数列.‎ ‎(Ⅰ) 求的通项公式；‎ ‎(Ⅱ) 若，数列的前项和为，求.‎ ‎19．（本题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎(Ⅰ) 求函数的单调递增区间；‎ ‎(Ⅱ) 在中，角所对边的长分别是，若，，‎ ‎，求的面积．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 如图，已知⊙所在的平面，是⊙的直径，，是⊙上一点，且，，是的中点，是的中点，为线段上（除点外）的一个动点.‎ ‎(Ⅰ) 求证：∥平面；‎ ‎(Ⅱ) 求证：；‎ ‎(III) 求三棱锥的体积.‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知椭圆的离心率为，短半轴长为.‎ ‎(Ⅰ) 求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ) 已知斜率为的直线交椭圆于两个不同点A，B，点M的坐标为，‎ 设直线MA与MB的斜率分别为，．‎ ‎① 若直线过椭圆的左顶点，求此时，的值；‎ ‎② 试探究是否为定值？并说明理由.‎ ‎22．（本题满分14分）‎ 己知函数 ()，‎ ‎(Ⅰ) 若函数的图象在点（1，）处的切线方程为，‎ 求实数，的值；‎ ‎(Ⅱ) 若函数≤0恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎(III) 若函数有两个不同的极值点分别为，，求证：.‎ ‎2015年南平市普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考答案及评分标准 说明：‎ ‎1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.‎ ‎2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.‎ ‎3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.‎ 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．‎ ‎1．A； 2．D； 3．A； 4．B； 5．C； 6．C； ‎ ‎7．C； 8．D； 9．B； 10．B； 11．D； 12．B．‎ 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分16分．‎ ‎13．4； 14．3； 15．3； 16．② ③ ④.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．本题满分12分．‎ 解：（Ⅰ）‎ 锻练时间 男生 女生 合计 少于1小时 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 不少于1小时 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 合 计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ x=15，y=20 …………………(2分)‎ 由已知数据得…………………(4分)‎ 所以有99.5%以上的把握认为“锻练时间与性别有关” …………………(6分)‎ ‎（Ⅱ）用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本, 所以抽取了锻练时间少于1小时2人，不少于1小时3人，分别记作A1、A2 ；B1、B2、B3 .‎ 从中任取2人的所有基本事件共10个： (A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2, B1),(A2, B2), (A2, B3), (A1, A2), (B1, B2), (B2, B3), (B1, B3). …………………(8分) ‎ 其中至少有1人的锻练时间少于1小时的基本事件有7个：(A1, B1),(A1, B2),‎ ‎(A1, B3),(A2, B1), (A2, B2), (A2, B3), (A1, A2). ………………… (10分)‎ ‎∴ 从中任取2人，至少有1人的锻练时间少于1小时的概率为. ………… (12分)‎ ‎18．本题满分12分．‎ 解：(Ⅰ)设正项等差数列的公差为d, 故 ‎，，成等比数列，则有，‎ 即…………………（1分）‎ 又，…………………（2分）‎ 解得或（舍去）…………………（4分）‎ ‎…………………（6分） ‎ ‎(Ⅱ) …………………（7分）‎ ‎=………………（8分）‎ ‎ ………………（9分）‎ ‎……………………（11分）‎ ‎……………………（12分）‎ ‎19．本题满分12分．‎ 解：(Ⅰ)∵，)‎ ‎ …………………(1分)‎ ‎∴. …………………(3分)‎ 由，‎ 解得…………………(5分). ‎ ‎ ∴函数的单调递增区间是. …………………(6分)‎ ‎(Ⅱ)∵在中，，‎ ‎∴解得.…………………(8分)‎ 又， ∴. …………………(9分)‎ 依据正弦定理，有，解得…………………(10分)‎ ‎. …………………（11分）‎ ‎ …………………(12分)‎ ‎20．本题满分12分．‎ 证明：(Ⅰ) 是的中点，是的中点，‎ ‎∥…………………（1分）‎ 平面，‎ 点不于点重合，平面 ‎//平面…………………（3分）‎ ‎(Ⅱ) ⊙所在的平面，‎ ‎⊙所在的平面，‎ ‎…………………（5分）‎ 又是⊙的直径，‎ ‎ …………………（6分）‎ 于，平面…………………（7分）‎ 平面，…………………（8分）‎ ‎(III)在中，，，所以…………（9分）‎ 因为，，所以.‎ 因为，所以…………………（10分）‎ 所以…………………（11分）‎ 由(Ⅱ)知，所以.………………（12分）‎ ‎21．本题满分12分．‎ 解：(Ⅰ)由椭圆的离心率为，，又，，‎ 解得，‎ 所以椭圆的方程为.…………………(3分)‎ ‎(Ⅱ)① 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，‎ 联立方程组，解得或，‎ 故，. …………………（6分）‎ ‎② 为定值，且.…………………（7分）‎ 证明如下：‎ 设直线在轴上的截距为,所以直线的方程为.‎ 由, 得.‎ 当，即时，直线与椭圆交于两点………（8分）‎ 设.,则，.…………………（9分）‎ 又，‎ 故=.…………（10分）‎ 又，，‎ 所以 故.…………………（12分）‎ ‎22．本题满分14分．‎ 解：(Ⅰ) ，…………………（2分）‎ 因为切线方程为，所以，即……………（3分）‎ 又可得切点为（1，-1），代入切线方程得……………（4分）‎ ‎(Ⅱ) 恒成立等价于恒成立，即……………（5分）‎ 设,则…………………（6分）‎ 当时，；…………………（7分）‎ 当时，.…………………（8分）‎ 所以当时，,即 …………………（9分）‎ ‎(III)若函数有两个不同的极值点，‎ 即， ‎ 即且 即==…………………（10分）‎ 要证，只要证 ‎ 即证 ‎ 不妨设，只要证成立…………………（11分）‎ 即证…………………（12分）‎ 令，即证 令，则……………（13分）‎ 所以在上是增函数 所以，原式得证…………………（14分） ‎