2018届二轮复习规范答题大题突破课数列课件理

2018届二轮复习规范答题大题突破课数列课件理

规范答题 · 必考大题突破课 ( 三 ) 数　　列 【 热点标签 】 1. 题型 : 解答题 2. 分值 :12 分 3. 难度 : 中档 【 热点题型 】 题型一 : 等差数列和等比数列的综合 : 综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式、等差 ( 比 ) 中项、等差 ( 比 ) 数列的性质 . 重点考查基本量 ( 即“知三求二” , 解方程 ( 组 )) 的计算 , 灵活运用等差、等比数列的性质以及转化化归、构造等思想解决问题 . 题型二 : 数列与函数、不等式综合 : 以函数为载体 , 或者利用函数解析式给出数列的递推关系 . 考查函数解析式的求法 , 数列求和 , 或者利用函数的单调性来确定数列的单调性、最值或解决某些恒成立问题、证明不等式等 . 题型一　等差数列和等比数列的综合 【 真题示例 】 (12 分 )(2015· 福建高考 ) 在等差数列 {a n } 中 ,a 2 =4,a 4 +a 7 =15. (1) 求数列 {a n } 的通项公式 . (2) 设 b n = +n, 求 b 1 +b 2 +b 3 +…+b 10 的值 . 【 信息解读 】 (1) 看到 a 2 =4,a 4 +a 7 =15, 想到 利用基本 量法可求得 a 1 ,d, 进而求 {a n } 的通项公式 . (2) 看到 b n = +n, 想到 采取分组求和法求其前 10 项和 . 【 标准答案 】 (1) 设等差数列 {a n } 的公差为 d. 由已知得 ………………………………………… …2 分 得分点① 解得 ……………………………… 2 分 得分点② 所以 a n =a 1 +(n-1)d=n+2. ……………… 2 分 得分点③ (2) 由 (1) 可得 b n =2 n +n. ………… …1 分 得分点④ 所以 b 1 +b 2 +b 3 +…+b 10 =(2+1)+(2 2 +2)+(2 3 +3)+…+(2 10 +10) =(2+2 2 +2 3 +…+2 10 )+(1+2+3+…+10) …………………………………… …2 分 得分点⑤ ……………… …2 分 得分点⑥ =(2 11 -2)+55 =2 11 +53=2101. …………………… …1 分 得分点⑦ 【 得分细则 · 答题规则 】 第 (1) 问踩点说明 ( 针对得分点①②③ ): ① 利用基本量关系列出方程组得 2 分 ; ② 解对方程组求出首项和公差得 2 分 ; ③ 写对通项公式得 2 分 . 第 (2) 问踩点说明 ( 针对得分点④⑤⑥⑦ ): ④ 写对数列 {b n } 的通项公式得 1 分 ; ⑤ 写对数列 {b n } 的前 10 项和 , 并体现分组求和得 2 分 ; ⑥ 分别利用等差数列和等比数列前 n 项和公式求和得 2 分 ; ⑦ 结果计算正确得 1 分 . 答题规则 1: 写全解题步骤 , 步步为 “ 赢 ” 解题时 , 要将解题过程转化为得分点 , 对于是得分点的解题步骤一定要写全 , 阅卷时根据步骤评分 , 有则得分 , 无则不得分 , 如本题中利用基本量关系列出方程组 , 解对方程组求出首项和公差及写对通项公式等 , 步骤不全不能得满分 . 答题规则 2: 准确应用等差数列和等比数列前 n 项和公式 公式的熟记与灵活应用是得分关键 , 本题中应用分组求和时用对等差数列和等比数列前 n 项和公式是求对结果的关键 , 能够正确应用并写出相应步骤即可得分 . 【 跟踪训练 】 (2016· 衡阳模拟 ) 已知 {a n } 是等差数列 , 其前 n 项和为 S n ,{b n } 是等比数列 (b n >0), 且 a 1 =b 1 =2, a 3 +b 3 =16,S 4 +b 3 =34. (1) 求数列 {a n } 与 {b n } 的通项公式 . (2) 记 T n 为数列 {a n b n } 的前 n 项和 , 求 T n . 【 解析 】 (1) 设数列 {a n } 的公差为 d, 数列 {b n } 的公比为 q, 由已知 q>0, 因为 a 1 =b 1 =2,a 3 +b 3 =16,S 4 +b 3 =34, 所以 所以 a n =a 1 +(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1, b n =b 1 q n-1 =2 n . (2)T n =2×2+5×2 2 +…+(3n-1)×2 n , 2T n =2×2 2 +5×2 3 +…+(3n-1)×2 n+1 , 两式相减得 -T n =4+3×2 2 +…+3×2 n -(3n-1)×2 n+1 =-8-(3n-4)2 n+1 , 所以 T n =(3n-4)2 n+1 +8. 