吉林省吉林市第五十五中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

吉林省吉林市第五十五中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

‎2019-2020学年度第一学期期中考试试题 高二（数学）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分。）‎ ‎1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，c＝2，B＝30°，则△ABC的面积为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用三角形面积公式求解其面积即可.‎ ‎【详解】由三角形面积公式得得面积.‎ 本题选择A选项.‎ ‎【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.‎ ‎2.下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项 （ ）‎ A. 380 B. 39 C. 35 D. 23‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为数列{}，那么将四个选项代入,可知,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.‎ ‎3.直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域(用阴影表示)是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合所给的不等式首先确定其所表示的区域，然后结合选项确定正确选项即可.‎ ‎【详解】由题意可知，表示直线上方的区域，结合所给的选项，只有A选项符合题意.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式所表示的平面区域的确定，属于基础题.‎ ‎4.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )‎ A. 9 B. 12 C. 15 D. 16‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列通项性质即可得出．‎ ‎【详解】解：∵{an} 是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．‎ ‎∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．‎ ‎5.已知是等比数列，，则公比=（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.‎ ‎【详解】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.‎ ‎6.若且，则下列不等式中一定成立的是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】解：因为，那么利用不等式的性质可知，当c等于零时，选项B，C不成立。又 时，A不成立，而选项D，符合可加性成立，选D。‎ ‎7.在数列中，=1，，则的值为（ ）‎ A. 99 B. 49 C. 101 D. 102‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为所以数列是以首项为1，公差是2的等差数列，‎ ‎=‎ ‎8.已知，函数的最小值是 （ ）‎ A. 5 B. 4 C. 8 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 本题考查均值不等式求函数最值。‎ 由均值不等会死，，当且仅当时不等式取，故选B。‎ ‎9.若的三个内角满足，则（ ）‎ A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.‎ ‎【详解】由，可得出，‎ 设，则，，则角为最大角，‎ 由余弦定理得，则角钝角，‎ 因此，为钝角三角形，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎10.一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（ ）‎ A. 63 B. 108 C. 75 D. 83‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，故本题正确选项为A.‎ 考点：等比数列连续相同项和的性质及等比中项.‎ ‎11.在中，，则此三角形解的情况是( )‎ A. 一解 B. 两解 C. 一解或两解 D. 无解 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意知，，，，∴，如图：‎ ‎∵，∴此三角形的解的情况有2种，故选B．‎ ‎12.已知则的最小值是 (　 　)‎ A. B. 4 C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合均值不等式的结论即可求得的最小值，注意等号成立的条件.‎ ‎【详解】由题意可得：‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立.‎ 即的最小值是.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分。）：‎ ‎13.已知{ an }是各项为正数的等比数列，且a1 = 1，a2 + a3 = 6，则数列{ an }前10项的和S10= ；‎ ‎【答案】1023‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质可得q+q2＝6，解可得q＝2或﹣3，分析可得q的值，结合等比数列的前n项和公式计算可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，‎ 若a1＝1，a2+a3＝6，则q+q2＝6，‎ 解可得q＝2或﹣3，‎ 又由{an}是各项为正数的等比数列，则q＝2，‎ 则S101023；‎ 故该数列前10项的和S10＝1023．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，关键求出等比数列的公比．‎ ‎14.不等式解集是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将所给不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可.‎ ‎【详解】题中所给的不等式即：，，‎ 该不等式等价于：，‎ 求解二次不等式可得：，则不等式的解集为.‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法 ，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎15.设满足约束条件,则的最大值为___‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 此题考查线性规划知识;此类题目有两种做法：一是根据已知条件画出不等式所表示的平面区域，然后找出直线，然后平移求解；二是根据已知条件画出不等式所表示的平面区域，然后把平面区域的边界交点坐标求出，然后把坐标往目标函数代入计算，大的就是最大值，小的就是最小值；此不等式组所表示的平面区域如图阴影所示，‎ 把分别代入目标函数可知，当过点（3，-2）时，目标函数最大且7；‎ ‎16.在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么这座塔吊的高是 .‎ ‎【答案】米.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，AB＝10米，∠DAE＝60°，∠DAC＝45°，可先在直角三角形ABC中求出BC，再由AD⊥CE，得出DC，AD的长度，再求出DE即可得出塔吊的高度．‎ ‎【详解】解：由题意，AB＝10米，∠DAE＝60°，∠DAC＝45°，可知ABCD是正方形，由此易得CD＝AD＝10米 再由，∠DAE＝60°，在直角三角形ADE中可求得DEAD＝10‎ ‎∴塔高为DE+CD＝10+10‎ 故答案为：米 ‎【点睛】‎ 本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角．‎ 三、解答题：（写出必要的解题步骤）‎ ‎17.在△ABC中，∠A=600，∠C=450，b=2, 解这个三角形.‎ ‎【答案】，，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得∠B的大小，然后利用正弦定理解三角形即可.‎ ‎【详解】由题意可得：，‎ 结合正弦定理可得：‎ ‎，.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，两角和差正余弦公式及其应用等知识，属于中等题.‎ ‎18.（1）在△ABC中，求证：c(acosB-bcosA)=a2-b2；‎ ‎（2）比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意利用余弦定理角化边，然后整理变形即可证得题中的等式即可；‎ ‎(2)由题意利用作差法比较两个代数式的大小即可.‎ ‎【详解】(1)由余弦定理：，‎ 则等式左侧 ‎=等式右侧，‎ 题中的等式得证.‎ ‎(2)利用作差法：‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理证明三角恒等式的方法，作差法比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.已知数列的通项公式，数列的前项和为.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）求的最小值以及取得最小值时n的值.‎ ‎【答案】（1），4；（2）最小值为，此时或3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由数列通项公式求解，的值即可；‎ ‎(2)由题意首先求得前n项和，然后结合前n项和公式即可确定的最小值以及取得最小值时n的值.‎ ‎【详解】(1)由数列的通项公式可得：；‎ ‎(2)由通项公式可得：，‎ 由数列的前n项和可得：,‎ 关于的函数开口向上，对称轴为，‎ 据此可得，当或时前n项和取得最小值，其最小值为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查由通项公式确定数列中的项的方法，等差数列前n项和公式及其应用，前n项和的最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎20.已知数列的前项和为 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求数列通项公式主要借助于分情况求解，最后要验证结果是否能够合并；（2）整理数列的通项公式得，结合特点可采用分组求和 试题解析：（1）当时，‎ 当时，也适合时，‎ ‎∴‎ ‎（2），‎ ‎∴‎ 考点：数列求通项及分组求和 ‎21.已知不等式ax2+3ax+1>0，‎ ‎(1) 若不等式的解集是{x|-4

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