2019高三数学（人教A版理）一轮课时分层训练56 直线与圆锥曲线的位置关系
课时分层训练(五十六) 直线与圆锥曲线的位置关系
(对应学生用书第326页)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是( )
A． B．
C． D．∪
C [双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k∈.]
2．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若·＝0，则m＝( )
A． B．
C． D．0
B [由得A(2,2)，B.
又∵M(－1，m)且·＝0，
∴2m2－2m＋1＝0，解得m＝.]
3．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为( )
【导学号：97190308】
A．1 B．1或3
C．0 D．1或0
D [由得k2x2＋(4k－8)x＋4＝0，若k＝0，则y＝2，符合题意．
若k≠0，则Δ＝0，
即64－64k＝0，解得k＝1，
所以直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个共公点时，k＝0或1.]
4．(2017·河南重点中学联考)已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有( )
①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
C [直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.]
5．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
A [因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，
所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2.又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a＝3，
所以E的方程为＋＝1.]
二、填空题
6．已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2＝4y的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长为__________．
16 [直线l的方程为y＝x＋1，
由得y2－14y＋1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝14，
∴|AB|＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16.]
7．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是__________．
x＋2y－8＝0 [设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则＋＝1，且＋＝1，
两式相减得＝－.
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
所以＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.]
8．已知椭圆＋＝1(0
0)．
图892
(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标．
[解] (1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为.
由点在直线l：x－y－2＝0上，
得－0－2＝0，即p＝4.
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)当p＝1时，曲线C：y2＝2x.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．
因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，
于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.
由消去x，得y2＋2y－2b＝0.
因为P和Q是抛物线C的两相异点，则y1≠y2.
从而Δ＝4－4×1×(－2b)＝8b＋4>0.(*)
因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－1.
又M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.
所以点M(1，－1)，此时b＝0满足(*)式．
故线段PQ的中点M的坐标为(1，－1)．
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
11．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A． B．2
C．2 D．3
C [抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立得方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
故选C．]
12．(2017·青岛质检)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为__________．
2＋ [如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝(x－c)．
因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得－＝1，
化简得y＝－b或y＝b(点P在x轴下方，故舍去)．
故点P的坐标为(2a，－b)，
代入直线方程得－b＝(2a－c)，
化简可得离心率e＝＝2＋.]
13．(2018·广州综合测试(二))已知定点F(0,1)，定直线l：y＝－1，动圆M过点F，且与直线l相切．
(1)求动圆M的圆心轨迹C的方程；
(2)过点F的直线与曲线C相交于A，B两点，分别过点A，B作曲线C的切线l1，l2两条切线相交于点P，求△PAB外接圆面积的最小值. 【导学号：97190310】
[解] (1)法一：设圆心M到直线l的距离为d，
由题意|MF|＝d.
设圆心M(x，y)，则有＝|y＋1|.
化简得x2＝4y.
所以点M的轨迹C的方程为x2＝4y.
法二：设圆心M到直线l的距离为d，
由题意|MF|＝d.
根据抛物线的定义可知，点M的轨迹为抛物线，
焦点为F(0,1)，准线为y＝－1.
所以点M的轨迹C的方程为x2＝4y.
(2)法一：设lAB：y＝kx＋1，
代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
所以|AB|＝·|x1－x2|＝4(k2＋1)．
因为曲线C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝.
所以直线l1的斜率为k1＝，
直线l2的斜率为k2＝.
因为k1k2＝＝－1，
所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．
所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径．
因为|AB|＝4(k2＋1)，所以当k＝0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.
法二：设lAB：y＝kx＋1，
代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
所以|AB|＝·|x1－x2|＝4(k2＋1)．
因为曲线C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝.
所以直线l1的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－.①
同理可得直线l2的方程为y＝x－.②
联立①②，解得即P(2k，－1)．
因为·＝(x1－2k，y1＋1)·(x2－2k，y2＋1)
＝x1x2－2k(x1＋x2)＋4k2＋y1y2＋(y1＋y2)＋1＝0，
所以PA⊥PB，即△PAB为直角三角形．
所以△PAB的外接圆的圆心为线段AB的中点，线段AB是外接圆的直径．
因为|AB|＝4(k2＋1)，所以当k＝0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.
法三：设lAB：y＝kx＋1，由对称性不妨设点A在y轴的左侧，
代入x2＝4y中，得x2－4kx－4＝0.
解得A(2k－2，2k2－2k＋1)，
B(2k＋2，2k2＋2k＋1)．
所以|AB|＝4(k2＋1)．
因为曲线C：x2＝4y，即y＝，所以y′＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)
所以直线l1的方程为y－y1＝(x－x1)，
即y＝x－.①
同理可得直线l2的方程为y＝x－.②
联立①②，解得即P(2k，－1)．
因为AB的中点M的坐标为(2k,2k2＋1)，
所以AB的中垂线方程为y－(2k2＋1)＝－(x－2k)，
因为PA的中垂线方程为y－(k2－k)＝(k＋)[x－(2k－)]，
联立上述两个方程，解得其交点坐标为N(2k,2k2＋1)．
因为点M，N的坐标相同，
所以AB的中点M为△PAB的外接圆的圆心．
所以△PAB是直角三角形，且PA⊥PB，
所以线段AB是△PAB外接圆的直径．
因为|AB|＝4(k2＋1)，
所以当k＝0时，线段AB最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π.