题型二　数列与函数、不等式综合 【 真题示例 】 (12 分 )(2015· 安徽高考 ) 设 n∈N * ,x n 是 曲线 y=x 2n+2 +1 在点 (1,2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标 . (1) 求数列 {x n } 的通项公式 . (2) 记 T n =x 1 2 x 3 2 … x 2n-1 2 ， 证明 :T n ≥ 【 信息解读 】 (1) 看到 “ 切线 ” 想到 求导 , 进而求切线方程 , 从而 表示出 x n . (2) 看到 T n = x 1 2 x 3 2 …x 2n-1 2 , 想到 利用 “ 通项 ” x 2n-1 2 , 通过适当放缩 , 可得 x 2n-1 2 > , 进而可逐项相消 , 顺利 求证 . 【 标准答案 】 (1)y′=(2n+2)x 2n+1 , …… …2 分 得分点① 曲线 y=x 2n+2 +1 在点 (1,2) 处的切线斜率为 2n+2, 从而切线方程为 y-2=(2n+2)(x-1), ………………………………………… …2 分 得分点② 令 y=0, 解得切线与 x 轴交点的横坐标 x n =1- ………………………………………… …2 分 得分点③ (2) 因为 x n = , 所以 T n = x 1 2 x 3 2 …x 2n-1 2 = ………………………………………… 1 分 得分点④ 当 n=1 时 ,T 1 = ; …………………… …1 分 得分点⑤ 当 n≥2 时 , 因为 …………………… …2 分 得分点⑥ 所以 …………………………………… …1 分 得分点⑦ 综上可得对任意的 n∈N * , 均有 T n ≥ . …………………………………… …1 分 得分点⑧ 【 得分细则 · 答题规则 】 第 (1) 问踩点说明 ( 针对得分点①②③ ): ① 求导正确得 2 分 ; ② 求对切线方程得 2 分 , 写对斜率和方程各得 1 分 ; ③ 写对通项公式得 2 分 . 第 (2) 问踩点说明 ( 针对得分点④⑤⑥⑦⑧ ): ④ 写对 T n 得 1 分 ; ⑤ 求对 T 1 得 1 分 ; ⑥ 放缩正确得 2 分 ; ⑦ 逐项相消正确得 1 分 ; ⑧ 写出最后结论得 1 分 . 答题规则 1: 写全解题步骤 , 步步为 “ 赢 ” 解题时 , 要将解题过程转化为得分点 , 对于是得分点的解题步骤一定要写全 , 阅卷时根据步骤评分 , 有则得分 , 无则不得分 , 如本题中求导、求切线 , 写出通项公式 , 放缩正确等 , 步骤不全不能得满分 . 答题规则 2: 准确把握数列与函数、不等式的关系 , 在函 数、不等式背景下提取数列 “ 元素 ” 应正确把握等差、等比数列通项公式及前 n 项与函数的 关系 , 如等差数列通项可类比一次函数 , 前 n 项和可类比 二次函数等 , 前 n 项和可以大于或小于某个值或式子 . 本 题中利用 “ 通项 ” x 2n-1 2 ， 通过适当放缩 , 可得 是证明的关键 . 【 跟踪训练 】 (2016· 怀化模拟 ) 已知等比数列 {a n } 的 前 n 项和为 S n , 且 a n >0,a 2 =2,S 4 =S 2 +12, 数列 {b n } 的前 n 项 和为 T n ,b 1 =1, 点 (T n+1 ,T n ) 在直线 上 . (1) 求数列 {a n },{b n } 的通项 . (2) 若数列 的前 n 项和为 B n , 不等式 B n ≥ 对于 n∈N * 恒成立 , 求实数 m 的最大值 . 【 解析 】 (1) 由 S 4 =S 2 +12 得 S 4 -S 2 =a 3 +a 4 =a 2 q+a 2 q 2 =12, 又 a 2 =2, 所以 q 2 +q-6=0, 解得 :q=2 或 q=-3( 舍 ), 故 a n =2 n-1 , 因点 (T n+1 ,T n ) 在直线 上 , 所以 故 是以 =1 为首项 , 为公差的等差数列 , 则 则 T n = n≥2 时 ,b n =T n -T n-1 = b 1 =1 满足该式 , 故 b n =n. (2)B n = 则 两式相减得 所以 不等式 对于 n∈N * 恒成立 , 即 则 ≥ m 对于 n∈N * 恒成立 , 那么 m 的最大值即为 的最小值 , 由 , 当 n=1 或 2 时 , 的最小值为 3, 所以实数 m 的最大值为 3.