数学卷·2017届河北省定州中学高三复读班下学期周练（5

数学卷·2017届河北省定州中学高三复读班下学期周练（5

河北定州中学2016-2017学年第二学期 高四数学周练试题（5.7）‎ 一、选择题 ‎1．若点在角的终边上，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎2．设，函数的导函数是，且是奇函数.若曲线的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎3．的值（ ）‎ A．等于0 B．大于0 ‎ C．小于0 D．不存在 ‎4．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5．已知双曲线，右焦点到渐近线的距离为2，到原点的距离为3，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6．设不等式组，表示的平面区域为，在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7．已知曲线与过原点的直线相切，则直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎8．已知圆的半径为，则的圆心角所对的弧长是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．已知双曲线的一条渐近线平行于直线，双曲线的一个焦点在直线上，双曲线的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎10．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．下列式子恒成立的是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎12．已知,分别是双曲线:的左，右焦点，若向关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. 3 C. D. 2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题 ‎13．等差数列的前项和为，若，，则__________．‎ ‎14．已知抛物线，直线与抛物线交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为 ．‎ ‎15．已知等比数列中，，则______ ．‎ ‎16．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎17．已知函数．‎ ‎（1）若当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎18．已知正项等比数列的前项和为，且，，，数列满足，．‎ ‎(Ⅰ)求，；‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和．‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值和最大值.‎ ‎20．中，角， ， 所对的边分别为， ， ，向量， ，且的值为.‎ ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）若， ，求的面积.‎ 参考答案 ‎1．A ‎【解析】‎ 试题分析：，故选A.‎ 考点：三角函数的定义 ‎2．A ‎【解析】‎ 试题分析：对求导得，又是奇函数，故，解得，故有，设切点为，则，得或（舍去）得，故选A. ‎ 考点：1、函数的奇偶性；2、利用导数求切线的斜率.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率及等差数列求通项，属于难题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)已知斜率求切点即解方程；(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.本题是根据(2)求求解的.‎ ‎3．C ‎【解析】‎ 试题分析：∵弧度大约等于度，弧度等于度，∴，∵弧度小于弧度，在第二象限，∴，∵弧度小于弧度，大于弧度，在第三象限，∴，∴，故选C.‎ 考点：三角函数值的符号.‎ ‎4．A ‎【解析】依题意可得，故选A ‎5．B ‎【解析】‎ 依题意，焦点到渐近线的距离，焦点到原点的距离，故，离心率为.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的概念和性质，主要是双曲线的渐近线与离心率.由于双曲线的焦点为，双曲线其中一条渐近线的方程为即。焦点到渐近线的距离为，也就是说双曲线焦点到渐近线的距离为，这个可以当成一个结论来记忆.‎ ‎6．D ‎【解析】‎ 试题分析：阴影部分的面积为：，正方形的面积为:,故选D.‎ 考点：1、几何概型的计算，面积比 ‎【方法点晴】本题主要考查的是几何概型，属于中等题，由题作出所对应的图像，可得平面区域为如图所示的正方形区域，而区域内的任意点到原点的距离大于的区域为图中的阴影部分，由几何概型的公式可知概率即为面积之比，易得答案.‎ ‎7．C ‎【解析】设切点为 ，因为 ，所以直线的斜率 选C.‎ ‎8．D ‎【解析】‎ 试题分析：的圆心角为 考点：弧长公式 ‎9．C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知得，，解得.故选C．‎ 考点：双曲线的几何性质．‎ ‎10．B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，集合，集合，所以，故选B．‎ 考点：集合的运算．‎ ‎11．B ‎【解析】依据三角变换中的公式可知 ，‎ ‎ ， ，‎ ‎. ，故应选答案B。‎ ‎12．D ‎【解析】‎ 试题分析：如图，又分别为的中点，‎ ‎,故选D.‎ ‎ ‎ 考点：双曲线的性质.‎ ‎13．‎ ‎【解析】‎ 依题意有：，解得，故.‎ 点睛：本题主要考查利用基本元的思想求等差数列的通项公式和前项和公式.在等差数列中，一共有个基本元素，其中包括首项，公差，末项，项数和前项和，在这些已知条件中，如果知道其中两个，就可以利用解方程组的方法求出其它的项.同理等比数列也有个基本元素.‎ ‎14．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设，由在抛物线上，所以，两式作差得，所以直线的斜率，直线方程为 即．‎ 考点：直线与抛物线的位置关系．‎ ‎15．‎ ‎【解析】等比数列中，,所以，‎ 又,所以，‎ 所以.‎ ‎16．3‎ ‎【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,‎ 直线的斜率为，且经过点，且直线 ‎ 所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 所以点到直线的最大距离为。‎ ‎17．（1）单调减区间是，单调增区间是；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出，令，解出的单调区间；（2）当时，显然成立；当时，存在使得，使得即可，即，令，由其单调性得，且，令，根据其单调性，求出其范围即可.‎ 试题解析：（1）由题意得，‎ 当时，，‎ ‎∴当时，，当时，，‎ ‎∴的单调减区间是，单调增区间是．‎ ‎（2）①当时，，显然符合题意；‎ ‎②当时，，‎ 对于，‎ ‎∴该方程有两个不同实根，且一正一负，即存在，使得，即，∴当时，，当时，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵，∴，即，‎ 由于在上是增函数，∴．‎ 由得，‎ 设，则，‎ ‎∴ 函数在上单调递减，‎ ‎∴‎ 综上所述，实数的取值范围 .‎ 考点：利用导数研究函数的单调性；恒成立问题.‎ ‎18．(I)，；(II)．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)借助题设条件运用等比数列的有关知识求解；(II)依据题设运用等比数列的求和公式进行探求．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设等比数列的公比为，‎ 正项等比数列的前项和为，且,,‎ 由题意得，解得：，，‎ 数列满足，，当时，，，‎ ‎，，又，，‎ 是首项为1，公比为2的等比数列，‎ 是首项为2，公比为2的等比数列，，,‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知，数列的前项和为：‎ ‎．‎ 考点：等比数列的通项公式及前项和公式有关知识的综合运用．‎ ‎19．（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用倍角公式以及两角和的正弦对函数解析式进行化简，再由正弦函数的单调增区间，求出函数的递增区间；（2）由，求出的范围，进而求出正弦函数值的范围. ‎ 试题解析：（1），‎ 设，则的单调递增区间为，‎ 由，得 ‎.‎ 所以，函数的单调递增区间为；‎ ‎（2）由（1），‎ ‎∵，∴；‎ ‎∴，∴,‎ ‎∴.‎ 点睛：本题主要考查三角函数的周期性、三角函数的图象变换及最值，属于难题.三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过和、差、倍角公式把函数化为的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.‎ ‎20．(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：(1)由,可得，从而可得结果；（2）在中，由，得，又由正弦定理，解得，故的长为.‎ 试题解析：(1) ,‎ ‎.‎ ‎(2) ,由得，‎ ‎.‎