高考数学复习专题练习第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系
第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于 ( ).
A. B.2 C. D.4
解析 直线4kx-4y-k=0,即y=k,即直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+=4,故x1+x2=,则弦AB的中点的横坐标是,弦AB的中点到直线x+=0的距离是+=.
答案 C
2.设斜率为的直线l与椭圆+=1(a>b>0)交于不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( ).
A. B. C. D.
解析 由于直线与椭圆的两交点A,B在x轴上的射影分别为左、右焦点F1,F2,故|AF1|=|BF2|=,设直线与x轴交于C点,又直线倾斜角θ的正切值为,结合图形易得tan θ===,故|CF1|+|CF2|==|F1F2|=2c,整理并化简得b2=(a2-c2)=ac,即(1-e2)=e,解得e=.
答案 C
3.抛物线y2=2px与直线2x+y+a=0交于A,B两点,其中点A的坐标为(1,2),设抛物线的焦点为F,则|FA|+|FB|的值等于 ( ).
A.7 B.3 C.6 D.5
解析 点A(1,2)在抛物线y2=2px和直线2x+y+a=0上,则p=2,a=-4,F(1,0),则B(4,-4),故|FA|+|FB|=7.
答案 A
4.设双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e,过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点,若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则e2= ( ).
A.1+2 B.4-2
C.5-2 D.3+2
解析 如图,设|AF1|=m,则|BF1|=m,|AF2|=m-2a,|BF2|=m-2a,∴|AB|=|AF2|+|BF2|=m-2a+m-2a=m,得m=2a,又由|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,可得m2+(m-2a)2=4c2,即得(20-8)a2=4c2,∴e2==5-2,故应选C.
答案 C
5.已知直线l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|AF|=2|BF|,则k的值是 ( ).
A. B. C.2 D.
解析 法一 据题意画图,作AA1⊥l′,BB1⊥l′,BD⊥AA1.
设直线l的倾斜角为θ,|AF|=2|BF|=2r,
则|AA1|=2|BB1|=2|AD|=2r,
所以有|AB|=3r,|AD|=r,
则|BD|=2r,k=tan θ=tan∠BAD==2.
法二 直线y=k(x-2)恰好经过抛物线y2=8x的焦点F(2,0),由可得ky2-8y-16k=0,因为|FA|=2|FB|,所以yA=-2yB.则yA+yB=-2yB+yB=,所以yB=-
eq f(8,k),yA·yB=-16,所以-2y=-16,即yB=±2.又k>0,故k=2.
答案 C
6.过双曲线-=1(a>0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围是 ( ).
A.(,5) B.(,) C.(1,) D.(5,5)
解析 令b=,c=,则双曲线的离心率为e=,双曲线的渐近线的斜率为±.
据题意,2<<3,如图所示.
∵=,
∴2<<3,
∴5
b>0),F(,0)为其右焦点,过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2,则椭圆C的方程为________.
解析 由题意,得
解得∴椭圆C的方程为+=1.
答案 +=1
9.过椭圆+=1(a>b>0)的左顶点A且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M,与y轴的交点为B,若|AM|=|MB|,则该椭圆的离心率为________.
解析 由题意知A点的坐标为(-a,0),l的方程为y=x+a,∴B点的坐标为(0,a),故M点的坐标为,代入椭圆方程得a2=3b2,∴c2=2b2,∴e=.
答案
10.已知曲线-=1(a·b≠0,且a≠b)与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O为原点),则-的值为________.
解析 将y=1-x代入-=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.·=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)·(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1.所以-+1=0,即2a+2ab-2a+a-b=0,即b-a
=2ab,所以-=2.
答案 2
三、解答题
11.在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=4x相交于不同的A,B两点.
(1)如果直线l过抛物线的焦点,求·的值;
(2)如果·=-4,证明:直线l必过一定点,并求出该定点.
(1)解 由题意:抛物线焦点为(1,0),
设l:x=ty+1,代入抛物线y2=4x,
消去x得y2-4ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4t,y1y2=-4,
∴·=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2
=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.
(2)证明 设l:x=ty+b,代入抛物线y2=4x,
消去x得y2-4ty-4b=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4t,y1y2=-4b,
∴·=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2
=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2
=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b.
令b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2,
∴直线l过定点(2,0).
∴若·=-4,则直线l必过一定点.
12.给出双曲线x2-=1.
(1)求以A(2,1)为中点的弦所在的直线方程;
(2)若过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于P1,P2两点,求线段P1P2的中点
P的轨迹方程;
(3)过点B(1,1)能否作直线m,使得m与双曲线交于两点Q1,Q2,且B是Q1Q2的中点?这样的直线m若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.
解 (1)设弦的两端点为P1(x1,y1),P2(x2,y2),则两式相减得到2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),又x1+x2=4,y1+y2=2,
所以直线斜率k==4.
故求得直线方程为4x-y-7=0.
(2)设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2),
按照(1)的解法可得=, ①
由于P1,P2,P,A四点共线,
得=, ②
由①②可得=,整理得2x2-y2-4x+y=0,检验当x1=x2时,x=2,y=0也满足方程,故P1P2的中点P的轨迹方程是2x2-y2-4x+y=0.
(3)假设满足题设条件的直线m存在,按照(1)的解法可得直线m的方程为y=2x-1.
考虑到方程组无解,
因此满足题设条件的直线m是不存在的.
13.在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C1:2x2-y2=1.
(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积.
(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切,求证:OP⊥OQ.
(3)设椭圆C2:4x2+y2=1.若M、N分别是C1、C2上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.
(1)解 双曲线C1:-y2=1,左顶点A,渐近线方程:y=±x.
不妨取过点A与渐近线y=x平行的直线方程为
y=,即y=x+1.
解方程组得
所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=.
(2)证明 设直线PQ的方程是y=x+b.
因为直线PQ与已知圆相切,故=1,即b2=2.
由得x2-2bx-b2-1=0.
设P(x1,y1)、Q(x2,y2),则
又y1y2=(x1+b)(x2+b),所以
·=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2
=2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0.
故OP⊥OQ.
(3)证明 当直线ON垂直于x轴时,
|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时,设直线ON的方程为y=kx,
则直线OM的方程为y=-x.
由得所以|ON|2=.
同理|OM|2=.
设O到直线MN的距离为d,
因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2,
所以=+==3,即d=.
综上,O到直线MN的距离是定值.
14.在圆x2+y2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段,D为垂足,点M在线段PD上,且|DP|=|DM|,点P在圆上运动.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)过定点C(-1,0)的直线与点M的轨迹交于A,B两点,在x轴上是否存在点N,使·为常数,若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
解 (1)设P(x0,y0),M(x,y),则x0=x,y0=y.
∵P(x0,y0)在x2+y2=4上,∴x+y=4.
∴x2+2y2=4,即+=1.
点M的轨迹方程为+=1(x≠±2).
(2)假设存在.当直线AB与x轴不垂直时,
设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),N(n,0),
联立方程组
整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-4=0,
∴x1+x2=-,x1x2=.
∴·=(x1-n,y1)·(x2-n,y2)
=(1+k2)x1·x2+(x1+x2)(k2-n)+n2+k2
=(1+k2)×+(k2-n)×+k2+n2
=+n2
=+n2
=(2n2+4n-1)-.
∵·是与k无关的常数,∴2n+=0.
∴n=-,即N,此时·=-.
当直线AB与x轴垂直时,若n=-,则·=-.
综上所述,在x轴上存在定点N,使·为常数.