天津市河东区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

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天津市河东区2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

河东区2019~2010学年度第一学期期中质量检测 高二数学试卷 一、选择题 ‎1.设是等比数列,下列说法一定正确的是( )‎ A. 成等比数列 B. 成等比数列 C. 成等比数列 D. 成等比数列 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎ ‎ 项中,故项说法错误;项中,故项说法错误; 项中,故项说法错误;故项中,故项说法正确,故选D.‎ ‎【此处有视频,请去附件查看】‎ ‎2.在等差数列中,,且,则( )‎ A. 11 B. ‎12 ‎C. 13 D. 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列性质得,即,然后与联立方程组可求得.‎ ‎【详解】∵,∴等差数列是递增数列.∴.‎ 由数列是等差数列,得,即,‎ 由,∴(舍去),‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质,掌握等差数列的性质是解题基础.等差数列中,,若,则.‎ ‎3.若,则以下不等式一定成立的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的运算性质分别判断,正确的进行证明,错误的举出反例.‎ ‎【详解】没有确定正负,时,,所以不选A;当时,,所以不选B;当时,,所以不选D;由,‎ 不等式成立.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查不等式的运算性质,比较法证明不等式,属于基本题.‎ ‎4.已知,,若,则( )‎ A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 有最大值 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式的性质,即可求解有最小值,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,可知,,且,‎ 因为,则,即,‎ 所以,‎ 当且仅当时,等号成立,取得最小值,‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,其中解答中合理应用基本不等式求解是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.‎ ‎5.已知,,则“”是“表示椭圆”( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先要理解椭圆方程的基本形式,再利用两个命题的关系即可得出必要不充分.‎ ‎【详解】当且时,表示圆,充分性不成立;当表示椭圆时,且,必要性成立,所以“”是“表示椭圆”的必要不充分条件,故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆方程的基本形式,以及命题之间的关系.‎ ‎6.设是首项为,公差为-1的等差数列,为其前n项和,若成等比数列,则=( )‎ A. 2 B. ‎-2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把已知用数列的首项和公差表示出来后就可解得.,‎ ‎【详解】因为成等比数列,所以,即 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和,考查等比数列的性质,解题方法是基本量法.本题属于基础题.‎ ‎7.椭圆的短轴长为( )‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 6 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化椭圆方程为标准方程后可求得得短轴长.‎ ‎【详解】由题意椭圆的标准方程是,∴,短轴长为.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程.在椭圆中,是长轴长,是短轴长,若焦点在轴上,则标准方程为,若焦点在轴上,则标准方程为.‎ ‎8.方程,化简的结果是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由所给方程,可知动点到定点和 距离和是定值,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,进而得到答案.‎ ‎【详解】根据两点间的距离公式可得: 表示点与点的距离,‎ 表示点与点的距离.‎ 所以原等式化简为 因为 所以由椭圆的定义可得:点的轨迹是椭圆: ‎ 根据椭圆中:,得:‎ 所以椭圆的方程为: .‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了由椭圆几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键.‎ ‎9.下列命题中为真命题的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每个命题进行判断,注意存在命题与全称命题证明方法的不同.‎ ‎【详解】,∴A为假命题;‎ ‎,∴B为假命题;‎ ‎,当时,,∴C为假命题;‎ 恒成立,D为真命题.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断.存在命题要说明它是假命题必须证明,要证明它是真命题,只要举一例即可,而全称命题要证明它是真命题,必须给出证明,要说明它是假命题,只要举一反例.‎ 二、填空题 ‎10.在数列2,8,20,38,62,92中,第6项是______.‎ ‎【答案】92‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 第一个数是第一项,第二个数是第2项,依次数下去即可.‎ ‎【详解】数列中第6个数是92,即为第6项.‎ 故答案为:92.‎ ‎【点睛】本题考查数列的定义,考查数列项的概念.属于基础题.‎ ‎11.不等式解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用因式分解确定相应二次方程的根,得不等式的解集.‎ ‎【详解】由得,∴.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式,属于基础题.解一元二次不等式时一般要把二次项系数化为正数,然后再求解.‎ ‎12.______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列前项和公式计算.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列前项和公式,属于基础题.‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中,分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上一点P满足,若三角形为等腰直角三角形,则该椭圆的离心率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,三角形为等腰直角三角形,知,化为的等式可得离心率.‎ ‎【详解】∵,且三角形为等腰直角三角形,∴,即,‎ ‎∴,,(舍去).‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的离心率,关键是列出关于的等式,然后利用转化为的等式,再求得离心率.‎ ‎14.若命题“”是假命题,则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用原命题否定是真命题求解.‎ ‎【详解】∵命题“”是假命题,∴命题“”是真命题.∴,解得.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查由命题的真假求参数取值范围,当一个命题为假命题时,其否定一定是真命题,从真命题角度求解比较容易理解,易得出解题方法.‎ ‎15.已知,若关于x的不等式的解集中的整数恰有3个,则实数a的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先分析整数只有是不等式的解,然后根据不等式的解集与二次方程根的关系,确定二次方程根的分布,由此可求解.‎ ‎【详解】记题中不等式的解集为,易知,而,因此只有,∴,‎ ‎∴设方程的两根为,则有,,‎ 记,,∴,此时恒成立,若,(∵),此时原不等式为,解集为,满足题意,若,则,∴,,∴(∵),综上的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式,解题关键是掌握“三个二次”的关系,即二次方程的解,二次函数图象与一元二次不等式的解集之间存在的联系.本题不等式的解集问题最终转化为二次方程根的分布问题.‎ 三、解答题 ‎16.已知椭圆对称轴为坐标轴,离心率且经过点,求该椭圆的标准方程.‎ ‎【答案】或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由离心率得,从而可得,按焦点在轴和轴分类设椭圆方程为和,再代入点的坐标后可求解.‎ ‎【详解】依题意,得:,又,即,即,‎ 当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆方程为:,‎ 点在椭圆上,所以,,即,解得:,‎ 所以,椭圆方程为:;‎ 当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆方程为:,‎ 点在椭圆上,所以,,即,解得,‎ 所以,椭圆方程为:‎ 综上:椭圆方程为:或.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程,在不确定焦点所在位置时,必须分类讨论.当然如果已知椭圆过两点,可设方程为或 (),代入两点坐标解出,而不必分类设方程.‎ ‎17.记为等差数列的前项和,已知,.‎ ‎ (1)求的通项公式;‎ ‎ (2)求,并求的最小值.‎ ‎【答案】(1)an=2n–9,(2)Sn=n2–8n,最小值为–16.‎ ‎【解析】‎ 分析:(1)根据等差数列前n项和公式,求出公差,再代入等差数列通项公式得结果,(2)根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式,根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.‎ 详解:(1)设{an}的公差为d,由题意得‎3a1+3d=–15.‎ 由a1=–7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.‎ 点睛:数列是特殊的函数,研究数列最值问题,可利用函数性质,但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.‎ ‎18.已知不等式的解集为或.‎ ‎(1)求实数a,b的值;‎ ‎(2)解不等式.‎ ‎【答案】(1);(2)答案不唯一,见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)题意说明是方程的解,代入可得,把代入可求得原不等式的解集,从而得值;‎ ‎(2)因式分解后讨论和6的大小可得不等式的解集.‎ ‎【详解】(1)依题意,得:,解得,‎ 所以,不等式为,解得,或,所以,‎ 所以,;‎ ‎(2)不等式为:,即,‎ 当时,解集为 当时,解集为 当时,解集为 ‎【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系,在解含参数的一元二次不等式时要注意分类讨论.‎ ‎19.若数列的前项和,且,等比数列的前项和,且.‎ ‎(1)求和的通项公式 ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据求解通项公式,同理根据求解的通项公式,都要注意的验证;(2)符合等差乘以等比的形式,用错位相减法完成求和.‎ ‎【详解】(1)由,‎ 得:,‎ ‎∵符合公式,‎ 同理:由,‎ 推得:,‎ ‎∵是等比数列,‎ ‎∴‎ 或:‎ ‎(2),是其前项和,‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 两式相减得:‎ ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查求数列的通项以及错位相减法求和,难度一般.(1)当一个数列的通项公式符合:等差等比的形式,此时对数列求和用错位相减法;(2)利用求解通项公式时,一定要记得检验的情况.‎ ‎20.已知椭圆的右焦点为,A是椭圆短轴的一个端点,直线 AF与椭圆另一交点为B,且.‎ ‎(1)求椭圆方程;‎ ‎(2)若斜率为1的直线l交椭圆于C,D,且CD为底边的等腰三角形的顶点为,求的值.‎ ‎【答案】(1);(2)0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)右焦点为,则,设,,由可得点坐标(用表示),代入椭圆方程可解得;‎ ‎(2)直线l方程,,直线方程与椭圆方程联立后可得(注意),中点为,由可求得(满足),然后计算的值.‎ ‎【详解】(1)∵右焦点为,设,∴,‎ ‎∵A是椭圆短轴的一个端点,直线AF与椭圆另一交点为B,且.‎ 设,∴,∴.‎ 代入椭圆方程,得,‎ ‎∴椭圆方程为.‎ ‎(2)设直线l方程,得,‎ ‎,.‎ ‎∴,,,,‎ 又∵CD为底边的等腰三角形的顶点为,‎ ‎∴设CD中点为M,则,即.,∴,‎ ‎∴,得,满足.‎ ‎∴,,,,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆标准方程,考查直线与椭圆的位置关系问题.在直线与椭圆相交时,可设交点坐标为,设直线方程,直线方程与椭圆方程联立后可得,把代入题中的条件可得参数值或参数范围,这就是解析几何中的“设而不求”思想.‎
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